А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (2000) (PDF)
Описание файла
PDF-файл из архива "А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (2000) (PDF)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
А. Ф. Филиппов СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ Научно-издательский центр лрегулярная и хаотическая динамика» 2000 УДК 517.0 ББК 517.2 Ф 53 Филиппов А. Ф. Сборник задач па дифференциальным уравненинм. — Ижевск: НИИ «Регулярная и хаотическая динамика>. 2000, 176 стр. Сборник содержит материалы для упражнений по курсу дифференциальных уравнений для университетов и технических вузов с повышенной математической программой.
В настоящее издание добавлены задачи, предлагавшиеся на письменных зкзаменах на механико-математическом факультете МГУ. ББК 517.2 18ВХ 5-93972-008-0 © НИН «Регулярнан и хаотическая динамикам 2000 СОДЕРЖАНИЕ Предисловие 25 29 87 97 104 109 119 122 129 з 1.
'э' 2. ~3. л 4. э' б. э' 6. 8 7. з 8. э 10 ~ 11 э 12 ~13 ~ 14 э!б з16 317 з18 ~19 ~ 20 э 21 Изоклины. Составление дифференциального уравнении семейства кривых . Уравнения с разделяющимися переменными Геометрические и физические задачи Однородные уравнения............,, . Линейные уравнения первого порядка Уравнения в полных дифференциалах. Интегриру кзщий множитель Существование и единственность решения Уравнения, не разрешенные относительно произ водной Разные уравнении первого порядка, .......
Уравнения, допускающие понижение порядка .. Линейные уравнения с постоянными коэффициен тами . Линейные уравнения с переменными коэффициен тами . Краевые задачи !инейные системы с постоянными коэффициентами Устойчивость Особые точки Фазовая плоскость Зависимость решения от начальных условий и па- раметров. Приближенное решение дифференпиаль- ных уравнений Нелинейные системы Уравнения в частных производных первого порядка Существование и единственность решения 6 10 12 17 20 39 62 71 Еодеджание 152 Ответы Ответы к добавлению Таблицы показательной функции и логарифмов ...., 175 'З 22.
Общая теория линейных уравнений и систем З 23..Чинейные уравнения и системы с постоянными эффициентами . з 24. Устойчивость ч 25. Фазовая плоскость З 26. Дифференцирование решения по параметру и начальным условиям з 27. Уравнения с частными производными первого рядка ... 133 ко- 137 142 144 по 148 по- 149 ПРЕДИСЛОВИЕ Сборник содержит задачи по курсу обыкновенных дифференциальных уравнений в соответствии с программой, приннтой на механико-математическом факультете МГУ. Часть задач взята из известных задачников Н. М. Гюнтера и Р. О. Кузьмина, Г. Н. Бермана, М.
Л. Краснова и Г. И. Макаренко, учебников В. В. Степанова, Г. Филипса; большинство задач составлено заново. Более трудные задачи отмечены звездочкой. В начале каждого пара|рафа изложены основные методы, необходимые для решения задач этого параграфа, или даны ссылки на учебники. В ряде случаев приведены подробные решения типовых задач. В это издание включено «Добавление» [Я 21-27)Б содержашее задачи, предлагавшиеся на письменных экзаменах и коллоквиумах на механико-математическом факультете МГУ в 1992 †19 годах. Задачи составлены преподавателями МГУ Ю.
С. Ильяшенко, В. А. Кондратьевым, В. М. Миллионщиковым, Н. Х. Розовым, И. Н, Сергеевым, А. Ф. Филипповым. В книге приннты условные обозначения учебников: [11 В. В. Степанов. Бурс дифференциальных уравнений. [21 И.Г.Петровский. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. [31 Л.С.Понтрягин. Обынновенние дифференциальные уравнения. [4~ Л. Э. Эльсголыь Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. [51 Б.
П. Демидович. Лекции ло латемагяичесной теории устойчивости. ~1. ИЗОКЛИНЫ. СОСТАВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ СЕМЕЙСТВА КРИВЫХ 1. Решение уравнения р' = 1" (х. О), проходнщое через точку (х, у), должно иметь в этой точке производную р, равную 1(х, у), т.е. оно должно касаться прямой, наклоненной под углом а = агсся1(х, у) к оси Ох. Геометрическое место точек плоскости (х, у), в которых наклон касательных к решенинм уравнения 1Г' = = 1(х, д) один и тот же, называется изоклиной. Следовательно.
