А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (2000) (PDF), страница 17

2. Если в системе уравнений г(1 — '=У(г,хы ...,х„ьр), ь=1, ...,и ьЕсли в выпуилой по х области имеем ! / < а (й У = 1, ...,н), то дГ в этой области выполнено условие Лившице с й = па. йхй = игах )х,). Пусть х(1) — решение системы (1), а у(1) — вектор-функция, удовлетворяющая неравенствам 110 З18. Зависимость решения от начальных условий с начальными условиями (6) ти(0) = о,(р), 1 = 1, ...,.

я р является параметром, функции г, и а, (ь = 1, ..., и) непрерывны и имеют непрерывные производные по хы ..., х„, р, то решение имеет непрерывную производную по параметру и. Производные — -' = и„ь = 1, ..., я удовлетворнют линейной системе уравнений Ои, ду) д7г (6] 01 дх, ' д„: з=1 и начальным условиям и;(0) = а';(р), ь = 1, ..., я. Значения производных Щ'- и ~~' в формуле (6) берутсн при хг = хг(1), ..., х о: оо = х (1), где хг(1), ..., х (1) — решение системы (4) с начальными условиями (6).

В частности, если положить аь(р) = р, а;(р) = сопвг при ь ~ й и считать, что все функции 7ы ..., г'„не зависит от р, то из предыдущего утверждения будет следовать, что для системы (4) с начальными условиями х.(0) = о., 1 = 1, ..., и производные -' — '- = о = и; (1 = 1, ..., п) от компонент решении хы ..., т. по начальному условию аь существуют и удовлетворяют системе уравнений биь — дЛ 01 2 дай" 7=1 и начальным условинм и;(0) = 0 при ь Ф )с, иь(0) = 1. 3. Ксли в (4) и (5) функции 7; и о, имеют непрерывные производные по хг, ..., тьи р, (вблизи значения р = О) до порядка ги включительно, то регаение тоже имеет непрерывные производные по р до порядка т и, следовательно, разлагается по степенялч параметра д по формуле Тейлора: х(С) = ео(1) -~- рог(1) -~- р оэ(1) -~- ... -~- р о,„(1) -1- о(р ).

(7) Здесь х и о„.. и-мерные вектор-фуннции. Чтобы найти функции о,(1), можно разложить правые части в (4) и (б) по степеням д, подставить туда разложение (7) и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях и. Получим систему дифференциальных уравнений, из которой последовательно определяются оо(1), ог(4), ... В случае, когда 7", и а; — аналитические функции от хг, ...

..., х, р, решение т(1) разлагается в сходнщийся при малых р степенной ряд по р (в силу теоремы об аналитической зависимости 218. Зависимость решения от начальных ус.говиб 111 решенин от параметра, см. (4), гл. 1, З 6). Коэффициенты этого ряда совпадают с коэффициентами разложения (7). Изложенный метод можно использовать для отыскания решения дифференциального уравнения прн малых р в тех случаях, когда при р = О уравнение решается известными методами.

П р и м е р. Разложить по степеннм параметра р решение задачи х = хг ф 2рт, х(1) = — 1. (8) Ищем решение в виде х(2) = оо(т) ф рог(т) т р ог(1) + Подставлня это в (8) и приравпиван коэффициенты при одинаковых степенях р,получаем систему 'оо = оо оо(1) = — 1, ог = 2ооег -Ь 21 , ог(1) = О., г'г = 2ооог -г ог, ог(1) = О, Из первого уравнения и начального условия находим оа(1) = — $ Подставлня это во второе уравнение, получаем Ог = -21 ог+21 ', ег(1) = О. Отсюда ог(1) =1 — 1 '.

Подставляя найденные оо и ог в третье уравнение, получаем ог = -21 ог -~-(1 — Г ), ог(1) = О. Решив это линейное уравнение и воспользовавшись начальным условием, найдем ог(1) = — — —, + —,, —,—,. Следовательно, решег г В 1 ние задачи (8) имеет вид 8 х(1) = — — +д(1 — — )+р ~ — — — + — — — )+о(р ). тг ) ~ 8 Г 81г 13 ) Это разложение можно продолгаить дальше тем же способом. Аналогичным методом можно получать разложения по степеннм параметра периодических решений нелинейных уравнений, в частности, уравнений вида (9) х -~- а х = р)(1, х, х., р), где функция 7 периодическая по й Переходить от уравнения 2-го порядка к системе при этом не нужно.

