А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (2000) (PDF), страница 8

Частное решение линейного уравнения с правой частыа (г-1- +... + 7р Равно сУмме частных Решений УРавнений с той же левой частью и правыми частями П, ..., 7р. Общее решение линейного неоднородного уравнения во всех случаях равно сумме частного решения этого уравнения и общего решения однородного уравнения с тай же левой частью.

Пример. Решить уравнение у'' — Оу '+ 9у' = хе '+ е 'сои 2х. (8) уо' — Оуо ф 9у' = хе у'о — Оуо ф 9у' = ез" соз 2х. (9) (10) Число 7 = 3 явлнется корнем кратности е = 2, поэтому частное решение уравнения (9) согласно (4) имеет вид у> = х (ихф -ЬЬ)е~*. Подставив у = уг в (9), найдем а = 1/18, Ь = — 1~18. Характеристическое уравнение Лз — 6Л -~-ОЛ = О имеет корень Л = 3 кратности 2 и корень Л = О кратности 1. Поэтому общее Решение одноРодного УРавнениЯ имеет вид Уо = (Сс -Ь Сзх)ез" -Ь -ь Сз.

Правая часть (8) состоит из двух слагаемых нида (6); для первого 7 = а+ОП = 3. а для второго сх+)11 = 3+ 21. Так как эти числа различны, то надо искать отдельно частные решения уравнений о2 311. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Далее, число а -~- (1! = 3 ф 2! не явлнется корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение уравнения (10) согласно (7) имеет вид уз = ез'(с сов 2х -~- с(е(п2х). Подставив д = уз в (10), найдем с = -3/02, Н = — 1/20. Общее решение уравнения (В) равно у = уа + дг ф ум где уо.

у1., уз уже найдены. 3. Линейное неоднородное уравнение аоу " + агд " ' г ... -'г а у = ~(х) (11) с яюбой правой частью 1(х) решается методом вариации постоянных. Пусть найдено общее решение у = Сгу1+... + С„у„линейного однородного уравнения с той же левой частью.

Тогда решение уравнении (11) ищется н виде у = С (х)у + ... + С„(х)д„. Функции С,(х) опредслнютсн из системы с,'у, -~ ... ц- с„'д„= о с,'д', + ... -ь с,',у„' = о ао(С1у,' -~- ... ф С„у ) = У(х). 4. Уравнение Эйлера аех" убо ж о1х" 'уж О+ ... + а„,ху'+ а„у = 7(х) (12) сводится к линейному уравнениаз с постоянными коэффициентами заменой независимого переменного х = е' при х > 0 (или х = — е' при х < 0). Для полученного уравнения с постоянными коэффициентами характеристическое уравнение имеет вид аоЛ(Л вЂ” 1)(Л вЂ” 2)...

(Л вЂ” и+1)+... +а зЛ(Л вЂ” 1)+а |Л+а„= О. При составлении этого уравнения каждое произведение х~убб в (12) заменяется на произведение к убывающих на 1 чисел: Л(Л вЂ” 1) (Л вЂ” 2)... (Л вЂ” й -~- 1). Пример. Решить уравнение еу"' — хеу" + 2ху' — 2у = х (13) 311. Линейные уравнения с постоянными ноэ1ругициентоми 53 Сразу пипгем характеристическое уравнение и решаем его: Л(Л вЂ” 1)(Л вЂ” 2) — Л(Л вЂ” 1) + 2Л вЂ” 2 = О, (14) (Л вЂ” 1)(Л вЂ” ЗЛ4-2)=0, Лг=Лг=1, Лз=2.

При таких Л общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид (согласно п. 1) Уо = (Сг + Сгз)е'+ Сзег'. Чтобы решить неоднородное уравнение (13), сначала раскроем скобки в (14): Лз — 4Л' + бЛ вЂ” 2 = О. По атому характеристическому уравненинг составляем левую часть дифференциального уравнении, а правую часть получаем из правой части (13] заменой х =е'. о о зг у[ — 4у[ ф бгуг — 2у = е '. Так как число 3 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде уг = ае' .

