№ 201 (Методические разработки к лабораторным работам)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М. В. ЛомоносоваФизический факультеткафедра общей физики и физики конденсированного состоянияМетодическая разработкапо общему физическому практикумуЛаб. работа № 201ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ ЮНГАИЗ ИЗГИБА РАВНОПРОЧНОЙ БАЛКИРаботу поставил доцент Пустовалов Г.Е.Москва - 2012Подготовил методическое пособие к изданию доц.

Авксентьев Ю.И.3ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ ЮНГА ИЗ ИЗГИБАРАВНОПРОЧНОЙ БАЛКИ1. Деформации.Деформациями называются изменения положений точек твердых телотносительно друг друга под действием приложенных к этим телам внешнихсил. Деформации бывают простые и сложные.

К простым деформациямотносятсярастяжение (одностороннее сжатие можно считатьотрицательным растяжением) и сдвиг. К сложным деформациям относятся,например, изгиб и кручение. Все не слишком большие деформации можнопредставить в виде комбинации простых. В частности, кручение - это сложныйсдвиг круговых сечений в цилиндрическом теле, изгиб - растяжение одних исжатие других слоев тела.До определенных пределов деформации подчиняются закону Гука они пропорциональны приложенным к телу силам.

При очень большихдеформациях пропорциональность между деформациями и внешними силаминарушается. Величина деформации, при превышении которой начинаютсяотступления от закона Гука, определяется видом деформации, свойствамивещества, из которого изготовлено тело, а также формой и размерами тела.

Вбольшинстве технических приложений (расчеты сооружений, машин и т.д.)подбираются обычно такие материалы и размеры, чтобы закон Гука оставалсяв силе.В случае растяжения стержня, один конец которого закреплен, силой F,приложенной вдоль стержня к другому его концу, закон Гука имеет видllF,S(1)где l - первоначальная длина стержня, l - величина деформации (абсолютноеудлинение),ll- относительное удлинение, S - одинаковая по всей длинестержня площадь его поперечного сечения. Коэффициент пропорциональностиназывается коэффициентом растяжения. На практике обычно1, которая носитиспользуется обратная величина этого коэффициента Eназвание модуля Юнга.Модуль Юнга является характеристикой поведения вещества прирастяжении (или сжатии).

Он численно равен силе, растягивающей вдвое посравнению с первоначальной длиной, стержень с единичным поперечнымсечением. Однако, на самом деле при таких больших относительных4деформациях закон Гука не соблюдается (либо твердые тела разрушаются призначительно меньших деформациях, либо возникают пластическиедеформации). Поэтому на практике деформации измеряются при сравнительномалых внешних силах, а затем модуль Юнга вычисляется при помощиформулы, найденной теоретическим путем для данной деформации. В этойзадаче модуль Юнга находится из изгиба равнопрочной балки.Модуль Юнга измеряют в ньютонах на кв.

метр (Н/м2) или в килограммах силы на кв. миллиметр (кГ/мм2).2. Изгиб равнопрочной балки.Равнопрочной называется балка, имеющая сверху вид равнобедренного треугольника АВС (рис. l). Балка закрепляется горизонтально у основанияВС этого треугольника, к вершине же его А прикладывается нагрузка - сила,LL xKNMAxTQBUCWVPbaМестозакрепленияРис.1действующая вертикально вниз (например, подвешивается груз весом Рзакрепления). Смысл названия «равнопрочная балка» будет виден из дальнейшего.В нашем случае для удобства подвеса нагрузки конец балки имеетсверхувидпрямоугольникаLKMNQ.

Поэтому следует заранееxL xоговориться, что наш расчет будетWверен только для участка балкиQNBC, имеющего вид трапеции.001На этом участке и должныпроизводитьсявсеизмеренияV(стрелы прогиба и толщиныбалки). Теоретический вид балкина рис.1 показан штриховымиPлиниями.Рис.2Изгиб представляет собой5растяжение верхних и сжатие нижних слоев балки. Слой, лежащий по серединебалки, не меняет своей длины и называется нейтральным. По закону Гуканапряжение внутри каждого слоя (отношение силы, растягивающей слой, кплощади поперечного сечения этого слоя) пропорционально деформации. Таккак верхние и нижние слои растягиваются и сжимаются больше, чем слои,лежащие ближе к середине, то и напряжения в них получаются больше.Выбрав сечение VWTU, находящееся на расстоянии x от закрепленного концабалки, изобразим стрелками величину и направление напряжений,действующих на часть балки, расположенную слева от сечения VWTU, состороны части балки, прилегающей к этому сечению справа (рис.2; нарисунке балка изображена сбоку).