уравнение изоклины имеет вид 1(х, у) = Й, где й — ностонннан. Чтобы приближенно построить решении уравнения гг' = 1(х, у), можно начертить достаточное число нзоклин, а затем провести решения, т.е. кривые, которые в точках пересечения с изоклинами 1(х, У) = (м 1(х, й) = лг, ...
имеют касательные с угловыми коэффициентами соответственно 1г», 1г, ... Пример применения этого метода см. (1), гл. 1, З 1, и. 3, или (4), гл. 1, З 1. 2. Чтобы построить дифференциальное уравнение, которому удонлетворяют кривые семейства у(х.у,Сг, ..., С )=О, надо продифференцировать равенство (1) и раз, считая р функцией от х, а затем из полученных уравнений и уравнения (1) исклвгчить произвольные постоянные Сг, ..., Со.
П р и мер. Составить дифференциальное уравнение семейства кривых Сгх г- (у — Сг)' = О. (2) Так как уравнение семейства содержит два параметра, дифференцируем его два раза, считая у = у(т): Сг э'- 2(у — Сг)р = О, 2у + 2(у — Сг)у = О. (4) ~ 1. Изокликв~ Исключаем Сг. Из уравнения (3) имеем Сг = — 2(у — Сз)у'; под- ставлян это в (2), получим — 2ху (у — Сз) + (у — Сз) = О. Исключаем Сз.
Из уравнения (4) имеем р — Сз = — у'~/у": подставлня это в (5), получим после упрощений дифференциальное уравнение р'+ 2ху" = О. 3. Линии, пересекающие все кривые данного семейства под одним и том же углом 1о, называются изогональными траекториями. Углы (3 и о наклона траектории и кривой к оси Ох свнзаны соотношением Д = а х х. Пусть у = Х( , у) дифференциальное уравнение данного семейства кривых, а у = ~~ (х, у) (б) (7) Е(х, у., у ) = О, (8) то при составлении уравнения изогональных траекторий можно обойтись без разрешения уравнения (8) относительно у'. В этом случае в (8) надо заменить у' на 18 о = 18(Д Т- х), где 18 И = у'— угловой коэффициент касательной к траектории.
Если же уравнение семейства кривых дано в виде 1о(х, у, С) = = О, то сначала нужно составить дифференциальное уравнение этого семейства и только после этого — дифференпиальное уравнение траекторий. В задачах 1 — 14 с помошшо изоклин начертить (приближенно) решения данных уравнений.
у =у 2. 2(у+ у') = х+ 3. 4 (у' + 1)у' = у— 6. хр' = 2у. у! э'-~-Л' з 5. Ур'+х = О. — уравнение семейства изогональных траекторий. Тогда 18 о = = У(х~ р). тджх = У~(х, у). Следовательно, если уравнение (6) написано и угол х известен, то легко найти 18Д и затем написать дифференциальное уравнение траекторий (7). Если уравнение данного семейства кривых написано в виде З 1. Изоклили 7. ту~ -~- д = О. 9. д' =:с — е".
11. д' = л-~--. з-ьзл' 13. т -ьр р' 10. р(р' +:г) = 1. 12. д' = --к-. 2"~ т 14. (те+ ут)д' = 4т. 15. Написать уравнение геометрического места точек (т, р), явлнюшихсн точками максимума или минимума решений уравнения д' = Дх, д). Как отличить точки максимума от точек минимумау 16. Написать уравнение геометрического места точек перегиба графиков решений уравнений а) д'=д — хз; в) ха + рзд' = 1; б) д' =.г — ет; г) р' = У(зд д) В задачах 17 29 составить дифференциальные уравнения данных семейств линий. 17 д еое 19.
д = Схз. 21. за+ Сух = 2д. С(т С)2 25. д = ахз+ бе'. 18. р = (т — С)з. 20. д = аш(т + С). „з +Сх — зз 24. Ср = аш Ст. 26. (х — и)' + Ьрз = 1. 28. д = ахз + Ьтт -ь ст. 27. 1и д = ах -ь Ьд. 29. т = арз + Ьд + с. 30. Составить дифференциальное уравнение окружностей радиуса 1, центры которых лежат на прямой р = 2х. 31, Составить дифференциальное уравнение парабол с осью, параллельной Од, и касающихся одновременно прямых д = О и д = т. 32. Составить дифференциальное уравнение окружностей, касающихся одновременно прямых р = О и х = О и расположенных в первой и третьей четвертях.
