А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (2000) (PDF), страница 18

(2], З 18), оценить снизу радиус сходимости степенного рида, представляющего решение уравнения д' = уз — т с начальным условием д(0) = 1. 1099*. Оценить, с какой точностью можно получить при ~х~ < 0,2 решение уравнения д' = е" — хзд с начальным условием д(0) = О, если в степенном ряде, представлнющем решение, взять только четыре члена (до аьх включительно). , 4 В задачах 1100 — 1109 найти линейно независимые решения каждого из данных уравнений в виде степенных рндов. В тех случанх, когда зто легко сделать, сумму полученного рида выразить с помощью злементарных функций.

1100. ди — хзд = О. 1101. ди — хд' — 2д = О. 1102. (1 — хз)ди — 4тд' — 2д = О. 1103. (х~ + 1) ди + бхд' + Зд = О. 1104. (1 — х)ди — 2д' -~- д = О. 1105. (хз — х+ 1)да+ (4х — 2)д'+ 2д = О. 1106. ди — хд'+ хд = О, 1107. да + дзшх = О. 1108. жди+ у!п(1 — х) = О. 1109. д'а — хдн+ (х — 2)д'+ д = О. В задачах 1110 — 1116 найти те решения данных уравнений, которые выражаются степенными (или обобщенными степенными) ридами. 1110.

жди+ 2д'+ хд = О. 1111. 2хедо -~- (Зх — 2хз) д' — (х + 1) у = О. 218. Заеисилчость решения от начальных условий И7 Охгди (хг 2)у 1118. хгуо — т'д' + (х — 2)у = О. 1114. хгун+ 2ху' — [хг+ 2х+ 2)д = О. 1115. хуо — з:у' — у = О. 1116. хун + у' — хд = О. 1117*.

Найти с точностью до 0(хз) при х — ~ О решение уравнения жди+ у' — ху = О, линейно независимое с решением, указанным в ответе задачи 1116. В задачах 1118 — 1120 указать, имеют ли данные уравнения решение в виде степенного ряда (или обобщенного степенного ряда). 1118.

хгуи+ ху' — (х+ 2)у = О. 1119. хгун+ ху'+ [1 — х)у = О. 1120. хгун+ (Зх — 1)у'+ у = О. В задачах 1121 — 1125 найти в виде тригонометрических рядов (см. [1], гл. й1, 2 1, п. 3 или [4], гл. 2, 2 7) периодические решении данных уравнений. 1121. дн — Зу = ~(х), Д[х) =]х] при ]х] < х, 1 (х + 2л) = 7(х). 1122. до + у'+ д = ] згпх]. т ь, 2згах 5 — 4созх' Указание.

Разложение в ряд Фурье правой части уравнения 1123 имеет вид ~„2 "зьппх. =ч 1124. дн — игу = 7(х)ь Дх) = х(1 — х) при О < х ( 1, У(х+1) = — Х( ). дьь + дд Х еьп2/сх ь=г й В задачах 1126 — 1129 с помощью метода ломаных Эйлера (с итерапинми или без них, см. [4], гл. 1, 2 6, '2 7) найти 118 'З 18. Зависимость решения от начальных условий приближенно на указанном отрезке решения данных уравнений с указанными начальными условиями.

Вычисления вести с двумя или тремя десятичными знаками после запятой с шагом Ь, = 0.,2 или В = 0,1. 1126. р' =дз+х,, О <:с < 1; р(0) =0,3. 1127.д!=1+х, 0<х<1; д(0)=1, 1128.р'= — '„' — д, 0<х<1; д(0)=1. 1129. д' = 1<х<2; д(1)=0. В задачах 1130 — 1135 с помощью метода Адамса или Штермера (см. [4], гл. 1, ~ 7) вычислить приближенно решения написанных ниже уравнений на указанном отрезке.

Вычисления вести с тремя знаками после запятой. Значения решения в начальных точках вычислить с помощью степенного ряда. 0<х<1; р(0)=1. 1130. р' = р, 1131.р'=дз — т,, 0<х<1: д(0)=0,5. 1132. р'=1 — х. 0<х<1; у(0) =1. 1133. р' = хе — дз., 1 < х < 2; д(1) =1. 1134.ди=хд, 0<х<1; р(0)=1, р(0)=0. 1135. хди + д' + хд = О, 0 < х < 1; р(0) = 1, р'(0) = О, Задачи 1136 — 1140 можно решить, сравнивая наклон поля направлений (определяемого уравнением д' = 7(х, р)) в точках некоторых кривых д = ьо,(х) с наклоном этих кривых, 1136". Оценить сверху и снизу решение уравнения у' = = 2+ швх — рз, 0 < х < +ос, р(0) = 1.

