А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (2000) (PDF), страница 27

71. у = = Сг сов х-~-Сг яп х";(х -~- г ) ег' — 2х сов х. Т2. у = (Сг -~-Сг1) е' фСз 4 +1г(аз-~-Ь) е'-Ь(с1+д) о'соз14-(~1+8) о'зш1.-~-Ы~+И. ТВ. у = (Сг+ + Сг х) е™ +(ах + Ь) х ег"' + ее*(с соз х + И зш ге). 74. у = Сг еОе'Ь + -~гСге Ох 1* фахеОь 1" Ч-Ье0 О'. 75. д = (Сг-ЬСгх) е"-Ьах~ е'" ф +Ье *". 76. у = Сг еы гн +Слег ~ гО'+аеОпгп' Ч-Ьхе0 77. д = Сг ее'*Ч-Сге~ з 'г'ч-Сзе~ з 0'Ч-ихе" +Ье ~™. ТВ.

Да. 79. Нет. 80. Нет. 81. огфО, х2. 82. сфО, Ь любое или с = О, 6 = х1. 83. а) ггфО, хьг2; б) у = С -~- — з — "4— "зг 4— = С -~- — яп35 84. х = б) а нечетное. 86. а) а = 2; б) а~2, афО. ВТ. а = О, а = 4. 88. и = Ог а = х1. 89. а<0. 90. а~ х 1, аф х 2. 91. а = О, а = 4, Д = 2. 92. а = 1, 6 = О, с = — 4; гг = О, Д = 2, 7 = О. 93. х = (Сгг Сгг) ег' + 43, д = (Сг ф Сг ф Сге) е '-р1. 94. х = Сг е'(сов Зг — 2яп31) -~- фСг е'(2 соз 31-Ьягг Вг), у = С е'(сов 32+ми 24)+ Се е'(зш31 — сов 31). 95.

х = Сг + (Сг + Сз(З + 1)) е ', у = (Сг + Сз(г — 1)) е ', г = Сг + + (Сг + Сз1) е '. 96. Все КеЛ, = 0 и в жордановой форме все о; клетки размера 1. 97. пВ7. 98. (,о, г о). 100..е = 2С ж ' -1 .' -г-г .' + 2 яп5 у = С+егин 101. х = — 3 — сов гз, у = — 3 — сов 21 — 2 яп25 102. а) х = Сг сове + Сг вш1 — яп21 — 2 сов 21, у = Сг(созе + + зшг) + Сг(ейная — сов 1) — 2яп25 б) х = — зш2г — 2 сов 2г, у = = — 2гш25 103. а = — 2. 104. При о, = — 26. 105.

Тот же ответ, Лгг=1:б)(~+ем гг) 113 ),Лгг=е~;б) ( (,, ), 114. а) 1; Лг г = гов гхг яп В б) ("",г~гы' „„",";„',) . 115. (е — 1)(е— — е ') . 116. Все ВеЛг<0, 117. ел'"'. 118. Нет, например А = = ('е' "г) . 119. А = О, жорданова форме могкет содержать только клетки вида (0) и (о г ) . 120.

Да. 121. Да. 122. Да. 124. Все (ггг)<1. 125. ег"т'г~г . 126. а~ — 172. 131. Все ВеЛ,<0 и для тех Л„у которых КеЛг = О, клетки в жордановой форме имеют размер 1. 133. См, ответ задачи 131. 134. а) г!ее А = 0; б) см. ответ задачи 131. 135. Да. 136. Да. 137. Нет.

138. При п = 1 да, при п>2 нет, см. рисунок к задаче 889. 139. х = 0 неустойчиво. 140. х = 0 асимптотически устойчиво. 141. х = 0 асимптотически устойчиво, х = ггу (1 = х1, х2, ...) неустойчивы. 142. т = О асимптоти- Отееты к добавлению 173 чески устойчиво. 143. х = 0 устойчиво.

144. х = 0 устойчиво. 145.х = у = 0 устойчиво. 146. (О. 0) устойчиво,(2/3, 0) неустойчиво. 147. (а, а) устойчиво, (а + 1, а) неустойчиво (ай !1 любое). 148.а) а>0;б) а=О;в) а<0. 149.а) а < — 1; б) а= — 1: в) а> — 1. 150. е] а<0; б) а = 0; в) а>О. 151. а) а>0; б) а = 0: в) а<0. 152. а) а<0; б) а = 0; в) а>0. 153. а) а>2; б) а = 2: в) а<2.

154. а) а>0: б) а = 0; в) а<0. 155. а) 0<а<1: б) а = 0; в) а<0 и пав!. 156. а) а = — !/2; х = с, у = 2с — 1/2; б) да. 157. Да. 158. а) а = О, а = 4; б) для а = 4 устойчивы, для а = 0 нет. 159. а) а = О, а = х1; б) устойчивы.

160. а) а = О, а = 1; б) для а = 1 устойчивы, для а = 0 нет. 161. а) ад<Ьс; б) ад>6с, (о. — 6) -Г 4Ьс>О. 162. с>0. (а— — д) -Г 46с<0. 163. (О, 0) узел. 164. (О, 0) фокус. 165. (3, !) вырожденный узел. 166. а<0. 167. а) нет; б) иет. 168. а) фокус; б] )а — 6|<2 169. а) нет: б) узел; в) а = — 1. 170. а) всегда неустойчиво; б) )гц>! седло, )а)<! узел.

