А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (2000) (PDF), страница 15

у=д — х 931*. "=-Их) -ЛЬ), у = Уз(т) — )в(д). где здпЯз) = зяпг, г = 1, 2, 3, 4. В задачах 932 — 948 исследовать устойчивость нулевого решения, пользуясь известными условиями отрицательности вещественных частей всех корней многочлена, например, условиями Реуса — Гурвица или критерием Михайлова. В задачах 923 — 931 исследовать устойчивость нулевого решения, построив функцию Ляпунова и применив теоремы Ляпунова или Четаева. З 15. Устойчивость 932. до' + до ч- у' ч- 2д = О. 933. уо' + 2уо + 2у' + Зд = О. 934 ц|н+ 2уо+ 1цо+ Зуь ь 29 О 935 у|н+ 2цо~+ Зуо+ 7у'+ 2д = О. 936.

у~~+ 2уо~+ бди+ 5у~+ бу = О. 937. у|Н + 8уо' + 14ро + Збр'+ 45р = О. 938. уьч + 13уо'+ 1бро+ 55у'+ 7бу = О. 939. у'и + Зуо'+ 2буо+ 74у'+ 85у = О. 940. д|н ч- 3,1 р'о + 5,2до + 9,8р' ч- 5,8р = О. 941. ун+ 2у~н+ 4уо'+ буо+ 5д'+ 4у = О. 942. дн + 2ри + 5уо' + буо + 5д' + 2р = О. 943. ун + Зу1н + бдо' + 7уо + 4ц' + 4р = О. 944. у + 4рт~ + Оро' + 1буо + 19р' + 13р = О. 945. рН+ 4у~~+ 1буо'+ 25ро+ 13д'+ Од = О. 946. ун+ Зд1н + 10ро'+ 22уо -~- 23р' -~-12у = О. 947 цн+осу~н +15у'о+48уо+44у',, 74у 0 948.

рн -~- 2у~н + 14до' + Збуо -1- 23р' -Ь 68д = О. В задачах 949 — 958 исследовать, при каких значениях параметров а и Ь нулевое решение асимптотически устойчиво. 949. уо' + ауо + Ьу' + 2у = О. 950. уо' + Зуо + ар' + Ьу = О, 951. д'Н + 2ро' + Зуо + 2р' + иу = О. 952. у'и + ар'о + уо + 2у' + у = О. 953. ау + уо'+ уо+ р'+ Ьд = О. 954. у|Н + уо' + адо + у' -~- Ьу = О.

955. д~Н + ауо' + 4уо + 2у' + Ьу = О. 956 ц'и -~- 2уо','- ауо + Ьу' ч'- ц = 0 116. Особые точки 957. ус~ + ауо'+ 4уо+ Ьу'+ у = О. 958. у~~ + 2уо' + 4уо + оу' + Ьд = О. Длн исследования устойчивости уравнений с периодическими коэффициентами в задачах 959 и 960 надо найти матрицу монодромии н вычислить мультипликаторы, см. [5), гл. 111, з 15, 2 16. 959. Исследовать на устойчивость пулевое решение уравнения х + р(6)х = О, р(1) = аз (О < 6 < к)с р(6) = Ьз (х < 1 < 2х), р(1+ 2х) = р(1)с при следующих значенилх пара- метровг 960. Исследовать, при каких а и Ь устойчиво нулевое решение системы с периодическими коэффициентами = А(1), А(1+ 2) = А(6), А(С)= ~ ~приО<1<1с А(С)=1 „(при1<6<2.

10 ачс /0 О'1 816. ОСОБЫЕ ТОЧКИ 1. Особой точкой системы — =Р(х,у), — =®х,у) с1х бу с11 '' ' сМ нлн уравнения Йу Я(х.. у) (2] бх Р(х, у) где функции Р и с,) непрерывно дифференцнруемы, называется такая точка, в которой Р(х, у) = О, сз(х, у) = О. 2. Для исследования особой точки системы с1х бу — = ах -Ь бус — = сх -г с1у 41 ' сМ (6) а) а = 0,5, в) а = О 5, д) а = 1, Ь=О; Ь= 1,5: Ь=О; б) а = 0,5, Ь = 1; г) а = 0,75, Ь = О; е) а = 1, Ь = 1,5, '6 16. Особые точки 98 или уравнения г)у сх -~- г(у бх ох -~- Ьр надо найти корни характеристического уравнения (4) ~о — Л Ь = О. И вЂ” Л (6) б) в) д) е) Рис. б Чтобы начертить траектории (криные, изображающие решения иа плоскости х.

д) в случае узла, седла и вырожденного уз- Если корни вещественные, различные и одного знака, то особая точка — узел (рис. О,а). если разных знаков — седло (рис. О,б), если корни комплексные с вещественной частью, отличной от пуля, то особая точка — фокус (рис. О,е), если чисто мнимые,— центр (рис.

О,г); если корни равные и ненулевые (т. е. Лз Лз ф О), то особая точка может быть вырожденным узлом (рис. б,гЗ) или дикритическим узлом (рис. б.,е), причем дикритическнй узел имеет место только в случае системы сз' = ох; зл = ар (или уравнения д = л), а во нсех остальных случаях при Лз = Лг ~ О особая точка являетсн вырожденным узлом.

Если же один или оба нория уравнении (б) раины нулю, то а Ь г( = О н, следовательно, дробь в правой части уравнении (4) сокращается. Уравнение принимает вид ф = Ь, и решения на плоскости х, р изображаются параллельными прямыми. 'З 16. Особые жо рка 99 (6) й = 2з~ у = ш+ у Составляем и решаем характеристическое уравнение 2 — Л О 1 1 — Л =О, (2 — Л)(1 — Л) = О, Л~ =1, Лг=2.

