А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (2000) (PDF), страница 9

хоуп — Оу = 5тз + Зхг. 598. ходи — 2у = в1п 1п т. 599. (х — 2) уи — 3(х — 2)д'+ 4д = х. 600. (2т+ 3)зуо'+3(2х+ 3)д' — бу = О. Примення различные методьь решить уравнении 601— 611. 601. ди+ 2у'+ у = сов гх. 602. ди — 2у' + д = хе* вшг гх. 603. до+ 2гу = 8еев1пх. 604. уи + 2гд' — д = 8 сов х. 605. ди' — 8гд = сов 2х. 606. уп — — У = 31п( — х). , г 607. у" + 2у'+ у = хе + —. хе» Ь'11. Линейные уравнения с посгпоянныяи коэффициенте ни 59 608.

ди -Ь 2д' -~- бр = е е (соез х + 1п х). Ох' х -Ь 1 610. хирн — хд'+ р = пх + х 1пх ОП . до+ д = У(х). 612*. Какие условия достаточно наложить на функцию 1(х), чтобы все решения уравнения задачи 611 оставались ограниченными при х — г +ос? В задачах 613 — 618 построить линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (возможно более низкого порядка), имеющие данные частные решении. 614. р1 = езе созх.

616. р1 = хее соя 2т,. 613 д хге'. 615. у1 — — хз1пх. 617. д1 — — те"", дз — — е '. 618. р1 — — х, рз — — з1пх. 619. При каких а. и Ь все решения уравнения до + ор'+ -ь Ьд = 0 ограничены па всей числовой оси — ос < х < +ос? 620. При каких а и Ь все решения уравнения до -1- ау'+ + Ьд = 0 стремятся к нулю при х — э +ос? 621. При каких а и Ь уравнение до+ ар' + Ьд = О имеет хотя бы одно решение р(х)ф О, стремящееся к нулю при х — э -~-ос? 622. Прн КаКИХ а И Ь КаждОЕ РЕШЕНИЕ урааивиня ди -Ь + ад'+ Ьу = О, кроме решения р(х) = О, монотонно возрастает по абсолютной величине, начиная с некоторого т? 623. При каких а и Ь каждое решение уравнения ди + + ад' + Ьд = 0 обращается в нуль на бесконечном множестве точек х? 624*. При каких а и Ь все решения уравнения рн + + ад' + Ьд = О удовлетворяют соотношению д = о(е е) при х э +ос? 625*.

Для заданного Ь > 0 подобрать такое а, при котором решение уравнения д" + ад'+ Ьр = 0 с начальными условиями СО Ь'11. Линейные уравнения с постоянными новЬруьилиентами у(0) = 1, дь(0) = 0 возможно быстрее стремится к нулю при ж — ь +ос.

626. При каких й и иь уравнение до + нзу = э1пиьь имеет хоти бы одно периодическое решение? 627. Найти периодическое решение уравненин т. + ьььс -~- +Ьт, = з1пиь1 и нарисовать график зависимости его амплитуды от величины иь. 628. Найти периодическое решение уравнения х + х + + 4л = е' ' и на комплексной плоскости начертить кривую, которую пробегает амплитудный множитель этого решении при изменении ы от 0 до +со. 629*. Дано уравнение уо + ау' + Ьу = 4'1х), причем ~~(к)~ < пь 1 — ж < к < оо), а корни характеристического уравнения Лз < Ль < О. Найти реьпение, ограниченное при — оо < л < ось. Показать, что а) все остальные решения неограниченно приблильаются к этому решенньо при ж — ь 4-оо, б) если Дх) периодическая, то это решение тоже периодическое.

У казанке. Прнльеннть метод вариации постоянных. Нижние пределы полученных интегралов взять бесконечными такого знака. чтобы интегралы сходились. В задачах 630 — 632 принять, что при отклонении груза от положении равновесия на расстояние л пружина действует на него с силой йж, направленной к положению равновесия. 630. Найти период свободных колебаний массы пь, подвешенной к пружине, если движение происходит без сопротив- пения.

