А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (2000) (PDF), страница 20

23. Сколько решений имеет задача (о — 1а)у'в + (оз + 2о) ув + у' — 2у = т + аз у(1) = О, д'(1) = 1 в зависимости от значений параметра о2 24. Тот же вопрос длн задачи (1 — о )(ауи' — ди) = оу'+ де, у(0) = 2, у'(0) = 4. Т32 2 21. Существование и единственность решения 25. Сколько решений имеет задача у?и)тх+уз и( 1)=о ус( 1)=0 в зависимости от а и п? 26. Тот же вопрос для задачи урй = 2у — а х, д(1) = 1, у'(1) = и. 21. Тот же вопрос для задачи уой =.

х -)- 21/ -)- уз. у( — 1) = 1п(4 + а), у'( — 1) = 1. 4. Продолжение решений 28. Существует ли при — со < х < оо решение задачи у' = е "яш(е"), у(0) = О? 20. Длн задачи (2 — хз)у' — хуз = О, у(хо) = уо: где хо = '2 ь 1, р = — 2, а) определить максимальный интервал существования решенин; б) нарисовать график решения. 30. а) Найти все решения уравнении х2) б) Найти непродолжаемое решение етого уравнения с начальным условием у( — ь/3) = 1/(!пь?яз — 3 — !) и нарисовать его график. 31. Доказать, что решение задачи у' = х — уз, у(1) = 0 может быть продолжено на полуинтервал 1 < х < ж. 32. Имеет ли система с?х/с!?, = в?ну, с?у/с?! = хз решение, которое нельзя продолжить на интервал -оо < ? < со? 33'.

Доказать, что репьение задачи у' = х+ йз, у(0)=0 не продолжается на полуннтервал 0<х< оо. 34*. На каком интервале можно гарантировать существование решения задачи 1 ? о1 ос = /(?ь х) (ь' Е Ль х с Н", / Е С'), х(0) = ., если о )/(?, х)! < ~т~~? Дать неулучшаемую оценку интервала, общую для всех таких /(1, х), и подтвердить неулучшаемость примером. "222. Общая теория линейных уравнений и систем 133 3 22. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ 1.

Теоретические вопросы 35. Сформулировать теорему существования и единственности решении линейного уравнения порядка и на заданном интервале. 36. Сформулировать и доказать теорему об общем решении линейной однородной системы, 37. Дать определение фундаментальной системы решений длн линейной системы уравнений и доказать се существование. 38. а) Что называется общим решением линейного неоднородного уравнениа? б) Сформулировать теорему об этом решении. 39. а) Сформулировать основные свойства детерминанта Пронского. б) Пусть гг'(х) — детерминант Вронского для скалярных функций 91(2), ..., ун(Г) класса Са.

Если гг'(~) г— е О при а ( 2 < Ь, то можно ли сделать вывод о линейной зависимости данньех функций на отрезке (а, Ь]? Обосновать ответ. 40. а) Дать определение фундаментальной матрицы. б) Написать фундаментальную матрицу длн системы х=у, 9=0. 41. Как из одной фундаментальной метрицы можно получить другие? 42. Сформулировать и доказать теорему об оценке решений системы х = А(~)х (и С??и).

43. Сформулировать и доказать теорему существования периодического решения линейного уравнении первого порядка с периодическими коэффициентами. (Задачи 42 и 43 только длн студентов, которым читались эти теоремы.) 184 222. Оеизая теория яииеаиыя рраеиеииа и систем 2. Линейные однородные уравнения ! ~,=О, 1из =1: ! 'Рз П Фз =О' и 'рз и Зсз = 2. Ф2 =2 = — 1, р,=о, а) Указать интервал, на который можно продол2кить этн решения по известной теореме.