Корни вещественные, различные и одного знака. Следоввтельно, особвя точка узел (того же типа, что нв рис. О,а). Для Л~ = 1 находим собственный вектор (О, 1), а длн Лз = 2— вектор (1, 1). На плоскости аб у строим прямые, направленные вдоль этих векторов, а затем кривые, насающиеся в начале координат первой из этих прямых, так как (Л~! < )Лз(, см. рис. 7. Другой способ построения интегральных кривых. Разделив одно из уравнений (6) на другое, получим уравнение вида (4) Рис. 7 ла, надо прежде всего найти те решения, которые изображаются прямыми, проходящими через особую точку.

Эти прямые всегда /а 61 направлены вдоль собственных некторов матрицы ( ~, состав1с ленной из коэффициентов данной системы (3). В случае узла кривые касаются той прямой, которая напранлена вдоль собственного вектора, соответствующего меньшему по абсолютной величине значению Л.

В случае особой точки типа фокус надо определить направление закручивании траекторий. Длн этого надо, во-первых, исследовать устойчивость этой точки по знаку НеЛ и, во-вторых, определитгв в каком направлении вокруг особой точки происходит движение по траекториям. Для этого достаточно построить в какой-нибУдь точке (з, У) вектоР скоРости ( †„;, зл), опРеделаемый по формулам (3). Аналогично исследуется направление движения в случае вырожденного узла. Пример 1.

Исследовать особую точку ш = О, у = О системы РОО Ь' 16. Особые точки Прямые, проходящие через особую точку., ищем в виде у = )сх (а также х = 0). Подставляя в написанные уравнения, находим Ь = 1. Значит, у = х и х = 0 — искомые прямые. Остальные интегральные кривые строятся с помощью изаклин (рис. 7). П ри м е р 2. Исследовать особую точку уравнения Оу 4х — Зу Ох х — 2у (7) Находим корни характеристического уравнения 1 — Л вЂ” 2 4 — 3 — Л = 0 Л -~- 2Л -~- 5 = 0 Л = — 1 ~ 21 Особая тачка — фокус.

Переходим от уравнения (7) к системе Ох (1у — = х — 2у, — = 4х — Зу. гй ' Ж Рис. 8 3. Длн исследования особой точки более общей системы (1) нли уравнения (2) надо перенести начало координат в исследуемую особую точку и разложить функции Р и ~З в окрестности этой точки по формуле Тейлора. ограничиваясь членами первого порядка.

Тогда система (1) примет вид йэа Оуз Ф вЂ” = ахз+ Ьуз+ 1о(хз, уз), — = схз+ Оуз+ чЬ1хз, уз), (9) Ж Строим н точке (1, О) вектор скорости 1 "з",', злз) . В силу (8) он равен (х — 2у, 4х — Зу). В точке х = 1, у = 0 получаем вектор (1, 4) (рис. 8,а). Следовательно, возрастанию 1 соответствует движение по траекториям против часовой стрелки.

Так как вещественная часть корней Л равна — 1 ( О, то особая точка асимптотически устойчива, следовательно, при возрастании 1 решении неограниченно приближшотся к особой точке. Итан, при движении против чвсовой стрелки интегральные кривые приближаютсн к началу координат (рис. 8,б). 3 16. Особые точки 101 где хы у« . новые координаты (после переноса), о, Ь, с, с) †.

постоянные. Предположим, что для некоторого с > О Ю(хы В) 9(х; у ) — «О,,'' — «О при х« — «О, у« — «О, «лег г« В задачах 961 †9 исследовать особые точки написанных ниже уравнений и систем. Дать чертеж расположении интегральных кривых иа плоскости (х, у). 962. у' =, йу — 3 ' 2х+ у Зх -)-4у' 963. р'= ', '. у 964.

у' = 2х+ Зу 966. р' = у 965. р' =, Зх — 4у 968. х -«у 96Т. у' = 2у — Зх' где т = т«гхз« -«уз. Очевидно, эта условие выполняется (при любом с < 1). если функции Р и Я в исследуемой точке дважды дифференцируемы. Предположим еще, что вещественные части всех корней характеристического уравнения (Ь) отличны ат нули.

Тогда особая точка х« = О, у« = О системы (9) будет того же типа, что особан тачка системы (3), получаемой отбрасыванием функций ч«и уь Далее, утловые коэффициенты направлений, по которым траектории входят в особую точку. для систем (3) и (9) одни и те же (однако прямым у = Ьх для системы (3) могут соответствовать кривые для системы (9)), а в случае фокуса — — направление закручивания траекторий одно и то же. В том случае, когда для системы (3) особая точка — центр, для системы (9) она может быть фокусом или центром. Для наличии центра достаточно (но не необходима), чтобы траектории системы (9) имели ось симметрии, проходящую через исследуемую точку. Ось симметрии, очевидно, существует, если ураннение вида (2), к которому можно привести систему (9), не меннетсн от замены х на — з: (или у на — у).

Для наличия фокуса необходимо и достаточно, чтобы нулевое решение системы (9) было асимптотически устойчиво при 1 -« +аа или при ) -« -аа. Исследование на устойчивость можно провести с помощью функции 1!япунова. Это сделать нелегко, так как в рассматриваемом случае функцию Ляпунова часто приходится брать в виде суммы членов второй, третьей и четнертой степеней относительно х, у. г16. Особые точки 103 сс = 1п(1 — у + у ), ЯЯ1 ,д 3 / г+Вд '.=Д.— у) 3~ — 2, 992. ~ ~ ~ ~ ~ к ~ ~ 2 ~ ! д=е" ' — е. Для уравнений 993 — 997 дать чертеж расположения интегральных кривых в окрестности начала координат.