Произвольные постоянные, 112 818. Зависилсость решения от начальных условнй аозникаюшие при отыскании оо(1), оз(1), ..., определяются уже ие из начальных условий, а из условий периодичности (см. [4], гл. 2, 1 8). В случае, когда праная часть (9) не зависит от 1, период решения х(1) заранее не изаестен. Тогда а уравнении (9) надо перейти от 1 к новому независимому перелченному т = 1(1+ 6|у+ Ьр + ... ) и искать решения х(т) периода 2х/а. Коэффициент 6з обычно определяется нз условия сущестэонания периодического решения для оз(т), и т.

д. (см. [1], гл. 2, 2 8). 4. Если функция )с(х, у) а окрестности точки (хв, уе) аналитическая, т. е. разлагается и ряд по степенпм (х — хо) и (у — уо), то решение уравнения у = 1'(х, у) с начальным условием у(хс) = = уо тоже является аналитической функцией, т. е. разлагается я степенной ряд э окрестности точки хс (см. [2], 6 18 и [1], гл. И, З 1, п. 6). Аналогичное утверждение справедливо для уравнения ущ) = 1(х. у, у', ..., УШ )) с начальными услоэиями у(хо) = уо, У (хо) = уо~ ~ у (хо) = Уо )о — 1) щ — 1) П р и м е р.

Найти и ниде рида решение уравнения ун = хух — у' с начальными условиями у(0) = 2, у'(0) = 1. Ищем решение э виде ряда у = ао + азх т сьзх т ... = 2 ф х + азх + азх + ..., (10) так как из начальных успений следует, что ас = 2, аг = 1. Под- станляя ряд э дифференциальное уравнение, получаем 2сьз+базх+12ачх +... =х(2+х+азх +... ) — 1 — 2азх — Зазх —... 3 2 3 3 Предстаалня прааую часть и виде степенного рида и прирааниная коэффициенты при одинаковых степенях х и обеих частях ураэне- ния, получаем 2аз = — 1, баз = 4 — 2аз, 12ач = 4 — Оаз, ...

Отсюда находим 1 аз = — —., 2' Следовательно, б аз = —, 6 1 ач = —, 8 1 г о з 1 ч у =2+х — -х + -х +-х 2 6 8 5. Длн уравнения ро(х)ущ) +р~(х)у" + ... +р„(х)у = О, (11) у которого асе р,(х) аналитические а окрестности точки х = 0 и ра(тв) = О, т. е.коэффициент при старшей произнодпой обращается а нуль э точке хо, решений а виде степенного ряда может не 'З 18. Зависимость решения от начальных условий 113 существовать. В этом случае могут существовать решении в виде обобщенных степенных рядов ао(х — хо)' + а>(х — хо)'~ + аг(х — хо)'~ + ...

(12) где число г не обнзательно целое (см. [1)> гл. У1, З 2, и. 2, или [4), гл. 2, З 7). Чтобы их найти, надо подставить ряд (12) в уравнение (11) и, приравняв ноэффицненты прн наименьшей степени (х — хо), найти ваемо>нные значения показатели г, а затем для каждого из этих значений г определить коэффициенты а>. 1056. Оценить, на сколько может измениться при 0 < х < 1 решение уравнении у' = х+ а1пу с начальным условием у(0) = уо = О, если число уо изменить меньше. чем на 0>01. 1057.

Оценит>и на сколько может измениться при 0 < б ( Т решение уравнения маятника:г+ щих = 0 с начальными условинми х(0) = О, х(0) = О, если в правую часть уравнения добавить такую функцию >р(1), что [>р(1)[ < 0,1 (т. е. если приложить некоторук> внешнюю силу). 1058. Чтобы приближенно найти решение уравнения г+ щих = О, его заменили уравнением х -~- х = О. Оцепить при 0 < 1 < 2 возникающую от этого ошибку в решении с начальными условинми х(0) = 0.25, х(О) = О, если известно. что [х — щих[ < 0>003 при [х[ < 0,25.