Подставляя в зг уравнение. находим а = 1/4. Следовательно, общее решение имеет вид у = уо -~- уг = (Сг -~- Сг1)е ф Сзе 4- — е = (Сг -Ь Сг Рлх)х+ Сзхг Ш вЂ” хз (т, ) 0). 4 При х ( 0 получается аналогичнан формула, но с !и [х[ вместо 1п т,. б. Длн решения задач 635 — 640 и 879 можно пользоватьсн следующими законами теории электрических цепей (см. также [3), 3 13). Для кап<дога узла цепи сумма всех притекающих токов ранна сумме вытекающих токов. Алгебраическая сумма напрнжений источников тока, содержащихся в любом замкнутом контуре цепи, равна алгебраической сумме падений напряжений па всех остальных участках этого контура.

Падение напряжения на сопротивлении й равно К1: падение напряжении на самоиндукции 1 равно 1 ф; падение напрнжения на конденсаторе ел|кости С равно д/С, где д = д(1) — зарнд конденсатора в момент й при атом ф = 1; во всех трех случаях 1 = 1(1)-- сила така, протекающего через рассматриваемый участок цепи в данный момент и В этих формулах 1 выражается в амперах, В— в омах, 1 в генри, 4 в кулонах, С в фарадах, 1 в секундах, напряжение --- в вольтах. 54 1 11. Лнпедные уравнения с постоянными коэффициентами П ример. Последовательно включены: источник тока, напряжение которого меняется по закону Е = Р з(псе!.

сопротивление В и емкость С. Найти силу тока в цепи при установившемся режиме'. Решение. Сила тока 1 = 1(!) на любом участке цепи одна и та же (по закону о последовательном соединеяии). Падение напряжении на сопротивлении равно В1, в на емкости д/С. Следовательно, В1+ — = )гз!поз!. Дифференцируя и пользуясь тем, что Ч е!а — = 1, получим уравнение 61 61 1  — -~- — = Имсози4. с)! С (16) Это — линейное урввнение с постоянными коэффициентами.

Длн отыскания установившегося режима найдем периодическое реше- ние этого уравнения. Исходя из вида правой части уравнения, ищем решение в видо (16) 1 = Аз совы! -!-Вз сйиозй Подставляя (16) в (15) и приравнивая коэффициенты при подобных членах, получим систему двух уравнений, из которой можно найти Аз и Вм Но в электротехнике важнее знать не коэффициенты Аз и Вм а амплитуду изменения силы тока.

Поэтому выражение (16) переписывают в виде 1 = А з!1!(оз! — Р). (17) А А ВАмв!пуз-~- — сову=О, ВАысочр — — вшито= Рм. С ' С Отсюда найдем Г А= ее*+( еГ' 1 ВСео Поясним, почему найденное периодическое решение называется установившимся режимом. Общее решение уравнения (16) равно ~уствновявжямся режимом называется такой, прв котором сила тока постоянна нлк меяяетея перноянческв. Подставляя (17) в (16), переходя к тригонометрическим функци- ям углов оэ! и у, приравнивая нозффициенты сначала при шпщт, а затем прн созоЛ, получим т'11. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 55 77 — ч- — = О.

47 1 сМ С (18] Так как решение уравнения (13) ) = Ке Ипс (здесь К -. произвольная постоянная) стремится к нулю при 1 — > Ч-ос, то любое решение уравнении (1ос) при С вЂ” г +со неограниченно приближается (и притом весьма быстро) к найденному периодическому решению (17). Решить уравнения 511 — 548. 511. ди + р' — 2д = О. 512. ри + 4р' + Зр = О. 513. дн — 2д' = О. 514.

2ри — 5д' + 2д = О. 515. до — 4д'+ 5у = О. 516. до+ 2д'+ 10д = О. 517. ди + 4д = О. 519. д~~ — д = О. 521. ди' + 64д = О. 518. дн' — 8д = О. 520. дач + 4д = О. 522. ди — 2д' + р = О. 523. 4до + 1д'+ д = О. 524. дч — банч + 9дн' = О. 525. д~ — 1Од'о + 9р' = О. 526. д~~ + 2ди + д = О. 527. ди' — Здн + Зд' — д = О. 528. до' — ди — д' + р = О.

529. р~~ — 5до + 4д = О. 530. р~ + 8дн' + 16р' = О. 531. ри' — Зу' -~- 2д = О. 532. усу + 4дн + Зр = О. 533. ди — 2д' — Зд = еяе. 534. дн + р = 4хее. 535. ди — д = 2ее — хт. 536. до + д' — 2д =,'Зтее. 537. ди — Зр'+ 2д = впсх. 538. до+ д = 4а)пх.

