Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (2000) (PDF)

А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (2000) (PDF)

PDF-файл А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (2000) (PDF) Математический анализ (37244): Книга - 3 семестрА.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (2000) (PDF): Математический анализ - PDF (37244) - СтудИзба2019-05-08СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (2000) (PDF)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст из PDF

А. Ф. Филиппов СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ Научно-издательский центр лрегулярная и хаотическая динамика» 2000 УДК 517.0 ББК 517.2 Ф 53 Филиппов А. Ф. Сборник задач па дифференциальным уравненинм. — Ижевск: НИИ «Регулярная и хаотическая динамика>. 2000, 176 стр. Сборник содержит материалы для упражнений по курсу дифференциальных уравнений для университетов и технических вузов с повышенной математической программой.

В настоящее издание добавлены задачи, предлагавшиеся на письменных зкзаменах на механико-математическом факультете МГУ. ББК 517.2 18ВХ 5-93972-008-0 © НИН «Регулярнан и хаотическая динамикам 2000 СОДЕРЖАНИЕ Предисловие 25 29 87 97 104 109 119 122 129 з 1.

'э' 2. ~3. л 4. э' б. э' 6. 8 7. з 8. э 10 ~ 11 э 12 ~13 ~ 14 э!б з16 317 з18 ~19 ~ 20 э 21 Изоклины. Составление дифференциального уравнении семейства кривых . Уравнения с разделяющимися переменными Геометрические и физические задачи Однородные уравнения............,, . Линейные уравнения первого порядка Уравнения в полных дифференциалах. Интегриру кзщий множитель Существование и единственность решения Уравнения, не разрешенные относительно произ водной Разные уравнении первого порядка, .......

Уравнения, допускающие понижение порядка .. Линейные уравнения с постоянными коэффициен тами . Линейные уравнения с переменными коэффициен тами . Краевые задачи !инейные системы с постоянными коэффициентами Устойчивость Особые точки Фазовая плоскость Зависимость решения от начальных условий и па- раметров. Приближенное решение дифференпиаль- ных уравнений Нелинейные системы Уравнения в частных производных первого порядка Существование и единственность решения 6 10 12 17 20 39 62 71 Еодеджание 152 Ответы Ответы к добавлению Таблицы показательной функции и логарифмов ...., 175 'З 22.

Общая теория линейных уравнений и систем З 23..Чинейные уравнения и системы с постоянными эффициентами . з 24. Устойчивость ч 25. Фазовая плоскость З 26. Дифференцирование решения по параметру и начальным условиям з 27. Уравнения с частными производными первого рядка ... 133 ко- 137 142 144 по 148 по- 149 ПРЕДИСЛОВИЕ Сборник содержит задачи по курсу обыкновенных дифференциальных уравнений в соответствии с программой, приннтой на механико-математическом факультете МГУ. Часть задач взята из известных задачников Н. М. Гюнтера и Р. О. Кузьмина, Г. Н. Бермана, М.

Л. Краснова и Г. И. Макаренко, учебников В. В. Степанова, Г. Филипса; большинство задач составлено заново. Более трудные задачи отмечены звездочкой. В начале каждого пара|рафа изложены основные методы, необходимые для решения задач этого параграфа, или даны ссылки на учебники. В ряде случаев приведены подробные решения типовых задач. В это издание включено «Добавление» [Я 21-27)Б содержашее задачи, предлагавшиеся на письменных экзаменах и коллоквиумах на механико-математическом факультете МГУ в 1992 †19 годах. Задачи составлены преподавателями МГУ Ю.

С. Ильяшенко, В. А. Кондратьевым, В. М. Миллионщиковым, Н. Х. Розовым, И. Н, Сергеевым, А. Ф. Филипповым. В книге приннты условные обозначения учебников: [11 В. В. Степанов. Бурс дифференциальных уравнений. [21 И.Г.Петровский. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. [31 Л.С.Понтрягин. Обынновенние дифференциальные уравнения. [4~ Л. Э. Эльсголыь Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. [51 Б.

П. Демидович. Лекции ло латемагяичесной теории устойчивости. ~1. ИЗОКЛИНЫ. СОСТАВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ СЕМЕЙСТВА КРИВЫХ 1. Решение уравнения р' = 1" (х. О), проходнщое через точку (х, у), должно иметь в этой точке производную р, равную 1(х, у), т.е. оно должно касаться прямой, наклоненной под углом а = агсся1(х, у) к оси Ох. Геометрическое место точек плоскости (х, у), в которых наклон касательных к решенинм уравнения 1Г' = = 1(х, д) один и тот же, называется изоклиной. Следовательно.

