Топологическая классификация интегрируемых биллиардов (1105027)
Текст из файла
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТИМ. М.В. ЛОМОНОСОВАМЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТНа правах рукописиФОКИЧЕВА ВИКТОРИЯ ВИКТОРОВНАУДК 517.938.5ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХБИЛЛИАРДОВ01.01.04 геометрия и топологияДиссертация на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:академик РАН А.Т.ФоменкоМосква–2016 г.ОглавлениеВведение41Основные определения.201.1 Интегрируемые системы. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.1.1 Понятие интегрируемой гамильтоновой системы. . . . . . . . . . . . . . . . 201.1.2 Теорема Лиувилля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.1.3 Отношение эквивалентности на множестве интегрируемых гамильтоновыхсистем.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2 Инварианты Фоменко-Цишанга интегрируемых систем. . . . . . . . . . . . . . . . 221.2.1 Грубые инварианты. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 221.2.2 Атомы-бифуркации. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2.3 Некомпактные атомы-бифуркации. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.2.4 Выбор циклов на торах Лиувилля. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 261.2.5 Молекула Фоменко-Цишанга – полный инвариант Лиувиллевой эквивалентности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.2.6 Влияние ориентации на метки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.3 Биллиард. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.3.1 Классическая постановка биллиардной задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . 301.3.2 Гамильтоново сглаживание. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.3.3 Эллиптико-гиперболический биллиард. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.3.4 Параболический биллиард. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.3.5 Обобщённый биллиард: кусочно-плоская биллиардная область полученасклейками плоских биллиардных областей, а движение доопределено понепрерывности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352Классификация биллиардных областей.372.1 Компактные плоские области, ограниченные софокусными эллипсами и гиперболами. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.1.1 Отношение эквивалентности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.1.2 Классификация эллиптико-гиперболических биллиардных областей. . . . . 382.2 Области, ограниченные дугами парабол. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 422.2.1 Отношение эквивалентности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.2.2 Классификация параболических биллиардных областей. . . . . . . . . . . . 422.2.3 Классификация плоских некомпактных параболических областей. . . . . . 442.3 Обобщенные биллиардные области, ограниченные дугами эллипсов и гипербол. . 452.3.1 Правила склейки.
Конические точки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4512.3.22.3.32.3.42.3.5Отношение эквивалентности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Обозначения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Классификация обобщенных областей без конических точек. .
. . . . .Классификация обобщенных областей, содержащих конические точки.........464647503Топология изоэнергетического многообразия.553.1 Классификация изоэнергетических 3-поверхностей биллиардов в компактной области без конических точек. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
553.1.1 Биллиардная область гомеоморфна кольцу. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.1.2 Биллиардная область гомеоморфна диску или сфере. . . . . . . . . . . . . 563.2 Классификация изоэнергетических многообразий для биллиардов в компактнойобласти, содержащей конические точки.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.2.1 Биллиардная область гомеоморфна диску. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594Лиувиллева классификация эллиптико-гиперболических биллиардов.624.1 Слоение Лиувилля: вычисление молекулы Фоменко. . . . . . . .
. . . . . . . . . . 624.1.1 Особые и неособые уровни интеграла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.1.2 Теорема Лиувилля для эллиптико-гиперболического биллиарда: эллиптические значения интеграла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.1.3 Теорема Лиувилля для эллиптико-гиперболического биллиарда: гиперболические значения интеграла. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.1.4 Особые уровни интеграла. Описание их окрестности в терминах атомовбифуркаций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.2 Вычисление инварианта Фоменко-Цишанга. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.2.1 Метки эллиптико-гиперболического биллиарда в бесфокусной области. . .