Мы видим, что на левую часть балки,отделеннуюxaTdFdSyWdzz01UA0b/2b/2xVRPDРис.3сечениемVWTU, со стороны правой части балки действует моментвнутренних сил.Для этого проведем на небольшом расстоянии x справа от сеченияVWTU второе сечение, которое до изгиба было параллельно сечению VWTU, апосле изгиба образовал с ним некоторый небольшой угол(рис.3). Надостаточно малом отрезке любую кривую линию можно заменить дугойокружности. Поэтому мы примем нейтральный слой на отрезке x за дугуокружности некоторого радиуса R с центром в точке D.6Рассмотрим слой GH очень малой толщины dz, лежащий вышенейтрального слоя на расстоянии z и имеющий (после изгиба) длину y.

Радиусего кривизны будет, очевидно, равен R + z. Так как длина дуги равнапроизведению радиуса на величину центрального угла (в радианах), то x =Rи y = (R + z) . Так как до изгиба длина слоя GH была равна x, тоабсолютное удлинение этого слояl = y - x = (R+z)-R=z(2)и его относительное удлинениеzRlxz.R(3)Наш растянутый слой GH действует на левую часть балки с силой,которая по третьему закону Ньютона равна силе, вызывающей его растяжение.Пусть величина этой силы dF, а площадь поперечного сечения слоя dS, тогда извыражения (1) для закона Гука, заменив относительное удлинение l/l егозначением (3), найдемEzdS.RdF(4)Чтобы найти площадь поперечного сечения слоя GH, рассмотримподобные треугольники ABC и ATW (рис.

l). Легко видеть, чтоTWBCL x,Lгде L - длина балки от места закрепления до точки приложения нагрузки.Учитывая, что ВС = а - ширина балки в месте закрепления, получим отсюдаTW(Lx )aL.Так как площадь поперечного сечения dS слоя GH равна произведениюего ширины TW на высоту dz, тоdS(Lx )adz.L(5)Следует заметить, что изменением ширины слоя GH на расстоянии x мыпренебрегаем ввиду малости последнего.Подставив в формулу (4) выражение (5), найдем силу dF,растягивающую слой GH:aE ( L x )dFzdz.(6)RLПлечом силы dF относительно оси 001 является расстояние z отнейтрального слоя до слоя GH.

Следовательно, моментом силы относительнооси 001 будет величина7aE( L x ) 2z dz.(7)RLДля получения полного момента М всех сил, действующих на сечениеVWTU, надо сложить элементарные моменты dM, которые возникают прирастяжении и сжатии слоев, лежащих на всевозможных расстояниях z отнейтрального слоя в пределах толщины балки b. С точки зрения математикитакое сложение представляет собой интегрирование dM по z в пределах от -b/2(значение z, для нижней плоскости балки) до +b/2 (значение z для верхнейплоскости балки):dMb/ 2MdMb/ 2zdFb/ 2aE ( L x ) 2z dzRLb/ 2aE ( L x )RL3aE( L x ) bRL243b24b/ 2z 2 dzb/ 2aE ( L x ) z 3RL3b/ 2b/ 23Eab ( L x ).12 RL(8)Подвешенный к концу балки груз весом Р также создает относительнооси 001 момент силы МР, действующий на левую часть балки, но, в отличие отмомента М, не по часовой стрелке, а против нее (см.

рис. 2). Плечом моментаМР будет расстояние L - x от точки подвеса груза конца балки до сеченияVWTU, а величиной егоMP=(L - x)P.(9)Под действием груза Р конец балки начинает опускаться, балкаизгибается, и сечение VWTU поворачивается. При повороте сечения VWTUправой части балки при растяжении и сжатии слоев возникают упругиенапряжения, которые создают уже вычисленный нами момент сил М,действующий на левую часть балки относительно оси 001. По мере изгибабалки сечение VWTU поворачивается все больше и больше, и момент сил Мвозрастает, поскольку растяжение и сжатие слоев балки увеличивается. Встатическом случае, когда начавшееся после подвеса груза движение концабалки прекратилось, должно быть выполнено равенство М = МР, или, согласно(8) и (9),Eab 3 ( L x )( L x ) P.(10)12 RLПосле сокращения на L - x, находим радиус R изгиба участканейтрального слоя х вблизи сечения VWTUEab 3R.(11)12 PLОказывается, радиус дуги, по которой изгибается отрезок х, не зависит от х.Следовательно, этот радиус одинаков для всех участков балки, так как сечениеVWTU было выбрано произвольно.

Линия, радиус кривизны которой одинаковдля всех ее участков, является окружностью. Значит, наша балка изгибается по8дуге окружности. Таким образом, для балки, имеющей сверху видравнобедренного треугольника, относительные удлинения любых отрезков GH,лежащих на одинаковых расстояниях z от нейтрального слоя, равны, так как иz, и R, входящие в формулу (3), постоянны.