б) Составлнют ли они фундаментальную систему". в) Найти нвнос выражение для их детерминанта Вронского на этом интервале. 44. а) Написать общий вид линейного однородного уравнения порядка и, с переменными коэффициентами. При каких требованиях па коэффициенты это уравнение имеет единственное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям? б) Пусть эти требования выполнены и известно, что уравнение имеет частное решение у> — — ще. Каким может быть порядок уравнении? 45. а) Сформулировать теорему существовании и единстНЕПНОСтн РЕШЕНИЯ УРаВНЕНИЛ У'е+ас(т)да+аз(Х)Р'+аз(т)у = = О с начальными условиями. б) Длн какого наибольшего натурального числа т наличие у этого уравнения решения й = (ее — 1)™ не противоречит сформулированной теореме? 46. Найти два линейно независимых решения уравнения щзуи — 2кр'+ 28 = О и их детерминант Вронского.

Принимает ли он нулевое значение? Как это согласуется с известными свойствами детерминанта Вронского? 47. Пусть рз(ш), уз(к) решенин уравнении (ш+ 2)див — Зу' + УЯ вЂ” к = О с начальными условиями у2(О) = 1, П'„(О) = О. 82(О) = 2. р,'(О) = 2. а) Указать интервал, на который их можно продолжить. б) Составляют ли они фундаментальную систему'? в) Чему равен детерминант Вронского этих решений при т = — 1? 48.

Пусть З22(?), З22(1), сз(1) — — решения уравнения — (? + 1)ди' — 2ри + 2?зд1к? = О с начальными условиями при ?=1: '222. ОйиЕая теория яинейннх уравнений и систем 135 г) Решение у(1) с начальными условиями у(1) = о, у'(1) = Ь, ди(1) = с выразить через у1(г), уз(1), дз(1). 49. Существует ли такое значение параметра а. при котором детерминант любой фундаментальной матрицы системы и 1 2 — =Ах хЕВз А= 3 2 0 61 ' ' 103 остается постоянным при изменении 1? 50. Сколько линейно независимых решений, определенных при — ос < й < оо, имеет уравнение гзх = 90х? Обосновать ответ. 51*.

Тот же вопрос ддя системы ?х = 2:г, 1у = Зу. 52. Построить линейное однородное уравнение возможно низшего порндка, имеющее на интервале (0,1) такие четыре решении: У1 = 1 — х, Уз = (х — 2), дз = х + х — 1, Уе = хз — 2х + 2. 53. Извостны два решения линейного однородного уравнения 2-го порядка: у1 — — х, уз — — хз — 1. Найти решение с начальными условиями у(2) = 4, у'(2) = — 3. 54. Известны два частных решения уе = тз — 2х + 3, у = х ее +2 линейного однородного уравнения 3-го порядка. Достаточно ли етого длн отыскания решения с начальными условиями у(0) = 5, у'(О) = — 8, уи(0) = 2? Обосновать ответ. 55.

Для уравнения:ез(х — 1)д'и + хз(5 — Зт)ди + х(бх— — 12)у'+(12 — Ох)у = 0 известны два частных решенин: у1 = х, уз = хз. Найти общее решение. 56. Для линейного однородного уравнения 3-го порядка известны два частных решения у1 н уз. Описать способ отыскания общего решения.

3. Линейные неоднородные уравнения 57. Известны два частных решения линейного неоднородного уравнения первого порядка: д1 = х, дз = е*. Найти решение с начальным условием у(1) = — 1. 136 222. Общая теория линейных уравнений и систем 58. Известны три частных решения линейного неоднородного уравнении 2-го порлдка: д2 — — х+1, уз — — х — 1, дз = 1 — хз. Найти общее решение этого уравнения.

59. Известны три частных решении линейного неоднородного уравнении 2-го порядка: 92 = х, дз = 1 — т, дз = 1 — Зх. Найти рещение с начальными условиями д(0) = 2, д'(0) = О. 60. Даны три функции: 92 — — х + 1, дз — — 1 — 2х, дз = = хз — 3. Составить линейное неоднородное уравнение 2-го порядка, которому они удовлетворяют. 61. Известны два частных решения д1 = х — 1 и дз = = (хз — х+ 1)/х уравнении (хз — 2х)ун+ 4(х — 1)д'+ +2д = = бх — б. Найти общее решение. 62. Известны два частных решении д, = хе*, дз = (х — 2) е* уравнения хдн — (х -!- 1)д' -1- д = (х — 1) о".