уравнение изоклины имеет вид 1(х, у) = Й, где й — ностонннан. Чтобы приближенно построить решении уравнения гг' = 1(х, у), можно начертить достаточное число нзоклин, а затем провести решения, т.е. кривые, которые в точках пересечения с изоклинами 1(х, У) = (м 1(х, й) = лг, ...

имеют касательные с угловыми коэффициентами соответственно 1г», 1г, ... Пример применения этого метода см. (1), гл. 1, З 1, и. 3, или (4), гл. 1, З 1. 2. Чтобы построить дифференциальное уравнение, которому удонлетворяют кривые семейства у(х.у,Сг, ..., С )=О, надо продифференцировать равенство (1) и раз, считая р функцией от х, а затем из полученных уравнений и уравнения (1) исклвгчить произвольные постоянные Сг, ..., Со.

П р и мер. Составить дифференциальное уравнение семейства кривых Сгх г- (у — Сг)' = О. (2) Так как уравнение семейства содержит два параметра, дифференцируем его два раза, считая у = у(т): Сг э'- 2(у — Сг)р = О, 2у + 2(у — Сг)у = О. (4) ~ 1. Изокликв~ Исключаем Сг. Из уравнения (3) имеем Сг = — 2(у — Сз)у'; под- ставлян это в (2), получим — 2ху (у — Сз) + (у — Сз) = О. Исключаем Сз.

Из уравнения (4) имеем р — Сз = — у'~/у": подставлня это в (5), получим после упрощений дифференциальное уравнение р'+ 2ху" = О. 3. Линии, пересекающие все кривые данного семейства под одним и том же углом 1о, называются изогональными траекториями. Углы (3 и о наклона траектории и кривой к оси Ох свнзаны соотношением Д = а х х. Пусть у = Х( , у) дифференциальное уравнение данного семейства кривых, а у = ~~ (х, у) (б) (7) Е(х, у., у ) = О, (8) то при составлении уравнения изогональных траекторий можно обойтись без разрешения уравнения (8) относительно у'. В этом случае в (8) надо заменить у' на 18 о = 18(Д Т- х), где 18 И = у'— угловой коэффициент касательной к траектории.

Если же уравнение семейства кривых дано в виде 1о(х, у, С) = = О, то сначала нужно составить дифференциальное уравнение этого семейства и только после этого — дифференпиальное уравнение траекторий. В задачах 1 — 14 с помошшо изоклин начертить (приближенно) решения данных уравнений.

у =у 2. 2(у+ у') = х+ 3. 4 (у' + 1)у' = у— 6. хр' = 2у. у! э'-~-Л' з 5. Ур'+х = О. — уравнение семейства изогональных траекторий. Тогда 18 о = = У(х~ р). тджх = У~(х, у). Следовательно, если уравнение (6) написано и угол х известен, то легко найти 18Д и затем написать дифференциальное уравнение траекторий (7). Если уравнение данного семейства кривых написано в виде З 1. Изоклили 7. ту~ -~- д = О. 9. д' =:с — е".

11. д' = л-~--. з-ьзл' 13. т -ьр р' 10. р(р' +:г) = 1. 12. д' = --к-. 2"~ т 14. (те+ ут)д' = 4т. 15. Написать уравнение геометрического места точек (т, р), явлнюшихсн точками максимума или минимума решений уравнения д' = Дх, д). Как отличить точки максимума от точек минимумау 16. Написать уравнение геометрического места точек перегиба графиков решений уравнений а) д'=д — хз; в) ха + рзд' = 1; б) д' =.г — ет; г) р' = У(зд д) В задачах 17 29 составить дифференциальные уравнения данных семейств линий. 17 д еое 19.

д = Схз. 21. за+ Сух = 2д. С(т С)2 25. д = ахз+ бе'. 18. р = (т — С)з. 20. д = аш(т + С). „з +Сх — зз 24. Ср = аш Ст. 26. (х — и)' + Ьрз = 1. 28. д = ахз + Ьтт -ь ст. 27. 1и д = ах -ь Ьд. 29. т = арз + Ьд + с. 30. Составить дифференциальное уравнение окружностей радиуса 1, центры которых лежат на прямой р = 2х. 31, Составить дифференциальное уравнение парабол с осью, параллельной Од, и касающихся одновременно прямых д = О и д = т. 32. Составить дифференциальное уравнение окружностей, касающихся одновременно прямых р = О и х = О и расположенных в первой и третьей четвертях.