539. до — 5д'+ 4д = 4хзез . сумме найденного частного решения (17) и общего решения линей- ного однородного уравнении Линейные уравнения с постоянными ноэффициентами 540. ун — Зу'+ 2у = хсовт. уи+ Зу~ 4у е — ее+ 541. уо + 2д' — Зу = хзе*. 542. уо — 4д' + 8у = ез' + вш 2х. 543. уи — 9у = ез* сов х. 544. ун — 2у'+ д = 6те*. 545. уи+ д = тв1пх. 546. 547. уи + 4у' + 4у = хезе. 548. уо — 5д' = Зхз + в1п 5х.

В задачах 549 — 574 длн каждого из данных уравнений написать его частное решение с неопределенными козффидиентами (числовых значений коэффициентов не находить). уо — 2д'+ 2у = е*+ хсовх. 549 уи + бу' + 10у = Зхе з' — 2ез' сов х. 550. 551. ун — 8д'+ 20у = Зтезевш2х. 552. ун+ 7у'+ 1Оу = те з' сов5:г. уи — 2у' + Зу = 2те + ее вш 2х, 553. 554. до — 2д'+у = 2хеи+е'в1п2х. 555. уо — 8д'+ 17у = е~ '(хз — Зхв1пх). ди'+ у' = в1пх+ хсовх 556. 557. дн' — 2ди -1- 4у' — 8у = ез* вш 2х ч- 2хз. ди — бу'+ 8у = Зхез*+ 2ееев1пз. 558.

ун + 2у' + у = т(е — сов х). ут уо д! + у Зев+ 5з в1пт 560. 561. уи — 6д'+ 13д = тзезе — 3 сов 2т. уи — 9у = е "(х + в1пЗх). 562. 563 у ч ч- у" = 7:с — 3 сов х. В 11. Линейные уравнения с постоянными ноэффиииентами 57 564. да + 4у = совх ° совЗх. 565. да~ — 4дн + Зуг = тг + хег* уи — 4д' + 5д = еге яп х. 566. 567.

до + Зд'+ 2д = е нсовг х. 568. ди — 2у'+ 2д = (г:+ ее) япх. 569. у'~ + буи+ 4д = япх ° сов2х. 570. ди — Зу'+ 2д = 2е, 571. уи — у = 4вЬх. 572. да+ 4д'+ Зу = сЬх, 573. да+ 4у = вЬх яп2х. 574. уи+ 2у'+ 2у = сЬх вша. Решить уравнения 575 — 581 способом вариации постоянных. 575. ди — 2у'+ у = — '. 576. ди+Зу~+2д = ..~„,. 577.

ун+ у = 578. до+ 4у = 218х. 579. ди+ 2у'+ д = Зе еъ~хр1. 580. до+у = 2весвх. 581*. хг(ди — д) = хг — 2, Найти решения уравнений 582 — 588, удовлетворяющие указанным начальным условиям. 582. уи — 2у' + у = 0; д(2) = 1, у'(2) = — 2. 583. де+ д = 4е ", д(О) = 4, у'(О) = — 3. 584. уи — 2у' = 2е ", у(1) = — 1, у'(1) = О. 585. уи + 2у' + 2д = хе '; у(0) = у'(О) = О. 586. дн' — у' = 0: у(О) = 3, р'(О) = — 1, уи(0) = 1. З11. Линейные уравнения с постоянными нозфйгициентоми 587.

ди' — Зу' — 2у = 9ег"'; у(0) = О, д'(О) = — 3, уп(О) = 3. 588. д'~ -~ ди = 2 сов х; д(О) = — 2, у'(0) = 1, ди(О) = у"'(О) = О. В задачах 589 — 600 решить уравнения Эйлера 589. хгуп — 4ху'+ 6д = О. 590. хоуп — хд' — Зд = О. 591. хзу'и + хд' — у = О. 592 хгуп' = 2у'. 593. хоуп — ху'+ у = 8хз. 594. хзун + ху'+ 4у = 10х. 595 хзуо 2ху = 61пх. 596. лгун — Зху'+ 5у = Зз". 597.