631. Один конец пруькипы закреплен пеподвильно, а к другому прикреплен груз массы ьп. При движении груза со скоростью ц сила сопротивлении равна Ьц. При 1 = 0 грузу, находившемуся в положении равновесия, сообщена скорость оо, Исследовать движение груза в случаях йз < 4йт и Ьз > 4йт. 632.

Решить предыдупьую задачу при дополнительном условии, что к грузу приложена еще периодическая внешнян сила 1 = Ьв1пиьь. Показать, что при любых начальных условиях движение груза будет приближатьсн к периодическому и найти это периодическое движение (вынужденььые колебания). 1 11. Линейные уравнения с постоянными ноэ4фициенжами 61 633. На конде упругого стержня укреплена масса т. Другой конец стержня вибрирует так, что его смещение в момент 1 равно В ып иэ1. Упругая сила, возникаюшан в стержне, пропорциональна разности смещений его концов. Найти амплитуду А вынужденных колебаний массы т. Может ли быть А > В? (Массой стержня н трением пренебречь.) 634.

Частица массы т движется по оси Г)х, отталкиваясь от точки т = 0 с силой ватто и притягиваясь к точке х = 1 с силой 4тг,, где го и ге — расстояния до этих точек. Определить движение частицы с начальными условинми х(0) = ре х(0) = О. 635. Электрическая цепь состоит из последовательно включенных источника постоянного тока, дающего напряжение г', сопротивления Л, самоиндукции 1, и выключателя, который включается при 1 = О.

Найти зависимость силы тока от времени 1при 1 > 0). 636. Решить предыдущую задачу, заменив самоиндукцикэ В конденсатором емкости С. Конденсатор до замыкания цепи не заряжен. 637. Последовательно включены сопротивление Л и конденсатор емкости С, заряд которого при 1 = 0 равен о. Цепь замыкается при 1 = О.

Найти силу тока в цепи при 1 > О. 638. Последовательно включены самоиндукция Ь, сопротивление Л и конденсатор емкости С, заряд которого цри 1 = 0 равен о. Цепь замыкается при 1 = О. Найти силу тока в цепи и частоту колебаний в том случае. когда разрнд носит колебательный характер. 639. Последователыю включены источник тока, напряжение которого меняется по закону В=1'зш ~Л, сопротивление Л и самоиндукция В. Найти силу тока в пепи (установившийся режим). 640. Последовательно включены источник тока, напряжение которого меняетсн по закону Е = )сз1пыг, сопротивление Л, самоиндукция В и емкость С. Найти силу тока в цепи (установившийся режим). При какой частоте х сила тока наибольшан? С2 212.

Линейные уравнения с леременными коэффициентами П 12. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 1. Большинство задач этого параграфа решается с помощью методов общей теории линейных дифференциальных уравнений (см. )Ц. гл. 1г, 'з 2, х 3 или ~4~, гл. 2, З 3, )) б) и методов качественного исследования линейных уравнений второго порндка (см. )Ц, гл. Ъ'1, З 2, п. 1, и. 3). П остальным задачам даны указании или ссылки на литературу. 2. Пели известно частное решение уг линейного одноролного уравнении и-го поридка, то порндок уравнении можно понизить, сохраняя линейность уравнения.

Для этого в уравнение надо подставить у = у|з и затем понизить порядок заменой з' = и. Чтобы найти общее решение линейного однородного уравнения второго порядка ае(х)уи + а1(х)у' + ат(х)у = О, у которого известно одно частное решение уы можно понизить порядок уравнения указанным выше способом. Однако удобнее воспользоватьсн формулой Остроградского- Лиувилля: у, уз — Хя~ )а а1(х) = Се р(х) = у1 уз ае(х)' где у1 и уз — любые два решения данного уравнения. Пример. Пусть известна частное решение у1 = х уравнении (х + 1)у — 2ху + 2у = О. По формуле Остроградского — Лиувилля получим = Се " э'); угуг угуг = С(х -~- 1). у1 у2 Так как функции уг известна, то мы получили линейное уравнение первого порядка относительно уз. Проще всего опо решается следу|ощим способом.