33. Составить дифференциальное уравнение всех парабол с осью, параллельной Од, и проходящих через начало координат. Ь 1. Изонлиньг 34. Составить дифференциальное уравнение всех окруяностей, касающихся оси абсцисс. 35. ах+ г = Ь, у + гг = Ьг. 36. хг + уг = гг — 2Ьг, у = ах + Ь. В задачах 37 — 50 составить дифференциальные уравнениях траекторий, пересекающих линии данного семейства под данным углом уя 38. уг = «: + С., ьо = 90'. = у + Сх, дг = 90'. 40.

хг + уг = аг, ьо = 45'. 41. у=ух, 42. Зхг+ уг = С, 43. уг = 2рхч у = 30'. ьг = 00'. 44. г = а -~- соз о, ~р = 90'. 45. г = асозг 6, 46. г = азйтд., иг = 45'. 47. у = х 1пх + Сх, уг = атс$52. 48 ег+ уг 2ах, ео = 45'. 49. хг + Сг = 2Су., ~р = 90'. 50. у=Сх,+С, 1о=90'. гуравненин, получаемые в задачах Зт — бе, могут быть решены методамн, излагаемыми в дальнейших параграфах. В задачах 35- -36 найти системы дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют линии данных семейств. 1О З 2.

Уравнения с разделяющимися переменными В 2. УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 1. Уравнения с разделяющимися переменными могут быть записаны в виде р' = П )д(р) а также в виде (2) М(х)ггг(у) с1х + Р(х)(С(у) Йр = О. Для решенип такого уравнении надо обе его части умногкить или разделить на такое выражение„чтобы в одну часть уравнении входило только х, в другую — только р, н затем проинтегрировать обе части. При делении обеих частей уравнения на выражение, содернсашее неизвестныс х и у,могут быть потеряны решения., обращавгщие зто выражение в нуль. П р и м е р.

Решить уравнение г:гугу'+ 1 = р. Приводим уравнение к виду (2): р — =у — 1 р г(р=(р — 1)д . ггдр , ге с(х Делим обе части уравнении на х (д — 1): д' г р — 1 Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения: рг / л, рг 1 р = 11 —,; — + у+1 ~у — Ц = --+ С. у — 1 ',/ хг' 2 х При делении на хг(р — 1) могли быль потернны решения х = О и р — 1 = О, т. е.

у = 1. Очевидно. р = 1 — решение уравнения (3), ах=О "-нет. 2. Уравнении вида у' = 1(их+ 6р) приводятсн к уравнениям с разцеляющимисн переменными заменой г = ах+ 6у (или г = ах+ -~- 6д -~ с, где с любое). В задачах 51 — 65 решить данные уравнения и для каждого из них построить несколько интегральных кривых. Найти 'З 2. Уравнения с разделяющимися переменными 11 такясе решения, удовлетворяющие начальным условиям (в тех задачах, где указаны начальные условия). 5 1.:г у с1т + (х + 1) !1 у = О. 52.

т/уг+ 1 е1х = г:у Оу. 53. (тг — 1)д' + 2хуг = 0; д(0) = 1. 54. у' сг8х + д = 2; д(т) — ! — 1 при х — ! О. 55. у' = 3 (/уг; у(2) = О. 56. хд' + у = дг; д(1) = 0.5. 57 2хгЯ+ дг 2 58 г!! — туг = 2ту 59. е ' (1+ ф) = 1. 60. г' = 10 ' ". 61. ха, +! = 1. 62. у' = соз(у — х). 63. у' — у = 2х — 3. 64.

(х -!-2у)у' = 1:, у(0) = — 1. еу. р' = аыг 11 1 В задачах 66 — 67 найти решения уравнений, удовлетворя!ощие указанным условиям при т, -! +ос. 66. хгу' — соз 2у = 1; у(+ос) = 9п/4. 67. Зугд'+ 16т = 2:сдз; у(х) ограничено при х — ! +со. 68. Найти ортогоиальиые траектории к линиям следующих семейств: а) у = Стг; б) у = Се'; в) Схг + уг = 1. В задачах 69' и 70* переменные разделяются, но получаемые интегралы не могут бьгть выражены через элементарные функции. Однако, исследовав их сходимость, можно дать ответ на поставленные вопросы.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5075
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее