А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (2000) (PDF), страница 10

2 664. Известно, что для функций уы ..., 9п детерминант Вронского в точке хо равен нулю, а в точке хг не равен нулю. Можно ли что-нибудь сказать о линейной зависимости (или независимости) этих функций на отрезке [хо, гн]? 665. Детерминант Вронского для функций уы ..., уи равен нулю при всех х. Могут ли быть эти функции линейно зависимыми'( Линейно независимыми". 'З 12. Линейные уравнения с переменными коэффициентами 65 666. Что можно сказать о детерминанте Вронского функций ды ..., д„, если только известно, а) что они линейно зависимы? б) что они линейно независимы'? 667.

Функции уг — — х, дг — — х', уз = ~х"'~ удовлетворяют уравнению хгдп — 5хд' + 5У = О. Являются ли они линейно зависимыми на интервале ( — 1, 1)? Объяснить ответ. 668. Доказать, что два решении уравнения дн+ +д(х)у'+ + 9(г;)д = 0 (с непрерывными коэффициентами), имеющие максимум при одном и том же значении х, линейно зависимы. 669. Даны 4 решения уравнения у'и + хд = О, графики которых касаются друг друга в одной точке.

Сколько линейно независимых имеется среди этих решений? 670. Пользуясь известным утверждением об интервале существования решения линейного уравнения ((1], гл. Ъ', конец 2 1), определить, на каком интервале существует решение данного уравнения с указанными начальными условинми (не решая уравнения): а) (х+ 1)ди — 2у = О, д(0) = О, д'(0) = 2: б) дн + дтд т = О, д(5) = 1, д'(5) = О. 671. Могут ли графики двух решений уравнения УОО + +10(х)У1" 0+ ...

+ри(х)д = 0 (с непрерывными коэффициентами) на плоскости х, д а) пересекатьсн, б) касаться друг друга". 672. Прн каких т уравнение задачи 671 может иметь частное решение у = хз? 678. Линейное однородное уравнение какого порядка на интервале (О, 1) может иметь такие четыре частных решения: Уг = х — 2х+ 2, Уг = (х — 2) Уз = х, + х — 1, Уе = 1 — х? В каждой из задач 674 — 680 составить линейное однородное дифференциальное уравнение (возможно меньшего порядка), имеющее данные частные решения.

675. х, е' . 674. 1, соэх. 676. Зх, х — 2, ее+ 1. 677. хг — Зх, 2хг + 9, 2х + 3, 679. х, х, е*. 678. ее, еЬх, сЬх. 680. г, хз, СС г12. Линейные уравнения с переменными коэффициентами В задачах 681 — Т01 найти общие решения данных уравнений, знак их частные решения.

В тех задачах, где частное решение не дано, можно искать его путем подбора, например, в виде показательной функции рг = еи' нли алгебраического многочлена уг — — хи+ ахи '+ Ьхи г + ... 681. (2х + цун + 4ху' — 4у = О. 682. хг(х+ Цун — 2д = 0:, дг = 1+ —. 683. хро — (2х -1- Цр' + (х + Цу = О. 684. хуо -~-2р' — ху = 0; у1 —— '— , 685. ун — 2(1 + Фдг х)у = 0; уг = 18 х. 686. х(х — Цун — ху' + р = О. 68Т.

(е + Цун — 2р' — е у = 0: уг = е — 1. 688. хгдо 1п т. — хр' + у = О. 689. ун — у'18х+ 2у = О; уг = з1пх. 69О. ( г — цд" + (, - 3) д' - р = О. 691. хун — (г: + цу' — 2(х — цу = О. 692. ун + 4ху' + (4хг + 2)у = 0; рг — — еее . 693.

хун — (2х + Цу' + 2у = О. 694. х(2х + Цун + 2(х + Цу' — 2р = О. 695. х(х+ 4)уи — (2х+ 4)у'+ 2у = О. 696. х(хг -Ь С)ун — 4(хг -Ь З)у' Ч- бху = О. 69Т. ( ' Ч- Цр" — 2р = О. 698. 2х(х + 2) ун + (2 — х) у' + у = О. 699. хУн' — Ун — хУ'+ У = 0: Уг = х, Уг = е . ТОО. хг(2х — Црн'+ (4х — З)хун — 2ху' + 2у = 0; уг=х уз=1/х. ТО1. (.' — 2х+З)ун' — (: '+ Цдн+2хр' — 2р = 0; уг = х, дг = е".

~112. Линеанвсе уравнения с перененнижи нозфуиииенспами 67 В задачах 702, 703 найти общее решение линейного неоднородного уравнения, если известно, что частное решение соответствующего однородного уравнения нвляется многочленом. Т02. (к+ 1)хун+ (х+ 2)у' — д = х+ ~. 703. (2х+ 1)да+ (2х — 1)у' — 2д = ха + х. В задачах 704, 705, знан два частных решения линейного неоднородного уравнения второго порндка, найти его общее решение.

704. (тз — 1)до -~ 4ху'-> 2у = бх; дз —— х., уз = *,"„*,"'. 705. (Зхз + х)уп + 2у' — бху = 4 — 12хз; уз = 2х, дз — (з + 1) В уравнениях 706 — Т10 линейной заменой искомой функции у = а(х)з уничтожить член с первой производной. 706. хуун — 2ту'+ (ха+ 2)у = О. 707..глуп — 4ху' + (6 — тз)д = О. 703. (1+ ха)до + 4ху'+ 2у = О. 709. х уп+ 2хзд'+ (хз — 2)д = О. 710. хуп + у' + ху = О, В уравнениях 711 — 715 заменой независимого переменного 1 = уо(х) уничтожить член с первой производной. 712. (1+ хз)до+ ху'+ у = О.

713. хз(1 — з,з)уи+ 2(х — хз)у' — 2у = О. 714. дп — у'+ сеид = О. Т15. 2хуо + у' + ху = О. Т16. Зная три частных решении уг — — 1, уз = х, уз — — хз линейного неоднородного уравнения второго порядке, написать его общее решение. 68 З12. Линейные уравнения с переменными наэффициентами 717. Что можно сказать о функции р(х), если известно, что все реп|ения уравнения да +р(х)д'+ ц(х)д = О при х -+ оо стремится к нулю вместе со своими первыми производными'? У к а з а н н е.

Воспользоваться формулой йнувилля. 718. Доказать, что в случае 9(х) < О решении уравнения ди + р(с)д' + ц(х)д = 0 не могут иметь положительных максимумов. 719. Где могут лежать точки перегиба графиков решений уравнения ди -ь д(х)д = 01 720. Могут лн графики двух решений уравнения дн + + д(х)д = О (функция 9(г;) непрерывна) располагеться так, как на рис. З,а? рис. З,67 рис.

З,ву рис. З,гу г) Рис. 3 721. Доказать, что отношение двух любых линейно независимых решений уравнения да + р(х)д'+ у(х)д = О (с непрерывными коэффициентами) не может иметь точек локального максимума. 722. Доказать, что в случае ц(х) ) 0 для любого решения уравнении да+ д(х)д = О отношение д'(х)/д(х) убывает при возрастании х на интервале, где д(т) 7: О. Ь'12.

Линейные ураанения с переменными наэ4ярициентами 69 723. Доказать, что в случае о(х) < 0 все решения уравнения да + ц(х)д = 0 с положительными начальными условиями д(ха) > О, д'(хо) > 0 остаются положительными при всех х > те. 724. Доказать, что решение уравнении дн — хзд = 0 с начальными условиями д(0) = 1, д'(0) = 0 есть четная функция, всюду положительная. Т25*. Доказать, что в случае 6(х) < 0 краевая задача дн я- о(х)д = О, д(х,) = а, д(хз) = Ь при любых а, Ь и хэ у': хз имеет единственное решение. Доказать, что зто решение — монотонная функция, если Ь = О.

726. Найти расстояние между двумя соседними нулями любого (не тождественно равного нулю) решения уравнения да + яад = О, |де ьа = ссн1з1 > О. Сколько нулей может содержатьсн на отрезке и < т < ЬТ В задачах 727 — 730, используя результат предыдущей задачи н теорему сравнения (см. (Ц, гл. Ч1, 1 2, п. 3), оценить сверху и снизу расстояние между двуми соседними нулями любого (не тождественно равного нулю) решения следующих уравнений на заданном отрезке. 727. дп + 2хд = О, 20 < х < 45. 728. хдн + д = О, 25 < х < 100, 729.

дн — 2хд'+ (з:+ 1)зд = О, 4 ( х ( 19. ТЗО. дп — 2е д'+ ее д = О, 2 < х ( 6. 731'. Доказать, что любое решение уравнения да+ хд = 0 на отрезке — 25 < х < 25 имеет не менее 15 нулей. 732. Пусть хы хз, ... — расположенные в порядке возрастания последовательные нули решения уравнения дн + + у(х)д = О, где 6(х) > 0: при х1 < х < ос функции 6(х) непрерывна н возрастает. Доказать, что х„~~ — хи < хи — х„1 (т.

е. расстояние между соседними пулями убывает). 733. В предыдущей задаче обозначим через с конечный или бесконечный предел функции о(х) при х — а оо. Доказать, что 11п1 (х„ьг — хи) = н/~/с. 70 2 12. Линелнъ~е уравнения е переменными нвэффиииен»нами В задачах 738 — 748 исследовать асимптотическое поведение при х — » +со решений данных уравнений, пользуясь преобразованием Лиувилля (см.

задачу 737) и утверьчдениями и. 4 (стр. 77). 738. ун + х«у = О. 740. уп + хе у = О. 742. хуп — у = О. 744. туп+ 2у'+ у = О. 739. дн — хзу = О. 741. ун + езед = О, 743. уп — ху = О. 745. ун — 2(т, — 1)у'+ ход = О. 746*. да+ (х«+ 1)у = О.

747*. ( ' + 1) дн — д = О. 748'. тзцп+ у 1пз т = 0 В задачах 749 — 750 получить более точное асимптотическое представление решений данных уравнений, применяя два раза преобразование Лиувилля. 734'. Пусть у и л решения уравнений да+ д(х)у = = 0 и за+ 1,)(х)е = О с совпадающими начальными условиями у(то) = е(хо)~ у'(хо) = е'(хо) и на интервале (то. т») имеем Фх) > Ч(х), у(т) > О, з(х) > О. Доказат»ч что на атом интервале отношение з(х) 1'у(т) убывает.

735*. Пусть выполнены условии задачи 732 и пусть Ь„= шах (у(х) ~. Доказать, что Ьд > Ьз > Ьз >... х <е<жрч( 736'. Пусть в задаче 733 предел с конечный. Доказать, что Ьп — > В > О при п — ~ оо (в обозначениях задачи 735). 737*. Заменой независимого переменного 1 = р(л:) привести уравнение -„-;,л» х -Е1л»ПО« = 0 к виду ар + Ь(1)Я х у = О, затем избавиться от первой производной заменой у = а(1)и. (Это преобразование называется преобразованием Лиувилля. Во многих случаях оно позволяет привести уравнение уп + + д(х)у = О к уравнению аналогичного вида, но с «почти постоннным» (слабо меняюшимися на интервале (1о, оо)) коэффициентом при у.