704.2.2 Метки эллиптико-гиперболического биллиарда в области, содержащей фокусы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735Лиувиллева классификация биллиардных систем в плоской области, ограниченной дугами софокусных парабол.775.1 Слоение Лиувилля: вычисление молекулы Фоменко-Цишанга для параболического биллиарда в компактной области. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.2 Слоение Лиувилля: вычисление аналога молекулы Фоменко для параболическогобиллиарда в некомпактной области. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796Лиувиллева классификация систем обобщённых биллиардов.836.1 Слоение Лиувилля: вычисление молекулы Фоменко. . . . . . .
. . . . . . . . . . . 836.1.1 Особые и неособые уровни интеграла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.1.2 Теорема Лиувилля для обобщённого биллиарда: эллиптические значенияинтеграла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 846.1.3 Теорема Лиувилля для обобщённого биллиарда: гиперболические значенияинтеграла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.1.4 Особые уровни интеграла. Описание их окрестности в терминах атомовбифуркаций. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.2 Вычисление меток и построение инварианта Фоменко-Цишанга. . . . . . . . . . . 9426.2.16.2.2Лиувиллева классификация биллиардов в обобщенных областях, каждаяэлементарная область в составе которых не содержит фокусов семействаграницы. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Лиувиллева классификация биллиардов в обобщенных областях, в составекоторых есть элементарная область, содержащая фокусы семейства границы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .94997 Биллиарды как модели динамики твёрдого тела.1117.1 Задачи динамики твёрдого тела. Известные случаи интегрируемости. . . . . . . . 1117.2 Известные случаи интегрируемости в динамике твёрдого тела, лиувиллево эквивалентные биллиардным системам, ограниченных дугами софокусных квадрик.. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Литература1263ВведениеАктуальность темыВ диссертации получена топологическая (лиувиллева) классификация интегрируемых биллиардов в плоских и локально-плоских компактных областях, ограниченных дугами софокусныхквадрик, с помощью методов теории Фоменко-Цишанга об инвариантах интегрируемых систем.Кроме того, исследована топология соответствующих изоэнергетических поверхностей.Теории математического биллиарда – задаче о движении материальной точки в плоскойобласти, ограниченной кусочно-гладкой кривой, с абсолютно упругим отражением на границе – посвящено множество работ (отметим книгу [1] С.
Л. Табачникова, в которой дан обзорсовременных и классических исследований биллиардов). Одними из классических вопросов являются задачи о существовании периодических траекторий и об интегрируемости биллиардногодвижения в области в зависимости от ее границы. К примеру, в любом треугольнике существуетпериодическая биллиардная траектория из трех звеньев, а именно, треугольник наименьшегопериметра, вершины которого находятся в основании высот исходного треугольника (теоремаФаньяно).
В настоящий момент достаточно популярными интегрируемыми биллиардами являются плоские биллиарды, ограниченные дугами софокусных квадрик.Интегрируемость биллиарда в области, ограниченной эллипсом, была замечена в работе [2]Дж. Д. Биркгофа. Интегрируемость геодезического потока на эллипсоиде следует из теоремыЯкоби-Шаля. При стремлении меньшей полуоси эллипсоида к нулю движение по геодезическим на нём переходит в движение по ломаным, целиком лежащим в образе эллипсоида –плоской области, ограниченной эллипсом. Интегрируемость биллиарда сохраняется, если перейти к плоским областям, ограниченным дугами эллипсов и гипербол одного софокусного. В этом случае все углы в точкахсемейства, на границе которых нет точек излома с углами 3π2излома равны π2 , поскольку известно, что софокусные квадрики пересекаются всегда под прямыми углами. В книге [3] В. В.
Козлов, Д. В. Трещёв заметили, что эти динамические системыявляются вполне интегрируемыми по Лиувиллю (т.е. имеется дополнительный независимыйинтеграл Λ), а именно, что интегрируемость данных систем эквивалентна малой теореме Понселе. Для системы плоского биллиарда в эллипсе были построены координаты, в которых движение представляется в виде периодического движения по торам. Такие системы с точностьюдо лиувиллевой эквивалентности были подробно (но не полностью) изучены в работах [4, 5]В.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