Разделив обе части уравнения на у~с, получим слева производную от дроби уэ)у1 у ) у у — угуз С(х -> 1) Р~'= '.'= ' ус! у1 у1 2 2 Так как у~ = х, то -=~" ' ""Сл="(.-+" уз = С(х — 1) -~- Сгх. Ь'12. Линейные уравнения с переменными коэффициентами 63 Это --- общее решение уравнения (1). 3. Общего метода длн отыскания частного решения линейного уравнении второго порядка не существует.

В некоторых случаях репгение удается найти путем подборе. П р и м е р. Найти частное решение уравнения (1 — 2х )уг + 2у + 4у = О. (2) иг(1) = соз) -Ь О вЂ”, иг(1) = еш)+ О ~с-1' 2) уравнение пи — (1 — 7(1))и = О имеет даа таких линейно независимых решении, что при 1 г +ос В задачах 641 — 662 исследовать, являютси ли данные функции линейно зависимыми. В каждой задаче функции рассматриваются в той области, в которой они все определены.

642. Ох+ 9, 8х+ 12. 644. 1, т, хз. 641. х+ 2, х — 2. 643. в)пх, созх. 645. 4 — х, 2х+ 3, Ох+ 8. нвляющеесн алгебраическим многочленом (если такое решение существует). Сначала найдем степень многочлена. Подставляя у = х" + ... а уравнение (2)и выписывая только члены с самой старшей степенью буквы х, получим: — 2хз п(п — 1)х" -)- ...

-)- -)-4х" -)-... = О. Приравннван нулю коэффициент при старпгей степени х, получим: — 2п(п — 1)+4 = О; гг — а — 2 = О. Отсюда пг = 2; корень пг = — 1 не годен (степень многочлена целое положительное число). Итак, мпогочлеп может быть только второй степени. Ищем его в виде у = х + ат, + Ь. Подставляя в уравнение (2). получим (4а + 4)х + -ь 2-ь 2а -ь 4Ь = О. Следовательно, 4а+ 4 = О, 2-)- 2а -)-4Ь = О. Отсюда а = — 1, Ь = О. Итак, многочлен у = хг — х нвлнетсн частным решением. 4. При решении задач 738 — 750 воспользоваться следующими утверждениями, вытекающими, например, из З 7 гл. У книги (Ь].

Пусть ~)'(1]) < „; при го < 1 < ощ с, а = соггзг > О. Тогда 1) уравнение гги -> (1 -)- 7(1))гг = О имеет два таких линейно независимых решения, что при 1 г -Ьоо 64 я 12. Линейные ураененин с переменпасии коэф1йиииенпеами 646. хг ч-2 Зхг — 1, х+ 4. 647. тг — х+ 3, 2хг+ х, 2х — 4. 648. е ег, ез* 650. 1, я1г1~ х, соя2х.

649. т, е*, те*. 651. яЬх, сЬх, 2+е . 652. 1п(хг), 1пЗх, 7. 653. г:, О, е'. 654. яЬ т, сЬх, 2е* — 1, Зе*+ 5. 655. 2'., 3*, 6 . 656. Мпх, соях, я1п2х. 657. я1пх, я1п(г + 2), соя(х — 5). 658. т/х, пУх+ 1, ы'х+ 2. 659. апнбх,, агсс16х, 1. 660. хг, х]х]. 662 т г.г ]хз] 661 х ]х] 2х+ ъ'4хг 663. а) Являются ли линейно зависимыми на отрезке [а, б] функции, графики которых изображены на рис. 1? б) Тот же вопрос для рис. 2. Рис. 1 Рис.