33. Составить дифференциальное уравнение всех парабол с осью, параллельной Од, и проходящих через начало координат. Ь 1. Изонлиньг 34. Составить дифференциальное уравнение всех окруяностей, касающихся оси абсцисс. 35. ах+ г = Ь, у + гг = Ьг. 36. хг + уг = гг — 2Ьг, у = ах + Ь. В задачах 37 — 50 составить дифференциальные уравнениях траекторий, пересекающих линии данного семейства под данным углом уя 38. уг = «: + С., ьо = 90'. = у + Сх, дг = 90'. 40.
хг + уг = аг, ьо = 45'. 41. у=ух, 42. Зхг+ уг = С, 43. уг = 2рхч у = 30'. ьг = 00'. 44. г = а -~- соз о, ~р = 90'. 45. г = асозг 6, 46. г = азйтд., иг = 45'. 47. у = х 1пх + Сх, уг = атс$52. 48 ег+ уг 2ах, ео = 45'. 49. хг + Сг = 2Су., ~р = 90'. 50. у=Сх,+С, 1о=90'. гуравненин, получаемые в задачах Зт — бе, могут быть решены методамн, излагаемыми в дальнейших параграфах. В задачах 35- -36 найти системы дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют линии данных семейств. 1О З 2.
Уравнения с разделяющимися переменными В 2. УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 1. Уравнения с разделяющимися переменными могут быть записаны в виде р' = П )д(р) а также в виде (2) М(х)ггг(у) с1х + Р(х)(С(у) Йр = О. Для решенип такого уравнении надо обе его части умногкить или разделить на такое выражение„чтобы в одну часть уравнении входило только х, в другую — только р, н затем проинтегрировать обе части. При делении обеих частей уравнения на выражение, содернсашее неизвестныс х и у,могут быть потеряны решения., обращавгщие зто выражение в нуль. П р и м е р.
Решить уравнение г:гугу'+ 1 = р. Приводим уравнение к виду (2): р — =у — 1 р г(р=(р — 1)д . ггдр , ге с(х Делим обе части уравнении на х (д — 1): д' г р — 1 Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения: рг / л, рг 1 р = 11 —,; — + у+1 ~у — Ц = --+ С. у — 1 ',/ хг' 2 х При делении на хг(р — 1) могли быль потернны решения х = О и р — 1 = О, т. е.
у = 1. Очевидно. р = 1 — решение уравнения (3), ах=О "-нет. 2. Уравнении вида у' = 1(их+ 6р) приводятсн к уравнениям с разцеляющимисн переменными заменой г = ах+ 6у (или г = ах+ -~- 6д -~ с, где с любое). В задачах 51 — 65 решить данные уравнения и для каждого из них построить несколько интегральных кривых. Найти 'З 2. Уравнения с разделяющимися переменными 11 такясе решения, удовлетворяющие начальным условиям (в тех задачах, где указаны начальные условия). 5 1.:г у с1т + (х + 1) !1 у = О. 52.
т/уг+ 1 е1х = г:у Оу. 53. (тг — 1)д' + 2хуг = 0; д(0) = 1. 54. у' сг8х + д = 2; д(т) — ! — 1 при х — ! О. 55. у' = 3 (/уг; у(2) = О. 56. хд' + у = дг; д(1) = 0.5. 57 2хгЯ+ дг 2 58 г!! — туг = 2ту 59. е ' (1+ ф) = 1. 60. г' = 10 ' ". 61. ха, +! = 1. 62. у' = соз(у — х). 63. у' — у = 2х — 3. 64.
(х -!-2у)у' = 1:, у(0) = — 1. еу. р' = аыг 11 1 В задачах 66 — 67 найти решения уравнений, удовлетворя!ощие указанным условиям при т, -! +ос. 66. хгу' — соз 2у = 1; у(+ос) = 9п/4. 67. Зугд'+ 16т = 2:сдз; у(х) ограничено при х — ! +со. 68. Найти ортогоиальиые траектории к линиям следующих семейств: а) у = Стг; б) у = Се'; в) Схг + уг = 1. В задачах 69' и 70* переменные разделяются, но получаемые интегралы не могут бьгть выражены через элементарные функции. Однако, исследовав их сходимость, можно дать ответ на поставленные вопросы.