А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (2000) (PDF), страница 19

у (13) Следовательно, общее решение уравнения (11) можно написать в неявном виде Е~ —,2 +хр)=О, ~,у где à — произвольнан функция. Так как 2 входит только в один из первых интегралов (13), то общее решение можно написать и в явном виде. Мге получим Х = Х, У = Х, 2 = Х . 2, 3 Подставив зги выражения в (13), получим 1 — = Сг, х х -)х =С2 1!сключив х, получим 1 1 — -> — = Сг.

Сб Сз Подставив вместо Сг и Сг левые части первых интегралов (13), найдем искомое решение где у" — произвольнан функции. Чтобы найти интегральную поверхность, проходящую через линию (12), запишем зту линию в параметрическом виде, например, взнв х в качестве параметра: 320. Уравнения в частных прои»водных первого порядка 125 у — — х — = О. д» , д» а.

ау 1167. 1х+ 2д) д» Уд» 0 1168. х —.+у — +г —, =О. ди дв ди д» ду д» 1169. (и — х) а" + (у — г) а" + 2» а," — — О. 1170. 1171. 11Т2. ен а' + уз а» = у е*. а, ау= 11ТЗ. 2л д» + (у — х) ф — хх = О. 11Т4. 1175. хф + 2уд = лгу+ г. (хз , уз)аа 2худа + гз — О 1176. 2 ад уд гггг+1 д» ду 11ТТ. 1178 у д» д»» а ау (г У)заа» +хха д= ху' 1180. хуа*'+ (х — 2г) а"„= ух 1182 1188. й]п ха,', + 18»ф = сова г. 1184. (х+ ~) ф + (у+ ) ф = х+ у.

1185. (лш + у) а» + (х + Уг) д' — — 1 — г'. 1186. (у+ я)ф -'; 1х+ х)$+ (х -~ у) д", = и. 3. О решении системы двух уравнений и частных производных первого порндка и о решении уравнения Пфаффа см. ]1], гл. 1Х, 3 1 и 3 2, пп. 1., 2, 3. Длн каждого из уравнений 1167 — 1188 найти общее решение.

126 г20. Уравнения в частных производных первого нарядна 118и ди с ди с с + )ди 1189. ха' — уд' = О дх дв х=2х приу=1. 1190. д; + (2 ее — д) ди = О; прил=О. 1191. 2~/хав — уд' = О; х = уг при х = 1. и = ух при х = 1. 1192 ди + ди + 2ди О, дэ дв дз 1193.т.до+дав+худи=О:, и=х +У пРих=О. В задачах 1194 — 1210 найти поверхность, удовлетворяющую данному уравнению и проходящую через данную линию. 1194.

уг а' + худ* = х; т = О, г = уг. 1196 а.а. 2уа* г+уг. 1196. хф+уф =х — ху; х=2, я=ух+1. 1197. тйт,д' + да' — — х, у = х, х = т.. 1198. хаг — У = г~* — 3,); . =1, „+1=0. 1199. х — '+уд — — х — х — у; у = — 2, х = х — х . дг дг,г г, г д" аи 1200. ух~' +хг~' — — тд; х = а, д + х = о . 1201. хф — хчуф = 2хх; х+ у = 2, ух = 1. 1202. хд' + (хг — тг)дз +т = О; = тг, = 2т, с )да+( )аз 1204.

х аг + (хх + у) ф = х; т + у = 2х, хх = 1. 1205. уха'+ух— а '+хг = О; х — д = О, х — ух = 1. ди ди 1206.хф-ь д'=у: у=2х, *-ь2у=~. 1188. (и — х) — 1' + (и — д) д„— х 'д," — — х + д. Найти решения уравнений 1189 — 1193, удовлетворяющие указанным условиям. З20. Уравпепия в чаепчпвгх производпмх первого порядка 127 1207. (у+ 2зз) —" — 2хзг д' = х' х = з у = х'. 1208. (х — з) в'+(у — з) д' = 2з1 х — у = 2, г+2т, = 1. де ду 1200,, 3 де + 2 зде уз, зз, зз 1210*. г: — ' + у — д = 2ху; у = х, з = хз. 1211. Найти общее уравнение поверхностей, пересекающих под прямым углом поверхности семейства = Сху. 1212.

Найти поверхность, проходящук> через прнмую у=х, у=1 и ортогональную ь поверхностям з,' +у +гз=Сх. з.'+ у+ з = О, хз + ху+ у = 1. 1215. Написать уравнение в частных производных, которому удовлетворяют все конические поверхности с вершиной в данной точке (аг Ь, с), и решить его. 1216. Найти поверхности, у которых любан касательная плоскость пересекает ось Ох в точке с абсциссой, вдвое меньшей абсциссы точки касания. В задачах 1217 — 1219 решить данные системы уравне- ний дг — = у — 3, дх дз ду дг дх х' дг 2г ду 1217.

1218. 1213. Написать уравнение в частных производных, которому удовлетворяют цилиндрические поверхности с образующими, параллельными вектору (аг Ь, с). Найти общее решение этого уравнения. 1214. Пользунсь результатом предыдущей задачи, найти уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными вектору (1, — 1,1), и направлнющей 128 220. Уравнения в частных производных первого порядка дх 2 — = 2ух — 2, дт д — = хх. ду 1219. В задачах 1220 — 1223 найти поверхности, удовлетворнющие данным уравнениям Пфаффа.

