А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (2000) (PDF), страница 16

Указание. В задачах 993 — 997 особые точки не принадлежат к рассмотренным в начале г 16 типам. Для нх исследования можно построить несколько изоклин. Затем надо выяснить, с каких сторон интегральные кривые входят в особую точку. 2 г 994*. д' = х -~-д 993*. у' = к-ьд' 995*. у' = у -ь к 990". у' = у — л: 997*. д' = д -ь к 998. Доказать, что если особая точка уравнения (аж + бу) бт + (тт + ау) бу = 0 является центром,то зто уравнение нвлнетсн уравнением в полных дифференциалах. Обратное неверно. 999*.

Доказатгч что если уравнение предыдущей задачи не нвляется уравнением в полных дифференциалах, но имеет интегрирующий множитель, непрерывный в окрестности начала координат, то особая точка — седло (если ап ф бгп). 1000*. Пусть в уравнении ах+ Ьу+ р(т, у) д -ь Ду + ч(лч д) функции р и д определены и непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки (0,0), а в самой точке 104 217. Фаэоеая плоскость (О О) Р = Р' = Р„= Ч = и„' = дэ = О.

Доказать, что если урав- нение (1) не меняется от замены у на — у, а корни характерис- тического уравнении с — Л д =0 и Ь вЂ” Л чисто мнимы, то особан точка (0,0) центр. О 17. ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ 1. 0 понятиях фазового пространства, фезоной плоскости, автономной системы, траектории см. [1]. гл. УП., 'З 1, п. 4. или [3], 3 1 6, или [4], гл. 3, 3 1. 2. Чтобы построить траектории системы х = Ьь(х, у), у = Ых, у) бу Уз(х, у) бх А(х, у) (2) Траектории системы (1) будут интегральными кривыми уравнения (2).

Их можно построить или решив уравнение (2) (часто оно решается проще, чем система (1)), или с помощью метода изоклин (6 1), при этом необходимо исследовать особые точки системы (методами 3 16). Для построения траекторий уравнения х = 7(х, х) на фазовой плоскости надо от этого уравнения перейти к системе;г = у, у = = 1(х, у), которан исследуется так же,как система (1). 3. 1!редельным циклом называется замкнутая траектория, у которой существует окрестность.

целиком заполненнан траекториями, неограниченно приближающимися к этой замкнутой траектории при т -ь +ос или при Г -ь — оо. Лредельный цикл называетсн устойчивым, если траектории приближаются к нему только при 1 -э +со, неустойчивым — если только при 1 — ь — оо, полуустойчивым если с одной стороны цикла траектории приближаются к нему при 1 -ь +со, а с другой стороны при 1 — ь — 'ю. О предельных циклах см.

[,'5], ~ 28, [2], ~ 26. на фазовой плоскости х, у, можно или исследовать непосредственно эту систему, или, разделив одно уравнение на другое, свести ее к уравнению первого порядка 105 з 17. Фазовая плоскость 1001. т. +4т. = О. 1002. т. —,с = О. 1003. х — т+ тз = О. 1004. т — Зтз = О. 1005 5+2тз О 1006 т+2тз 2х= О 1007. х + е* — 1 = О. 1008. х — 2" + т + 1 = О. 1009. х — ашт = О. 1010.

з!+2совх — 1 =0. 1011. т, — 4х+ Зх = О, 1012. х+ 2х+ от = О. 1013. т. — х — 2х = О. 1014. з~ + 2т + тз + т = О. 1015. т, + х+ 2х — хз = О. 1016. т' Ч-хз — хз Ч-1 = О. 1017. т+ 2е —,' = О. 1018. т, -Ь,ГР+ ' — 1 = О. 1019. х+ зх — 41в —.' = О. 1020. х+ т+ вгстй(тз — 2х) = О. В задачах 1021 — 1034 начертить на фазовой плоскости траектории данных систем и исследовать особые точки. т. = 2т+ уз — 1 1021. у=Ох — у -ь1. х = 4 — 4х — 2у, 1023. у=хд. х = уз — 4хз, 1022.

у = 4у — 8. 1024. т=1 — х у =2т. х = ху — 1, 1026. д = (х-4)(д-х). х=2+у — хз, 1025. у = 2т(х — у). 1027. х= 1 — з: д = 2ту. х = 2(х — 1)(у— 1028. у = у' — т'. 2), В задачах 1001 — 1020 для данных уравнений начертить траектории на фазовой плоскости. По чертежу сделать выводы о поведении решений при 1 -ь +со. т'17. Фазоеал плоскость 106 х = (х+у) г — 1, 1029.

г,+1 х = (2х — у)г — 9, 1030. д 9 ~х 2д)г х = (2х — у)г — 9, 1031. у = (х, — 2у)г — 9. т = хг+уз — бх — Вд, 1032. 9 = с(2у — х з-ос) х=х — у, г 1033. д = (х — у) (х — у -ь 2). х=х +у — о, 1034. у = (х — 1) (х + 3у — 5). 1035. Вывести уравнение движении мантника без сопротивления. Для случая, когда все постоянные, входящие в уравнение, равны 1., начертить траектории на фазовой плоскости. Дать физическое истолкование траекториям различных типов. 1036.

