А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (2000) (PDF), страница 14

Прн а < — 8 один корень положителен, значит, нулевое решение неустойчиво. При а = — 8 имеем Лг = О, Лз = — 6 и вопрос об устойчивости не решается с помощью изложенной теоремы. 3. Исследование на устойчивость с помощью функции Лппуноаа. Производной от функции о(1, хг, ... ..., т ) и силу системы (1] называется функция йг ) По до дв О! ~01 дг дхг ' ' ' дх„ где 1г, ..., )'„— правые части системы (1). Теорема Пни у нова.

Если существует диу1ференцируемая функция о(хг, ..., х ), удовлетворяющая в области )х) < ео усло- виям 1) о > О при х ~ О, о(0) = О, 2) — ( <О при ~4 <ео,т>го йо оу 1ы гпо нулевое решение системы (1) устойчиво по Ляпухову. Если влгесто условия 2) выполнено более сильное условие 3) — "~ < — ш(х) <О приО< ~к~ <во,!>!о, а функция ш(х) непрерывна при /х/ < Ео, то нулевое решение сис- темы (1) асимптотически устойчиво. Л 15.

Устойчивость 90 Теорема Четаева. Пусть сиппема (1) обладает нулевым Решением. Пусть в некотоРой области У пРостРанства хы ..., х„ существует дифференцируемая функция о(хы ......, х„), причем 1) точка х = О принадлезкит границе области У, 2) о = О на границе области У при ~х~ < ео, 3) в области Ъ' при С > го имеем о > О, гг' 3 ш(х) ) О, и 19 функция ш(х) непрерывна.

Тогда нулевое решение системы (1) неустойчиво. Не существует общего метода построения функции Лппупова о (когда решение системы (1) неизвестно). В ряде случаев функцию Ляпунова удается построить в виде квадратичной формы о = 2 бг хгхг или в виде суммы квадратичной формы и интегралов от нелинейных функций, входящих в правую часть данной систе- мы. 4. У ел овин о три цательност и всех вещественных частей корней уравнения аоЛ" -Ь азЛ" -Ь ...

ф а„ьЛ ч- а„= О, ао > О, (6) ва ае О О О О ... О аз аг аз ао О О ... О аз аь аз аг гм ао ... О О О О О О О ... а„ На главной диагонали этой матрицы стоят числе аы аг, ..., а„. В каждой строке инденс наждого числа на 1 меньше инденса предыдущего числа. Числа а, с инденсами г > п или г < О заменнются нулнми. Главные диагональные миноры матрицы Гурвица: аг ао О ььг = аг ао г1з = аз аг аз, ... (7) аз аг аз аь аз г'.хь = аы с ве шест вен нымн коэффициентами. а) Необходимое условие". все а, ) О.

В случае и. < 2 это условие является и достаточным. б) Условие Реуса — Гурвица: необходимо и достаточно, чтобы были пологкшпельными все главные диагона гьные миноры матрицы Гурвица 91 115. Устойчивость в) Условия Льенара --Шипара. Необходимо и достаточно, чтобы все аг > 0 и чтобы г1„з > О,. 3оз > О, г3 -з > О, ..., где 73, гпе же, что в (7).

Эти условия равносильны условиям Реуса-Гурвица, но удобнее, таь как содержат меньше детерминантов. П ример. При каких а и Ь корни уравнения Л + 2Лз + аЛгф -Ь3Л+ Ь = 0 имеют отрицательные вещественные частиТ Пишем условия Льенара -Шипара: 2 1 0 а>0, Ь>0. сьз= 3 а 2 =6а — 4Ь вЂ” 9>0, г3з=2>0. 0 6 3 Отсюда получаем условия Ь > О, Оа > 46 ф 9, г) Критерий Михайлова. Необходимо и достаточно, чтобы на комплексной плоскости точка 7'(зси), где 7(Л) левая часть (6).

при изменении ы от О до -ьоо не проходила через качало координат и сделала поворот вокруг пего на угол ыг/2 в положительном направлении. Другая (эквивалентная) формулировка критерия Михайлова: Необходимо и достаточно, чтобы а„а„з > 0 и чтобы корни многочленов р(ф) = а„ вЂ” а зС ф ао-44 з д(П) = а з — а„-зс1+а -зц были все пололсительными, различнылси и чередугощимися, начиная с корня Сы т. е. 0 < Сз < Ш < Сг < Ог < (Заметим, что многочлен (6) при Л = сш равен р(ы ) + зыу(ы ).) Пример. 7(Л) = Лзф2Л ф7Лзф8Лгф10Л-~-6.

Здесь а = 6 > О, а„~ — — 10 > О, а многочлены р(С) = 6 — 84+ 2~, д(П) = 1Π— 70+ П имеют норнихч =1,4г = 3,йз =2,Ос =о, Значит,О <бз <Ьч < < сз < з)г. По критерию Михайлова нсе корни многочлена 7(Л) имеют отрицательные вещественные части. 6. Условия устойчивости нулевого решения линейной системы с периодическими коэффициентами см. в (5), гл. П1, 1 16. Задачи 881 — 898 решаются с помощью определения устойчивости. 881.

