А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (2000) (PDF), страница 7

Порядок уравнении понижен. Решив полученное уравнение, найдем Р = ~сссСд д— 1. Следовательпос д' = ~ исС,'и — 1. Из этого уравнения получим 4(Сд — 1) = Сз(к+ Сх). 3. Если уравнение однородно относительно д и его производных, т. е. не меняется при одновременной замене д, д', д", ... на )сд, кд', Ад", ..., то порядок уравнения понижается подстановкой д = дз.

где з — новая неизвестная функция. 4. Порядок уравнения понижается, если оно является однородным относительно к и д в обобщенном смысле, т. е. не меннется от звмены з на кз, у на й у (при этом у' заменяется на Й'"' у, д'— на й™ зуа и т. д.). Чтобы узнать, будет ли уравнение однородным, и найти число сис надо приравнять друг другу показатели степеней, в которых число к будет входить в квжд ы й член уравнения после указанной выше замены.

Например, в первый член уравнения 2к' д — Зд = к после этой замены число к будет входить в степес а 2 с ни 4+ (ш — 2), во второй — в степени 2ш, в третий — в степени 4. Следовательно, сп должно удовлетворять уравнениям 4 -Ь (ш — 2) = 2ш = 4. Отсюда пс = 2. Если же полученные уравнения длн сп будут несовместными, то дифференциальное уравнение не нвляется однородным в указанном смысле. После того как число ш найдено, надо сделать замену переменных з = е, у = зе"'с, где з = з(1) — новая неизвестнвя функции, а ! новое независимое переменное. Получим уравнение, в которое не входит независимое переменное!. Порядок такого уравненин понижается одним из ранее рассмотренных способов.

б. Порядок уравнения легко понижается, если удается преобразовать уравнение к такому виду„чтобы обе его части валились полными производными по з от каких-нибудь функций. Например. пусть дано уравнение уд ' = д' . Деля обе части на дд', получим 3 лт — — х-, (1пд')' = (1пу)'; 1пу' = 1пд -~-!пС; д' = дС. Порядок уравнения понижен. Решить уравнения 421-450. 421.

шхуа = у' . 422. 2юусуа = у' — 1. З!О. Ураолеиил, долдеиаюи~ие лоиижеиие лорлдиа 424. у' + 2ууо = О. 426. дул + 1 = у' . 428. Уо' = уо . 430. Уо' = 2(уа — 1) с18 х. 431 2удо уг + угг 433. Уог + у' = хд". 435. ху'о = уа — хд". 437. Уо = е". 439. 2У'(уа+2) = хуа, 440, у'-у'да =1 441.

у' = (Зу — 2У')у". 442. Уо(2У'+ х) = 1. 447. хуа = у' + х зш л-. УУ +у=У Решить уравнения 451 — 454, воспользовавшись формулой, сводящей многократное интегрирование к однократному (см. (Ц, гл. 1е', З 2, п. 1). 451. хугт = 1. 453. Уа' = 2ху". 452. хуа = зшх. 454. худ+ у'о = е*. Решить уравнения 455 — 462, преобразовав ил к такому виду, чтобы обе части уравнения являлись полными производными. 456. у'уо' = 2да, 458. оу — Зу у'е = О. 460. Уа = ху'+;у+1. 455. Уу'а + Зу'уа = О. 457. Ууа = у'(д'+ 1), 459.

ууо+ у'г = 1, 423. Узда = 1. 425. Уо = 2ду'. 427. Уо(е + 1) + у' = О. 429. Ууа = у' — у' . 443. Уо — 2У'уи' + 1 = О. 444. (1 — хг)уа + ху' = 2. 445. Ууа — 2ду'1пу = у' . 446. (д' + 2У)ди = у' . 448. Уа'у' = уа . 450. хуа = у'+ х(у" + хг). 432. Уа + хуа = 2У'. 434. да+у' =2е и. 436. Уа' = у" + 1. 438. Уа — хда'+ уо' = О. 210. Уравнения, дояре>сающие пони>пеппе порядка 47 462. хуп — у' = хгуу'. 461. хуп = 2уу' — у'. В задачах 463 — 480 понизить порядок данных уравнений, пользуясь их однородностью, и решить эти уравнения. 463 худо — хд" =ддс 464 удсс=у", 1о>,г /х 465.