(На плоскости х, д построить полосу о < р < (4, из которой не может выйти это решение.) 1137*. Оценить сверху и снизу решение уравнения д' = = — ' + 2х, 0 < х < +ос, д(0) = 1. 1138*. Доказать, что решение уравнения д'=т — дз с начальным условием р(4) = 2 удовлетворнет неравенствам ~/х — 0,07 < у(х) < чГх при 4 < х < со. 3 19. Нелинейные системы 1139'. Доказать, что для решения р(т) уравнении у' = = ш — у с начальным условием 'у(то) = уо, где шо 3 О, ро )~ О, имеем д(ш) — л/т — э 0 при,'г + +ос.

1140'. Оценить сверху и снизу то периодическое решение уравнения р' = 2дз — совз бт, которое лежит в области р < О. О 19. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ 1. Систему дифференциальных уравнений можно свести путем исключения неизвестных к одному уравнению (нногда к нескольким уравнениям с одной неизвестной функцией в каждом). Подробнее см. [1), гл.

УИ, 3 1, и. 2, или (4), гл. 3, 3 2. Пример 1. Репгить систему уравнений )2 + р = —, 3 х' уз Решение. Исключаем з из данных уравнений. Из первого уравнения имеем з = ир'. Подставляя во второе уравнение, получаем после упрощений зр" = (р — *р')' Данная система уравнений (Ц приведена к одному уравнению второго порядка. Это уравнение может быть решено методами, изложенными в 310 (путем понижения порядка). После того как из этого уравнения будет найдено р, следует найти з, пользуясь равенством з = зу'.

2. При решении системы уравнений путем исключении неизвестных обычно получаетсн уравнение более высокого порядка, поэтому во многих случаях удобнее решать систему путем отыскания интегрируемых комбинаций (см. (1), гл. Ъ'11, 3 5., и. 2). П р и м е р 2. Решить систему' (2) лсвстеыа (2) записана в симметрической форме. О снмыетрнческой форме системы дифференциальных уравнений сы. (1), гл, тгП. 9 б., ц. 1., нли (4), гл. 3, 1 3. 120 319. Келинебные системы Первые дпе дроби образуют интегрируемую комбинацикг.

Сой, йд кращая равенство — ' = — на — и интегрируяг получаем первый ХЗ У» 2 интеграл» вЂ” = Сг. 05) у Чтобы найти вторую интегрируемую комбинацию, воспользуемся следующим свойством равных дробей: если -"-1- = хл = ... = -л- = 1 2 = 1, то при любых йг, Ь», ..., Ь имеем ага» -~- Ьгаг 5-... Ч- Й„а,. Ь»Ь1+й»Ь»+... +Ь„Ь,. Пользуясь зтим скойством, получаем из (2) у бк+ х г)у г)» »5(ху) 42 у к»-Ь ш ул — лу' 2лу» — иу' Следовательно, 14) ку -~- » = Сг.

Очевидно, первый интеграл (3) и первый интеграл 14) независимы. Система решена. Вместо того чтобы искать вторую интегрируемую комбинацию, можно, воспользовавшись знанием первого интеграла 13), исключить из системы (2) одно из неизвестных, например, з. Из (3) имеем к = Сгу.

Подстаалня ао второе из уравнений 12)г получаем 4 »у »52 2 2 . Отсюда — С»у »)у — »г)», 2 — — Сгу + Сз, Подстав— Сггд' ляя сюда выражение для Сг из формулы (3), находим еще один перный интеграл: »2 + ку = Сз. В задачах 1141 — 1160 решить данные системы уравнений. 1141. у' = -', х 1142.

у' = -;~ —, з' = у+ 1. 1143, ' — » Ылч-2» — 1~ У 1144. у' = узл 1143 2лу уз — гз + 1 21 + О первых интегралах см. [1], гл. 1111, 1 4 клн 13), 1 23. 121 з 19. Нелинейные системы 1146. дх дл д» ЗР— «У « 1147. д— * = ал у е» 1148, — "" = д)» д» У"~" » 1150. — д» вЂ” дл д«да 1151.