Вывести уравнение движения маятника с сопротивлением, пропорциональным квадрату скорости. Деть чертеж траекторий на фазовой плоскости. 1037. Вывести уравнение движения мантника, на который действует постоянная сила, равная половине веса маятника и направленнан всегда в одну сторону по касательной к дуге окружности, по которой цвижется маятник. Приняв постоннные 7 и д равными 1, нарисовать траектории полученного уравнения на фазовой плоскости. Какие движения мантника изображаются траекториями различных типов? 1038. Груз массы ги прикреплен к пружине.

При отклонении груза на расстояние х пружина действует на него с силой Их, направленной к положению равновесия. Сила тренин равна Г = сопьо и направлена в сторону, противоположную скорости У к а з а н и е. Воспользоваться чертежом, построенным для задачи 1035. 107 з 17. Фпооопя плоскость Указание. При малых колебаннпх считать эшз к.

Изменение длины маятника происходит мгновенно (скачком), при этом угол отклоненнп мактника и его момент количества двнжепнп относительно осн нс испытывают скачков. Начертить на фазовой плоскости траектории систем 1040 — 1046, записанных в полярных координатах, и исследовать, имеютсп ли предельные циклы. Йф сй 1040. —" = т(1 — тз), с11 1041. —" = т1т — 1)(т — 2), — = 1.

сЫ сМ Йф и 1042. Ж = ?1 — )', с11 1043. — т = зшт, 41 1044. — т = тЯт — 1~ — ~т — 2~ — 2т+ 3), ~ = 1. <М сМ 1045. —" = тяп —, ,11 Р' 1046. — = т11 — т) а1п —., — = 1. дт,, 1 Ф с11 1 — т' с$1 1047*. При каких условинх система с1со — =1, сЫ груза. При 1 = 0 груз находится на расстоянии 6 от положении равновесия и имеет нулевую скорость. Вывести уравнение движении груза.

Приннв си = 2, й = 2, 7' = 1, б = 5, изобразить движение груза на фазовой плоскости. 1039. Изобразить на фазовой плоскости малые колебания маятника переменной длины. считан, что при движении мантника вверх его длина равна Н а при движении вниз равна А > 1. Во сколько раз увеличитсн амплитуда за одно полное колебание'? (Пример: раскачка качелей.) 108 й 18. Зависимость решения от начальных услооиа где функция у(г) непрерывна, имеет предельный цикл? При каких условиях зтот цикл устойчив? Неустойчив? Полуустойчив? 1048*. При каких значениях постоянной а система сЬр с[с — = 1, — = (г — 1)(а+ вш 1о) с[! ' сМ имеет устойчивый предельный цикл? Неустойчивый? Для уравнений 1049 †10 с помощью изоклин построить траектории на фазовой плоскости и исследовать особые точки.

По чертежу сделать заключение о поведении решений при 1 -ь +ос и о возможности существовании замкнутых траекторий. 1049. х+ хз — х+ х. = О. 1050. х+ (хз — 1)х+ х = О. 1051. х+ х — 2агс18т, + х = О. 1052. х+ 2 — х+ х = О. 1053*. Для уравнения х + 2ах — Ьайпх + х = 0 (О < и < 1, Ь > 0) построить траектории на фазовой плоскости и найти точки, в которых предельный цикл пересекает ось Ох.

Указание. Найти зависимость между абсциссами двух последовательных пересечений траектории с осью Ох. 1054. Показать, что уравнение х+?г(т)+ т = О, где функция Е непрерьпвна и И'(9) > О при у > О, г'(у) < 0 при д < О, ие может иметь предельных циклов иа фазовой плоскости. у к а з а н и е. Исследовать знак полной производной с, (я~+ у~). 1055".

Пусть ?(х, р) и ?",,,?„' непрерывны, 1(О, О) < О, а при хе+ уз > Ь- имеем ?(х, у) > О. Доказать, что уравнение х+ ?(х, х)х+ х = О имеет периодическое решение х(1) ф О. У к а з а н н е, Перейти на фазовую плоскость и исследовать знак полной производной оь(х~ + уз). Построить кольцо, нз ното- рого не может выйти ни одна траектория. Применить теорему 21 из [3).

818. Зависимость решения от начальных усьоеий 109 3 18. ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЯ ОТ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ И ПАРАМЕТРОВ. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1. Рассмотрим систему в векторной записи — = У(г х). с)х сй где х = (хы ..., х„), У = (Уы ..., У„). Пусть в рассматриваемой области вектор-функция У непрерывна по Г, х и удовлетворяет усло- вию Липшица но х ((У(1 у) — У(1 П < йЬ— (2) Через й Ц обозначается любая из обычно применяемых норм вектора: ьа=чв с~.

+н г 'ахеей = ~хь~ -г ... -'г ~х„~ или — — У(1, у) < 1, бу(О) - х(ОН < б. йу Тогда имеет место оценка Цх(1) — у(1) й < бе ' ' ч- — „(е ~ ~ — 1) . (8) Это неравенство можно применять для грубой оценки оьпибки приближенного решении у(1) системы (1). а также для оценки сверху разности решении х(1) системы (1) и решения у(1) системы д, = 8(1, у), если Ы(ь', у) — У(й уН ~ (я.