(хг+ 1)(у' — ууп) = хуу'. 467. хгууо = (у — ту') . 466. хууп -Ь ху' = 2уу'. >2 д' у у' 468. Уп + — ' + — ' 2: Х У 469. у(хуа+ у') = т,у' (1 — х). 470. хгудп+ д' = О. 471. х'(д' — 2ууп) = уг. 472. хдуп = д'(у+ д'). 473 42.2 дз усс хг У4 474. х'уп = (д — ху')(д — ху' — х). 2 с 475. — +у =Злу + У >2 . и 2УУ х2 х 476. д = 2ту — — д + 4У и О с 2 1У х х2 ' 477. хг(2ууп — у' ) = 1 — 2хуу'.

4Т8. хг(ууп — у'2) + хуу' = (2ху' — Зу)х>хз. 4Т9. х4(у' — 2ууо) = 4х'уу'+ 1. 480. Уу'+ хдуп — ху' = хз. В задачах 481 — 500, понизив порядок данных уравнений, свести их к уравнениям первого порядка. 481. Уо(З+ УУ' ) = У' . 482. Уп — У'до' = (ее-) 483. Уд' + 2хгдп = хд' . 484. у' + 2хууо = О.

485. 2хуг(хуп + у') + 1 = О. 48 з10. Уравнения, допуенаапиие понижение парадна 486. х(до+ у' ) = у' + у'. 487 уг(д~дт 2упг),/~ 488. У(2г;уп+ у') = ху' + 1. 489. Уп + 2уу' = (2х + ~~) у'. 490. д'уп' = уп + у' у". 492. Уп = у'а — уу' д". 494. Уп'у' = 1. 491 дуе' = у" +2хуг 493. 2дуп' = д'. 495. угуо' = у'з 496. Хгууп + 1 = (1 — у)ху', 497. Уу'уа'+ 2У' дп = Зууа .

498 (у"у"' — Здп )д = у" 499. Уг(у'уп' — 2уп ) = уу' ун+ 2у' . 500. хг(узуп' — у' ) = 2угу' — Зхуу' . 502. 2дп' — Зу' = О; у(0) = — 3, у'(О) = 1, дп(0) = — 1. 503. хгуп — Зху' = -"иг — 4У; у(1) = 1, у'(1) = 4 504. Уа' = Зуу', у(О) = — 2, у'(0) = О, уп(0) = 4,5. 505.

Упсозу+у' ашд = д', у( — 1) = в, У'( — 1) = 2. 506. Найти кривые, у которых в любой точке радиус кривизны вдвое больше отрезка нормали, заключенного между этой точкой кривой и осью абсцисс. Рассмотреть два случая: а) кривая обращена выпуклостью к оси абсцисс; б) вогнутостью к оси абсцисс. 507. Найти кривые, у которых радиус кривизны обратно пропорционален косинусу угла между касательной и осью абсцисс. 508.

Определить форму равновесия нерастнжимой нити с закрепленными концами, на которую действует нагрузка В задачах 501 — 505 найти решения„удовлетворяющие заданным начальным условиям, 501. Удп = 2ху'; у(2) = 2, д'(2) = 0,5. 2 11. Ли«геа«гые уралиепип с постолииыии коэффииие«гталги 49 так, что на каждую единицу длины горизонтальной проекции нагрузка одинакова (цепи цепного моста). Весом самой нити пренебречь. 509. Найти форму равновесия однородной нерастяжимой нити (с закрепленными концами) под действием ее веса.

510'. Доказатьг что УРавнение движениЯ маЯтника Уи + + сйпу = 0 имеет частное решение у(т), стремящееся к л при х -«+ос. В 11. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 1. Чтобы решить линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами аоу" -«а«1«1" -« ... +а„гу'-«а„1« = О, (1) нодо составить характеристическое уравнение асЛ -~-агЛи ж ... -«а гЛ -« а = 0 (2) и найти все его корни Лг, ..., Л„. Общее решение уравнения (1) есть сумма, состоящан из слагаемых вида С;е«ы дли каждого простого корня Л; уравнения (2) и слагаемых вида (С„,.«г-«С„,егх-«Ст.«зхг-« ...