д» = дл д» де у — и» вЂ” » 1152. '~~ — Ф д« 1154. д« = дл д» Р»У-~-« 1155. д» вЂ” дл д» »» у«»у«»«гд Г ' П57. »)Умы «)« — У) Р(Р «) 1159. д = дл д» »(» Р) у(у — ») уг 1160. — Рд»вЂ” = ду д, 嫻Р— «) гй«гд-»ег) = «~~т+у ). В задачах 1161 — 1163 для данных систем дифференциальных уравнений и данных функций гг проверить, являются лн соотношения сг = С первыми интегралами этих систем.

'Рз = х»у. 1162. х = хи. у = хз +уз; сгг = х)пр — хзу; г Ргз = Р— 2!пх. 122 З 20. Уравнения в частных производных первого порядка 1164. Проверить, являются ли независимыми первые интегралы --~ = Сз, --~ = Сз системы сЫ с1д с1« х д 1165*. Доказать, что в области, содержащей особую точку типа узла или фокуса, для системы с1х с1д — ' = Р(х, у), — = О(хс у) сМ '' ' 41 2 20. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1. Чтобы решить уравнение в частных производных д« д« ас — +...+а, =Ь, где аы ..., а„, Ь зависят от хы ...,х„, «, надо написать систему обыкновенных дифференциальных уравнений бхс Йх 4« ас а Ь (2) и найти п независимых первых интегралов этой системы сос(хс, ..., х„, «) = Сс, ~ ..(*„.,х...) ='.

1 ие может существовать первого интеграла вида ср(хз д) = С с непрерывной функцией со, ср,г=сопИ в сколь угодно малой окрестности особой точки. 1166. Пусть сгс(1, х, у) = Сы рз(1з х, у) = Сз .. первые интегРалы системы а« = Л(1, х У), акс = = Л(1~ * д)' фУнкции ус, уз и их пеРвые пРоизводиые по х, д непРеРывны. Пусть в пространстве й х, у поверхности срс(1, х, у) = 1, срг(й х, у) = 2 имеют только одну общую линию (т.

е. пересеквются или касаютсн друг друга по этой линии). Доказать, что эта линия является интегральной кривой данной системы. 220. Уривнения в частных производных первого порядка 123 Общее решение уравнения (1) и неянном виде записывается так: (4) Р(сгг, ..., !г„) = О, где Р— произвольная дифференцируемая функция. В частности, если » входит только и один из первых интегралов (8), например н последний, то общее решение мопиго написать и тан: р-(хг, .

", -, ) = 7(~ " р-- ) (6) где 7 произвольная дифференцируемая функции. Разрешин раненстно (б) относительно», получим общее решение ураннепия (1) и явном ниде. 2. Чтобы найти поверхность» = »(х, д), удовлетворяющую дифференциальному ураннению д» д» аг(х, у, ») — -ног(х, у, ») —, = 6(х, у, ») дх ' ' др (6) и проходящую через данную линию х = и(Г), у = ю(!), » = ш(!), (7) надо найти дна независимых первых интеграла системы дх Йу 0» аг аг 6 (8) В эти первые интегралы 1ог(х, р, ») = Сг, !ог(х. у, ») = Сг (9) надо подставить вместо х, р, » их выражения (7) через параметр й Получатся дна уравнения аида Фг(!) = Сг, Фг(!) = Сг.

(10) д» д» х» —, -~- д» вЂ”, = — хд~ дх др (11) Нсклгочин из них 1, получим соотногпение Р(Сы Сг) = О. Подставна сюда вместо Сг и Сг левые части пераых интегралов (9), получим исномое решение. В том случае, ногда о оба ураннения (1О) не входит й тогда линии (7) янлнется интегральной кривой системы (8), т. е. характеристикой уравнения (6),и задаче Коши имеет бесконечна много решений (см.

]1], гл. Ъ'Н1, З 3, п. 4). Пример. Найти общее решение уравнения 124 320. Уравнения в частных производных первого порядка а также интегральную поверхность, проходнщую через кривую У=Х, 2=Х 2 3 (12) Р е ш е н и е. Составлнем систему уравнений хз уз — зу и находим се первые интегралы (см. 2 19, пример 2) х= 2 — = Сг, 2 -!- х!г = Сг.