Топологическая классификация интегрируемых биллиардов, страница 7

Рассмотрим отрезок, трансверсальный особомуслою двумерного атома и проходящий через эту точку. такй отрезок пересекается с каждой25окружностью – неособым слоем – ровно в одной точке. При удалении этого отрезка получитсянекоторый некомпактный двумерный атом, который обозначим через B 0 (см. рис.

1.5 ниже). Онописывает бифуркацию отрезка в пару отрезка и окружности. Соответствующий трёхмерныйатом B 0 (гомеомофрный произведению плоского атома на окружность S 1 ) описывает перестройку цилиндра в тор и цилиндр. Если же в двумерном атоме B удалить два отрезка, пересекающихся с особым слоем по разные стороны от особой точки, то получим атом B 00 , изображённыйна рисунке ниже. Этот атом описывает перестройку двух отрезков в два отрезка. Другим способом его описания является удаление из двумерного атома C2 окрестности одной из особыхточек на особом слое.а)б)в)Рис. 1.5: Двумерный компактный атом B (а) при удалении точки на особом слое и её окрестности на прилегающих окружностях переходит в некомпактный атом B 0 (б), а при удалении точексимметрично в некомпактный атом B 00 (в). Жирным выделена особая точка.1.2.4Выбор циклов на торах Лиувилля.Построенная молекула Фоменко – граф W – не описывает полностью топологию слоения Лиувилля, так как она не содержит всей информации о склейках регулярных окрестностей особыхслоев.

Оказывается, для описания топологии слоения необходимо выбрать пары так называемых допустимых базисов на граничных торах и указать матрицы перехода от одного базисак другому. Структура атома-бифуркации задаёт правило выбора допустимого базиса. Болееподробное изложение приведено в работах [11, 12, 14], здесь ограничимся явным указаниемпостроения.Случай атома A.В этом случае бифуркация представляет собой полноторие. В качестве первого базисногоцикла λ необходимо выбрать меридиан полнотория, т.е. цикл, стягивающийся внутри полнотория в точку. В качестве второго базисного цикла µ можно взять произвольный цикл, дополняющий λ до базиса. В этом случае цикл µ можно считать слоем расслоения Зейферта.

Слоирасслоения Зейферта имеют естественную ориентацию, задаваемую гамильтоновым векторным26полем. Говоря точнее, только один из этих слоев является траекторией рассматриваемого векторного поля, а именно – критическая окружность дополнительного интеграла f , ось полнотория. Ориентация этого слоя позволяет однозначно определить ориентацию на цикле µ. Крометого, мы имеем ориентацию на всё 3-атоме, а , следовательно, и на его граничном торе. Поэтомумы можем однозначно определить ориентацию и первого базисного цикла λ, потребовав, чтобыпара (λ, µ) была положительно ориентирована.Случай седлового атома без звездочек. В этом случае 3-атом U имеет структуру тривиального S 1 -расслоением над двумерным атомом P . Тогда в качестве первого базисного цикла λiна каждом из граничных торов Ti мы возьмём слой этого расслоения.

Дополнительные циклыµi выбираются следующим образом. Рассмотрим произвольное сечение P ⊂ U . Оно высекаетна каждом граничном торе Ti некоторый цикл µi , который мы и возьмём в качестве второгобазисного цикла на Ti . Ориентация на базисных циклах выбирается однозначно так же, как ив предыдущем случае.Случай атома со звездочками. Как и в предыдущем случае в качестве первых базисныхциклов λi на каждом из граничных торов Ti мы возьмём слой расслоения Зейферта. Однаконаличие особых слоёв не позволяет нам далее поступать аналогично, так как это расслоение неимеет глобального сечения такого, чтобы каждый слой пересекал его ровно один раз.

Оказывается, можно очень естественным способом построить циклы допустимой системы координат,используя для этого дубль P̂ базы расслоения Зейферта. Будем пользоваться тем, что расслоение Зейферта в случае трехмерного атома со звездочками обладает “удвоенным” сечением,то есть в него можно вложить поверхность P̂ так, что любой неособый слой расслоения Зейферта пересекает P̂ ровно в двух точка, а особый слой – в одной.

Такое вложение определяетестественную инволюцию τ : P̂ → P̂ такую, что база P расслоения Зейферта является факторпространством P = P̂ /τ .Рассмотрим вложенный дубль P̂ ⊂ U и его границу ∂ P̂ = P̂ ∩ ∂U. Пусть µ̂i = P̂ ∩ Ti – частьграницы ∂ P̂ , лежащая на торе Ti ⊂ ∂U .Возможны два случая. Первая возможность состоит в том, что µ̂i представляет собой объединение двух отдельных циклов, каждый из которых пересекается со слоем λi расслоенияЗейферта в одной точке и, следовательно, является сечением расслоения Зейферта на граничном торе Ti .