Найти общее решение. 4. Краевые задачи 63. Иусть известно, что уравнение ун -ь р(х)д'+ 6(х)д = = 0 с непрерывными на (и, Ь) функциями р(х) и о(х) не имеет решений д(х) е=-о, длн которых д(о) = д(Ь) = О. Доказать, что длн любых чисел с, д существует единственное решение, длм которого д(а) = с, д(Ь) = с?. 64*. Найти наименыпее положительное число Т такое, что длн уравненин х — 2х = 8 сйп ! разрешима краевая задача 2 с условиями х(0) = — 1, х(Х) = — 1.

65. Известно, что при некоторой непрерывной функции !(х) краеван задача дн — 2д'+ 2д = 1(х), д(0) = 2, у(к) = — 2 имеет решение. Единственно ли это решение? 66. Найти наименьшее положительное р, при котором краевая задача до + рд = О, д(О) = 1, д(1) = 2 не имеет решений. 137 я 23. Линейные уравнение и еиешемее 67. Найти наибольшее из таких чисел а, что при каждом р б (1, о) краевая задача де + 2у'+ ру = О, у(0) = 2, у(х) = 3 имеет решение.

3 23. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЗФФИЦИЕНТАМИ 1. Отыскание решений Найти все вещественные решения уравнений 68 — 71. 68. т, — 2т+ т= ее+ гйпй 69. т,-~-4т=(сг'+2) я1п21 70. уи + у = 4т соь т. 71. уи + у = бт е г" +4 я1п т. Указать вид общего решения (в задачах 72 и 73 общего вещественного решения) с неопределенными коэффициентами. Не находить числовых значений коэффициентов.

72. у'и — 2уи + д' = я ее(1 + соя 1) + й 73. уи — 4д'+ 4у =- ег'1т+ я1пт). 74. уи — 2гд = 8е соят. 73. уи — 2гу' — у = 4 яшт. 76. уи+ 4гд' — бд = е соя2т. 77. у'н+ 8гу = я1пт,соя т. 2. Периодические и ограниченные решения Имеют ли уравнения 78 — 80 периодические решения? 78. у'е + у = соя1. 138 123. Линейные уравнения и системы 79. х + х = (явп 1) 80. х — 2х = 8 вш й 81. При каких ш Е Л существует периодическое решение уравнении 'х' + 4х = 2 совий? 82. При каких целых 5 н с уравнение уи' + бзу' = яшх+ + сябп х ие имеет периодических решений? 83. а) При каких ы Е Л уравнение у<я> ч-4уи'+ 4у' = сов ыВ не имеет периодических решений? б) Найти все периодические решении в случае ы = 3. 84.

Найти периодическое решение уравнения х+х+25х = шпый Нарисовать график его амплитуды как функцию от ы. 85. При каких целых а уравнение уи+ азу = ып4;ссоя2х а) не имеет решений с периодом н? б)* имеет только одно решение с периодом н? 86*. Те же вопросы для уравнения уи + (а — 1)(а — 2)у'+ азу = вш2х, Для каждого из уравнений 87 и 88 выяснить, при каких а Е Л все решения этого уравнения не ограничены при — сс ( т ( -"с. 87 х+ ах в1п21 88. х + х = соя ай 89.

При каких а Е Л хоти бы одно решение уравнения уи'+ уи — 2у' = сев+ язп2а1 ограничено при г ) О? 90. Тот же вопрос для уравнения у'и+ и.'у' = совассов2т. 91. Найти все значения а, о и (з, при которых задача х — 2х+ бх = аеесоя21 — 17сйп21, х(О) = о, х(0) = (з имеет решение, ограниченное при 1 ) О. 139 я 23. Линейные уравнения и системы 3.