-«С елхл ')е ' (3) для ка«кдого кратного корня Л уравнения (2), где к кратность корня, Все С; — произвольные настоянные. Козффициенты уравнения (1) и корни Л здесь могут быть вещественными или комплексными. Если же все козффициснты уравнения (Ц вешественныс, то решение можно неписать в веществонной форме и в случае комплексных корней Л. Длн каждой пары комплексных сопряженных корней Л = о х )гг в формулу общего решения включаются слагаемые С, «ге™созДх+ С„,.«ге з)гг«тх, если эти корни простые, и слагаемые Рь г(т)е" созда+с)л г(х)е зшДх, ОО 3 11. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами если каждый из корней о+ Дг и о —,% имеет кратность Й. Здесь Рь, и ссь г многочлены степени Ь вЂ” 1, аналогичные многочлену в (3), их коэффициенты — произвольные постоянные. Пример.

Решить уравнение у — 26 ' — 16д'+ 32у = О. у гу Пишем характеристическое уравнение Л' — 2Л~ — 16Л+ 32 = О. Разлагая левую часть на мне>кители, находим корни: (Л вЂ” 2)(Л вЂ” 16) = О, (Л вЂ” 2) (Л+ 2)(Лг 3- 4) = О. Лг = Лг = 2, Лз = — 2, Лг = 2'с, Лв = — 2'г'. По изложенным выше правилам пишем общее решение р = (Сг -1- Сгх)е .~- Сзе + С4 сов 2х -~- Сл щи2х (степень многочлена Сг+Сгх на 1 меньше кратности корня Л = 2). 2. Для линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами и с правой частью, состоящей из сумм и произведений функций Ьс + Ьгх+ ... + 6,х, е *, сов(3х, шпДт, частное решение можно искать методом неопределенных коэффициентов.

Для уравнений с правой частью Р„,(х)ег". где Р (х) = 6с-~- +Ьгх+ ... + Ь„,х"', частное решение имеет вид грг = х'1,),(х)е~', (4) где Ц (х) — многочлен той же степени т. Чисао е = О, если 3 — не корень характеристического уравнении (2), а если т — корень, то в равно кратности этого корня. Чтобы найти коэффициенты многочлена Я„,(х), надо решение (4) подставить в дифференциальное уравнение и приравнять коэффициенты при подобных членах в левой и праной частнх ураннения. Если в правую часть уравнения входят синус и косинус, то их можно выразить через показательную функцию по формулам Эйлера в» + — Шя гег — глг сов(3х =, яшДх = (5) 2 ' 2г' и свести задачу к уже рассмотренному случаю.

Если жо коэффициенты левой части уравнения вещественны. то могкгго обойтись без перехода к комплексным функцинм (5). Для уравнения с правой частью (6) е"'(Р(х) сов )Зх + се(х) в(п(3х) 311. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 31 можно искать частное решение в виде уг = х'е '(Йж (х) сазфх -Ь Т~(х) з)глзах), (7) где е = О, если сс+ 131 нс корень характеристического уравнения, и е равно кратности корня а+ Р1 в противном случае, а Л и Т,„.

многочлены степени т, равной наибольшей из степеней многочленов Р и гр1. Чтобы найти коэффициенты многочленов В„, и Т „надо подстелить решение (7) ~ уравнение и приравяять коэффициенты при подобных членах. Еще один метод отыскания частного решения уравнения с вещественными коэффициентами и правой частью вида (6) состоит в следующем. Сначала решают уравнение с правой частью Р(х)е' +~'М. Пещественная часть этого решения будет решением уравнении с правой частью Р(х)е солках, а мнимая — решением уравнения с правой частью Р(х)е"' з(пр3х. Если правая часть уравнения равна сумме нескольких функций вида Р(х)е ' и вида (6), то частное решение отыскиваетсн по следующему правилу.