В задачах 1059 — 1063 оценить ошибку приближенного решения на указанном отрезке. 1059. у = 4 — г.ь — » у(0) = 1; у = 1 — г> [х[ ( г. 1060. х=х — у, у=йх, х(0) =1, у(0) =0: х=1+1+ — ', у= г,[1[<01. 1061. Уа — хзу = О, у(0) = 1, у'(0) = 0; у = еа >>г, [х[ < 0,5. 1062. у> = -' + х, у(О) = 1; у = 1 + х, 0 ( х ( -'. 1063. У' = 2хуз + 1, у(О) = 1; У = >, [х[ < 1, Указание. Сначала выделить ограниченную область, а которой содержится приближенное решение у и> предположительно, точное решение у. Для этой области оценить постоннную в условии 114 З18.

Зависимость решения от начальных услооип Липшица, затем оценить ~у — у~. С помощью втой оценки проверить, содержится ли у в выделенной области. В задачах 1064 — 1073 найти производные по параметру или по начальным условиям от решений данных уравнений и систем. 1064. д' = у+ д(х+ уз), д(0) = 1: найти ~и~и=о 1068 а з+ 1 з, (О) 1069. х =41у', х(О) = О, найти е у = 1+ 5рх, у(О) = 0; р=о х = ху+1, х(1) = хо, 1070. ' найти — е *,=з 2у= — у', у(1) =до, '" иь=з х = х + у, х(О) = 1+у, 1071. найти у = 2л,+1су, у(О) = — 2; ~я~и=о 1072. т — х = (х+1)з — 1ьхз; х(О) = 1~, х(О) = — 1; найти ох а р 1073.

х = з — з, х(1) = 1, х(1) = Ь; найти оь ~ Указание. При б = 1 решением служит функция х = П В задачах 1074 — 1078 найти 2с6 члена разложения решения по степеннм малого параметра д. 1065. у' = 2т+ ду~, у(О) = д — 1; 1066. у' = у+ у + хуз, у(2) = уз. 1067. сс = — '+ 1сзе *, х(1) = 1; 1074. у' = 41сх — уз, у(1) = 1. 1075. д' = з — 5рх, д(Ц = 2. 1076. ху' = Рхз + 1п у, у(1) = 1. найти а р р=о найти — х-~ д Рь найти де д р р=о найти оа о р р=о З18.

Зависимость решения от начальных условий 115 10Т7. д' = вн — дз, у(1) = 1-с Зйс 1078. у' = е" +1ьд, у(0) = — 1ь. Длл уравнений 1079 — 1085 с помощью метода малого параметра (см. [4), гл. 2, 8 8) найти приближенно периодические решении с периодом, равным периоду правой части уравнении; р, -- малый параметр. 1079. х+ Зх = 2зш1+ 1ьхйз. 1080. х + бх = сов 21+ дхз. 1081. х+Зх+хз = 21ьсов1. 1082. х + хз = 1+ д вши 1083. х-с ныл т = 1ьзьпгй. 1084'.

х+ х = внь31 — вьп21+ 1ьхз; найти лишь пулевое приближение. 1085* х + а = 68 сйп1 — тз В задачах 1086 — 1090 с помощью метода малого параметра (см. [4)ь гл. 2, 8 8, п. 4) приближенно найти периодические решения данных уравнений. 1086. х+х — хз = О. 108Т х+х+хз = О 1088. х+зшх = О. 1089. х+х = 1ь(1 — хз)х.

1090. х+ х = 1ь(х — т ). В каждой из задач 1091 — 1097 найти в виде степенного рида решение, удовлетворяющее данным начальным условиям. Вычислить несколько первых коэффициентов рида [до коэффициента при х включительно). 1091. у' = уз — х; 1О92. д'=т.+-„', 1093. у' = у+ х е"; 1094. д' = 2х+ сову; 1095. д' = хз + дз; у(о) = В д(о) = В д[о) = о. у[о) = о. у[1) = 1. 116 З 18. Зависимость решения от начальних условия 1096. ди = хд' — дз; д(0) = 1, д'(0) = 2. 1097. ди = дсх+ хд:, д(0) = 4, д'(О) = -2. 1098*. Построив маькорирующее уравнение (см.