Пользуясь определением устойчивости по Ляпунову, выяснить, устойчивы ли решения Панных уравнений с указан- 92 1 15. устойчивости ь ными начальными условиями а) 3(1 — 1)х = хь х(2) = О. б) х = йт. — 1гх, х(0) = О. г) 21х = х — хг, х(1) = О. в) х = 1 — х, х(О) = 1. В задачах 882 †8 начертить на плоскости х,, д траектории данных систем вблизи точки (О, 0) и по чертегку выяснить, устойчиво ли нулевое решение. 882.

х = -х, д = -2д. 883. х = х. у = 2у. 885. х = — дь р = 2хз. хз(1+ дг) 884. х = -х, у = у. 886. х = у, у = — з1п х,. 888. х = — дсозх, у = яшх. 889. Траектории системы уравнений эь = Р(х, у), эхг = 13(х, у), где функции Р, Р,', Р„'. ь), ь),',. 1)'„ непрерывны, изображены на фазовой плоскости (рис. 5). Что можно сказать о поведении решений при 1 — э +ос? Является ли нулевое решение асимптотически устойчивым? Является ли оно устойчивым по Ляпунову? Рис. б В задачах 890 — 892 выяснить, является ли устойчивым нулевое решение системы, если известно, что общее решение этой системы имеет указанный вид.

890. х = Сг сои 1 — Сге ', д = Сг1~е '+2Сг. 891. х = ' ' ., д = (Сгь~ + Сг) е ~. 1 -~- гг 892. т, = (Сг — Сг1)е, у = ', +Сг. Сь ФС 1а(Р -ь 2) 893. Доказать, что для устойчивости по Ляпунову нулевого решения уравнения эь' = о(г)х (где функция а(г) непре- г 15. Уотоачиооота рывпа) необходимо и достаточно, чтобы 1пп а1л) аЬ ( +ос. а-о-а ос / В задачах 899 — 906 с помощью теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению исследовать на устойчивость нулевое решение аоо. ( аао.

( аоо. ( ' аоа. ( ' ооа. ( 2ху — х+ у, оох4+ уз + 2х Зу хг + уг — 2х, Зх — г: -1- Зу. е ~ "— созЗх ъ'4+ Зх — 2е". 1п(4у+ е ' ), 2у — 1+ ~ъТ вЂ” бх. 1п(З е" — 2 соз х) о 2 е' — (! 8 +12 у. 894. Доказать, что если какое-нибудь одно решение линейной системы дифференциальных уравнений устойчиво по Ляпунову, то устойчивы все решения этой системы. 895. Доказать, что если каждое решение линейной однородной системы остается ограниченным при 1 — а +ос, то нулевое решение устойчиво по Ляпунову. 896. Доказать, что если каждое решение линейной однородной системы стремится к нулю при 1 — а +со, то нулевое решение асимптотически устойчиво, 892.

Доказать, что если линейная однородная система имеет хотя бы одно неограниченное прн 1 -а +со решение, то нулевое решение неустойчиво. 898. Устойчиво ли нулевое решение системы х, = агг(~)хг + агг(~)хго хг = ага(1)хг + агг(1)хго если известно, что ага(1) + аггЯ вЂ” а Ь > 0 при 1 — а +се? г1о.

устоучивость х = 18<у —:с), 904., т у = 2" — 2 соя ( — — х) . 3 х =18<с — у) — 2т,, д = и'9+ 12х — Зе", '=-зд. х=е' — е з', У' = 4с — 3я1п<х+ у), 1 = 1п<1 + г — Зт), В задачах 90Т вЂ” 912 исследовать, при кеких значениях параметров а и о асимптотически устойчиво нулевое решение. т = ах, — 2У + тг, 90Т. у=х+д+ху. 909. т=х+ау+у, у=ох — Зу — х . 911. х = 2с — е'4+ад, у = 1п<1+ х+ ар). х=ах+у+т е 908. у=х+ау+у'.

г; = у+я)пхе 910. ~ ~ ~ ~ ~ ь д = ах+ од. х = )п1е+ах) — е", 912. у = Ьх ь 18 У. 913. Исследовать, устойчиво ли решение х = — ь~, у = 1 системы х = д' — 21У вЂ” 2У вЂ” т, д = 2х+ 21г + ег' '" 914. Исследовать, устойчиво ли решение х = соя1ь у = = 2 я!п1 системы у х = 1п х + 2 я1п 2) 2' В задачах 91о — 922 для данных систем найти все положония равновесии и исследовать их на устойчивость. г х = у — х —:с, 91о.

у=зх — х, — у. г: = <х — 1)<у — 1), 916. ~~ ~ ~ ~ ~ ~ е у=ху — 2. еее. ( еее. ( у = <4 —:с ) соя1 — 2т яш 1 — соя 1 г г з 115. Устойчивослгь 918. т=1п( — т+у ), у=с †у в. т= у, 917. у = з1п(х+ д). < у = 1п(хг — 3) х = ез — е*, 920.

у = тДх+дз " — 1п11 + у + зш з; ), 921. ~ = ~ ° "т Ьч ..: с х = — з1пд, 922. 9=2.'+ ч — ~ ь„ з 923. т = т — д~ у = х+ у х = д — и+ту, 924. д = т — у — х — у . х = 2уз — хз, 925. у= — х — д +д". 927. х = у — Зт — *, у = бх — 2д. т= ту — т +у, 926. 'д = х — у 928. х= 2у — х — уз, у=т,— 2д. 930. х = х — у — ту 0 = 2х — д — дз т = — х — ху, 929.