Топологическая классификация интегрируемых биллиардов

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТИМ. М.В. ЛОМОНОСОВАМЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТНа правах рукописиФОКИЧЕВА ВИКТОРИЯ ВИКТОРОВНАУДК 517.938.5ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХБИЛЛИАРДОВ01.01.04 геометрия и топологияДиссертация на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:академик РАН А.Т.ФоменкоМосква–2016 г.ОглавлениеВведение41Основные определения.201.1 Интегрируемые системы. . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.1.1 Понятие интегрируемой гамильтоновой системы. . . . . . . . . . . . . . . . 201.1.2 Теорема Лиувилля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.1.3 Отношение эквивалентности на множестве интегрируемых гамильтоновыхсистем.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2 Инварианты Фоменко-Цишанга интегрируемых систем. . . . . . . . . . . . . . . . 221.2.1 Грубые инварианты. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . 221.2.2 Атомы-бифуркации. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2.3 Некомпактные атомы-бифуркации. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.2.4 Выбор циклов на торах Лиувилля. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . 261.2.5 Молекула Фоменко-Цишанга – полный инвариант Лиувиллевой эквивалентности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.2.6 Влияние ориентации на метки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.3 Биллиард. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.3.1 Классическая постановка биллиардной задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . 301.3.2 Гамильтоново сглаживание. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.3.3 Эллиптико-гиперболический биллиард. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.3.4 Параболический биллиард. . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.3.5 Обобщённый биллиард: кусочно-плоская биллиардная область полученасклейками плоских биллиардных областей, а движение доопределено понепрерывности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352Классификация биллиардных областей.372.1 Компактные плоские области, ограниченные софокусными эллипсами и гиперболами. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.1.1 Отношение эквивалентности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.1.2 Классификация эллиптико-гиперболических биллиардных областей. . . . . 382.2 Области, ограниченные дугами парабол. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . 422.2.1 Отношение эквивалентности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.2.2 Классификация параболических биллиардных областей. . . . . . . . . . . . 422.2.3 Классификация плоских некомпактных параболических областей. . . . . . 442.3 Обобщенные биллиардные области, ограниченные дугами эллипсов и гипербол. . 452.3.1 Правила склейки.

Конические точки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4512.3.22.3.32.3.42.3.5Отношение эквивалентности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Обозначения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Классификация обобщенных областей без конических точек. .

. . . . .Классификация обобщенных областей, содержащих конические точки.........464647503Топология изоэнергетического многообразия.553.1 Классификация изоэнергетических 3-поверхностей биллиардов в компактной области без конических точек. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

553.1.1 Биллиардная область гомеоморфна кольцу. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.1.2 Биллиардная область гомеоморфна диску или сфере. . . . . . . . . . . . . 563.2 Классификация изоэнергетических многообразий для биллиардов в компактнойобласти, содержащей конические точки.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.2.1 Биллиардная область гомеоморфна диску. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594Лиувиллева классификация эллиптико-гиперболических биллиардов.624.1 Слоение Лиувилля: вычисление молекулы Фоменко. . . . . . . .

. . . . . . . . . . 624.1.1 Особые и неособые уровни интеграла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.1.2 Теорема Лиувилля для эллиптико-гиперболического биллиарда: эллиптические значения интеграла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.1.3 Теорема Лиувилля для эллиптико-гиперболического биллиарда: гиперболические значения интеграла. . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.1.4 Особые уровни интеграла. Описание их окрестности в терминах атомовбифуркаций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.2 Вычисление инварианта Фоменко-Цишанга. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.2.1 Метки эллиптико-гиперболического биллиарда в бесфокусной области. . .