1220. (х — у) Ох+ 2 Пу — хсе = О, 1221. Зухйх+ 2ххс1у+ ху02 = О. 1222. (2 + з:у) с1х — (2 + уз) с1у + у 02 = О. 1223. (2угх+ Зх) с122+ ххду+ худх = О. ДОБАВЛБНИБ Задачи, предлагавшиеся на письменных экзаменах Работа 15.05.94 г. состояла из задач 17, 63, 81, 98, 170, 198. Работа 4.06.94 г. состояла из задач 28, 51, 69, 122, 127, 148, 190.

Работа 18.05.95 г. состояла из задач 22, 56, 70, 129, 135з 194, 216. На выполнение работы студентам давалось 3 часа. Для полу- чения оценки «отлично» требовалось решить 5 — 6 задач. В Я 21 27 содержатся задачи, предлагавшиеся на письменных экзаменах и коллоквиумах на 2-м курсе механико- математического факультета МГУ в 1992 †19 годах, а также небольшое число задач, дававшихся для подготовки к экзаменам. Исключены самые трудные задачи. Сокрашено число задач на решение уравнений стандартными методами (подобные задачи содержатся в предыдуших параграфах этого сборника).

Ниже приводятся для примера три экзаменационные письменные работы (указаны номера задач из Б 21 — 27). З21. Существование и единственность решения 129 8 21. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ 1. Теоретические вопросы Вопросы 1 — 5 рассчитаны на лиц, изучавших доказательство существования решения дифференциального уравнения, основанное на переходе к интегральному уравнению и построении последовательных приближений ~1], ~2). 1. Обосновать связь условия Лившица и дифференцируемости.

2. Изложить общий план доказательства теоремы существовании и единственности. 3. Сформулировать и доказать утверждение о переходе от дифференциального уравнения к интегральному. 4. Доказать, что последовательные приближения сходнтсн к непрерывной функции. 5. Доказать, что предел последовательных приближений есть решение интегрального уравнения, 6. Сформулировать и доказать утверждение о единственности решения.

7. Сформулировать теорему о существовании и единственности решенин дифференциального уравнения порядка в. 8. Сформулировать и доказать лемму об интегральном неравенстве. 2. Существование решения и последовательные приближения О. Перейти от уравнения е' до'+шд = 2дд' к системе нормального вида и при начальных условиях д(0) = 1, д'(О) = 1, ди(0) = 0 построить два последовательные приближения к решению.

10. Построить три последовательные приближения до, ды дз к решению задачи Ч' = 21+ д, д(0) = 1. Р30 З 21. Существование и единственность решения 11. а) ЗаДачУ д' = Уз -Ь ль д(1) = 0 свести к интегРальному уравнению и построить последовательные приближения до уы у2. б) Указать какой-либо отрезок, на котором сходнтся последовательные приближения, н доказать их равномерную сходимость. 12.

Существует ли решение задачи 1 при у ( 0 д' = г"(д), у(0) = О, где г"(д) = ( — 1прид)0? Обосновать ответ. 13. а) Свести задачу уи' =,, д(1) = О, у'(1) = 1, ун(1) = 2 (у' - ж) к задаче для системы нормального вида. б) При каких а существование н единственность решения гарантируется теоремой? 14. а) Указать все значении параметров а, а, А, при которых теорема суьпествования и единственности гарантирует однозначную разрешимость задачи 3+1 (ос+ а) д'о + 2 „" — (а — 1)уз у 1 1 = 1п 3 — 1' у(а) = 1, у'(а) = А, уи(а) = а.

б) На какой максимальный интервал моькно продолжить решение атой задачи в случае сс = — 1, а = — 2, А = — 3? 15. Задачу ау' = л- — а, у( — 2) = 4 свести к интегральному уравнениьо, построить последовательные приближения н найти их предел. 16. При каких начальных условиях существование единственного решения уравнения ун'аьпл+т1пу+13т = 1 гарантируется теоремой( З21. СуиЗествование и единственность решения 131 3.

Применение теоремы единственности 1Т. Для уравнения ун = ("-)- — 1 известны два решения: у зз уз = 1+ ешт, дз = (Д + 1), проходящие через точку (О, 1). Как ато согласуется с теоремой единственности1 В задачах 18 — 22 требуется вынснить, при каких в наличие указанных решений у написанных уравнений не противоречит теореме единственности. 18.

уи' = ((с, у., у', ун)., г Е С~, решения уз = 1+1+ я1з, дз = ц(1 — 1) (-1 < Г < 1(2). 19. уоо = 1 (я, у, у', ..., у~ ~~),,) Е С~, решения дз = = 2совш, уз = 2 — тз. 20. уоо + а1(ж) у~и Н + ... + ои(т) у = О, все ое(л) непрерывны. решение у1 = ш(ее — 1). Рнс. 10 Рис. 9 21. Уравнение то же, что в задаче 20, график решения дз указан на рис. 9 22. Уравнение то же, что в задаче 20, график решения уз указан на рис. 10.