171. а) а< — 1 и — !<а<0 асимптотически устойчиво, а<0 устойчиво; б) а< — 1 и — 1<а< — 1/2 узел (при а = — 1/2 вырожденный); — 1/2<а<0 и а>0 фокус; а = 0 центр. 172. а] а< — 1 асимптотически устойчиво, а( — 1 устойчиво; б) — 1<а<0 седло, а< — 1 и а>8 узел, 0<а<8 фокус. 173. а) а < — 1 и а > 3 асимптотически устойчиво, а < — 1 и а > 3 устойчиво; б) — ! < а < 3 седло, 1 — з/бе(а< — ! и 3<а<1 + з/5 узел,.

а<1 — з/5 и а>1 + + з/5 фокус. 174. ху = С(х + у )з. 175. Все решения определены при — со<!<ос. 176. Нет. 177. а) (О, 0), (х1, 0); б) а<0; в) пег. 178. а) р = х2х~/х — 1; в) х = сое з !. 179. б) (О, 0) устой гаво, (х1/ъ~2. 0) неустойчивы; в) Ькз = х2, 'Г кз/2; г) (О, 0) устойчивый фокус (0<а<з/8), устойчивый узел (а>з/8), (х!/з/2, О) седла. 180. б) (О.

0) неустойчиво, (х1, О) устойчивы, в) Ькз = хз/2, Т к: г) (О, 0) седла, (х1, 0) устойчивыс фокусы (0<а<4), устойчивые узлы (а>4). 181. а) (О, 0) центр, (1, 0) седло; б) траектория у = — (х— — П 'П тЗРЭ, * . =Кгбют — с <Ю 1 ); )~ ~ ПЛ; г) — 1/2<х<1., Зр'<2х' — Зх'+ 1; д) нет.

182. 6) (~1, 0) неустойчивы: в) нет. 183. 5) (О, 0) неустойчиво, (х1, 0) асимптотически устойчивы: в) нет. 184. а) (О, 0) и все точки окружности х'+ у~ = = 1; б) в (О, 0) х = у, у = О; в (1, 0) и = О, е = 2и; в (1/зг2, 1/ъ'2) и = — и — е, Ь = (и+ и)/2: в) неустойчиво, неустойчиво, устойчиво; г) устойчиво, неустойчиво, устойчиво; е) нет; ж) х(!о) = хе, у(со) = = уа, где !е, хо, уо любые такие, что хо + 2уо(1 или хе + 2уе>2. з 2 з т 186.

(2хз — !2/з/х)/Ь. 187. (2 же ')х — хе ". 188. (х — 1) е~*+~ — е*. 189. 3 е' — х — 1. 190. 1 4-!. 191. сЬЬ 192. яп! — ! соей 193. 2 е '— — 2 — ! — !'. 194. Ох/дй = 6+2 сЬ2!. — 12сЬЬ ду/дд = 4зЬ2! — 12аЬЬ 197. е' +* з. 198. е'**". 199.

дх/дуо = яп!, ду/дуо = сое ! -!- япк 174 Ответы н добавлении 200. О. 201. у = х, ~~ + р(2х~ — Зх гдг) -~ гг~ (~ х~~~ — 4х -~- Зх — —.,т ~ ) + О)р ). 202. х = 1+ ншп21+ р~(1сов21 — —,' сов41— — — в) + О(р ). 208. г = 2ху — -х -> ))х — 2у). 209. те — у 210 )» — хг)г + х)е — хг) = у 211. г)е '+2х — 2) = у'.

(„1, «3 .г г г г г ге 212. (з' ) -~- —.' — — — У л- — = О. 213. )х — У ) !п::-л — = У + ггвг гг г г г + 2(х~ — уг)!п)у~ — 2 )п ф. 214. (2х -Ь 1)г = х(2х + 1)~/2 + 2ху. 215. г = (!и (х — у) -~- 1)(:е+ у). 216. (1 — 2)г = Ц1х — у) )1~2).

217. а) г = 2х — 2+ (у — Зх + 3)г; б) г = 2х + 11у — Зх), 1ЕС произнольнан функция с ((0) = О. 218. При а ф О, а ф — 1, г = = 12х-~- )4 — 2а)у)(а: при а = — 1 г = х -~- ((х,'-2у), ЯС' произнольная функция с ()0) = 0; при а = 0 решений нет. 219. а) ренгеиий -т: )---'-- -'--*=-1" г +те'-'.**' )-т; б) да. 221. 1г)х)=у( — х). ТАБЛИЦЫ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ И ЛОГАРИФМОВ Таблица 2 Таблица 1 Для отыскании значений функций при промежуточных значениях аргумента в таблице 1 можно производить линейную интерполяцию. Филиллое Алексей Федорович СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ Дизайнер /г1. В.

Батя Технический редактор А. В. Широбокое Корректор М. А. Ложкина Подписано к печати 28.07.00. Формат 84 х 108'/зз. Уел. печ. л. 0,24. Уч. изд. л. 6,76. Гарнитура Сошртег Модегп Пошап. Бумага офсетнен М1. Печать офсетная. Тираж 1200 энз. Заказ 1че Научно-издательский центр <Регулярнан и хаотическан динагеика» 426057, г. Ижевск, ул. Пастухова, 13. Лицензия на издательскую деятельность ЛУ зй 084 от 03.04.00.

1е13р://ппп.гги1.согп.ги. Е-шаП: 1зог1еогьепшлгдгп.ги. Отпечатано в полном соотпетствии с качеством предоставленных диапозитивов в ГНПП еВятнае. 610033, г. Киров, ул.московскан, 122. .