704.2.2 Метки эллиптико-гиперболического биллиарда в области, содержащей фокусы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735Лиувиллева классификация биллиардных систем в плоской области, ограниченной дугами софокусных парабол.775.1 Слоение Лиувилля: вычисление молекулы Фоменко-Цишанга для параболического биллиарда в компактной области. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.2 Слоение Лиувилля: вычисление аналога молекулы Фоменко для параболическогобиллиарда в некомпактной области. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796Лиувиллева классификация систем обобщённых биллиардов.836.1 Слоение Лиувилля: вычисление молекулы Фоменко. . . . . . .

. . . . . . . . . . . 836.1.1 Особые и неособые уровни интеграла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.1.2 Теорема Лиувилля для обобщённого биллиарда: эллиптические значенияинтеграла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . 846.1.3 Теорема Лиувилля для обобщённого биллиарда: гиперболические значенияинтеграла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.1.4 Особые уровни интеграла. Описание их окрестности в терминах атомовбифуркаций. .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.2 Вычисление меток и построение инварианта Фоменко-Цишанга. . . . . . . . . . . 9426.2.16.2.2Лиувиллева классификация биллиардов в обобщенных областях, каждаяэлементарная область в составе которых не содержит фокусов семействаграницы. .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Лиувиллева классификация биллиардов в обобщенных областях, в составекоторых есть элементарная область, содержащая фокусы семейства границы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .94997 Биллиарды как модели динамики твёрдого тела.1117.1 Задачи динамики твёрдого тела. Известные случаи интегрируемости. . . . . . . . 1117.2 Известные случаи интегрируемости в динамике твёрдого тела, лиувиллево эквивалентные биллиардным системам, ограниченных дугами софокусных квадрик.. . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Литература1263ВведениеАктуальность темыВ диссертации получена топологическая (лиувиллева) классификация интегрируемых биллиардов в плоских и локально-плоских компактных областях, ограниченных дугами софокусныхквадрик, с помощью методов теории Фоменко-Цишанга об инвариантах интегрируемых систем.Кроме того, исследована топология соответствующих изоэнергетических поверхностей.Теории математического биллиарда – задаче о движении материальной точки в плоскойобласти, ограниченной кусочно-гладкой кривой, с абсолютно упругим отражением на границе – посвящено множество работ (отметим книгу [1] С.

Л. Табачникова, в которой дан обзорсовременных и классических исследований биллиардов). Одними из классических вопросов являются задачи о существовании периодических траекторий и об интегрируемости биллиардногодвижения в области в зависимости от ее границы. К примеру, в любом треугольнике существуетпериодическая биллиардная траектория из трех звеньев, а именно, треугольник наименьшегопериметра, вершины которого находятся в основании высот исходного треугольника (теоремаФаньяно).

В настоящий момент достаточно популярными интегрируемыми биллиардами являются плоские биллиарды, ограниченные дугами софокусных квадрик.Интегрируемость биллиарда в области, ограниченной эллипсом, была замечена в работе [2]Дж. Д. Биркгофа. Интегрируемость геодезического потока на эллипсоиде следует из теоремыЯкоби-Шаля. При стремлении меньшей полуоси эллипсоида к нулю движение по геодезическим на нём переходит в движение по ломаным, целиком лежащим в образе эллипсоида –плоской области, ограниченной эллипсом. Интегрируемость биллиарда сохраняется, если перейти к плоским областям, ограниченным дугами эллипсов и гипербол одного софокусного. В этом случае все углы в точкахсемейства, на границе которых нет точек излома с углами 3π2излома равны π2 , поскольку известно, что софокусные квадрики пересекаются всегда под прямыми углами. В книге [3] В. В.

Козлов, Д. В. Трещёв заметили, что эти динамические системыявляются вполне интегрируемыми по Лиувиллю (т.е. имеется дополнительный независимыйинтеграл Λ), а именно, что интегрируемость данных систем эквивалентна малой теореме Понселе. Для системы плоского биллиарда в эллипсе были построены координаты, в которых движение представляется в виде периодического движения по торам. Такие системы с точностьюдо лиувиллевой эквивалентности были подробно (но не полностью) изучены в работах [4, 5]В.