Во втором случае µ̂i является связным циклом, имеющим индекс пересечения 2 сослоем λ.Построим из циклов µ̂i нужные нам циклы µi допустимой системы координат. Для начала впервом случае в качестве цикла µi необходимо взять одну из связных компонент µ̂i , а во второмположить µi = 21 (µ̂i + λi ). Локально на каждом граничном торе построенные циклы µi будутполностью удовлетворять требуемым свойствам, т.е. будут настоящими сечениями расслоенияЗейферта на каждом из граничных торов. Однако, для согласованности различных способовпостроения циклов (см.

книгу [11]) один из этих циклов необходимо чуть подправить, добавив кнему цикл, кратный слою λ. При этом кратность должна выбираться так, чтобы выполнялосьследующее соотношение:Xi∂ P̂ + sλ1 Xµi = (µ̂i + sλ) =,2 i2где s – число критических окружностей в U с неориентируемыми сепаратрисными диаграммами, т.е. количество звездочек в атоме U .271.2.5Молекула Фоменко-Цишанга – полный инвариант Лиувиллевойэквивалентности.Таким образом, в точке каждого ребра грубой молекулы W , представляющей собой тор Лиувилля, определены два допустимых базиса, которые определяются по правилам выше, согласно тематомам, которые соединяет выбранное ребро.

Для каждой такой пары базисов можно указатьматрицу перехода от одного базиса к другому, которая называется матрицей склейки. Так какдопустимые базисы выбираются не совсем однозначно, то полученная матрица склейки можетменяться при замене одних допустимых базисов на другие. Однако, по матрице склейки можноопределить ряд чисел-меток, которые для всех таких матриц будут совпадать (см. [11, 12, 14]).Приведём эти правила.αi βiПусть на выбранном ребре найдена матрица склейки Ci =.

Сопоставим матрицеγi δiсклейки Ci следующие числовые метки.Определение 1.2.2. Числовой рациональной меткой ri на ребре ei молекулы W называется: αi mod 1 ∈ Q/Z, если βi 6= 0,ri = βiсимвол ∞,если βi = 0.Определение 1.2.3. Числовой целочисленной меткой εi на ребре ei молекулы W называется:(sign βi , если βi =6 0,εi =sign αi , если βi = 0.Назовём бесконечным ребро молекулы с меткой ri , равной ∞. Остальные рёбра будем называть конечными. Разрежем молекулу по всем конечным рёбрам. В результате молекула распадётся на некоторое число связных кусков.Определение 1.2.4.

Семьёй называется кусок молекулы, который не содержит атомов A послеразреза молекулы по всем конечным ребрам.В каждой семье все рёбра можно разделить на три класса: входящие, выходящие и внутренние.Определение 1.2.5. Сопоставим каждому из этих рёбер ei целое число Θi по следующемуправилу: αiесли ei – выходящее ребро,[ ], βiδiΘi = [− ], если ei – входящее ребро,βiγ[− i ], если ei – внутреннее ребро.αiТогда для каждой семьи определена целочисленная метка n, определенная по следующемуправилуXn=Θi ,где сумма берётся по всем рёбрам данной семьи.28Числовые метки r, ε и n инвариантны относительно допустимых замен базисов на граничныхторах (см. леммы 4.5 и 4.6 книги [11]).Определение 1.2.6.

Молекула W , снабжённая числовыми метками r, ε и nk , называется меченой молекулой или инвариантом Фоменко-Цишанга.Теорема 1.2. (А. Т Фоменко, Х. Цишанг) Две невырожденные интегрируемые гамильтоновы системы на изоэнергетических поверхностях Q31 = {x ∈ M14 : f1 (x) = c1 } и Q32 = {x ∈M24 : f2 (x) = c2 } лиувиллево эквивалентны тогда и только тогда, когда их меченые молекулысовпадают.1.2.6Влияние ориентации на метки.При построении меченой молекулы W ∗ мы использовали ориентации многообразия Q3 , критических окружностей интеграла f и ребер молекулы.

При изменении любой из этих ориентациймеченая молекула W ∗ будет, вообще говоря, меняться. Опишем формальные правила, показывающие, что происходит с меченой молекулой при заменах ориентаций.Изменение ориентации на ребре молекулы.В случае бесконечного ребра метки ε и n не меняются. Если метка r была бесконечной, то онане меняется. В случае конечного ребра метка r = ( αβ )mod1 меняется на метку r∗ = ( βδ )mod1, гдеδ однозначно определяется из условия (αδ − 1)modβ = 0.

Мы предполагаем что α и β взаимнопросты.Изменение ориентации 3-многообразия Q.• Ребро соединяет атомы одного типа, т.е. либо A с A либо седло с седлом. Тогда в случаеконечного ребра метки r и ε меняют знаки. В случае бесконечного ребра метки r и ε неменяются.• Ребро соединяет атомы разных типов. При замене ориентации многообразия Q3 в случаеконечного ребра метка r меняет знак, а метка ε не меняется.