Топологическая классификация интегрируемых биллиардов, страница 4

Приэтом в работе рассматриваются области, в которых склейки вдоль выпуклых гиперболическихсегментов обязательно приводят к образованию конических точек.Определение. Обобщённая область ∆, склеенная из элементарных областей Ωi вдоль реберсклейки fij называется эквивалентной другой обобщённой области ∆0 , склеенной из Ω0i вдольребер склейки fij0 , если ∆0 можно получить из ∆ путем замены элементарных областей Ωi наим эквивалентные.Для удобства описания обобщенных областей мы придерживаемся следующих обозначений.Обозначим обобщённые области без конических точек через ∆α . В скобках будем указывать элементарные области, образующие область ∆, причём если эквивалентные области склеиваютсядруг с другом последовательно в некотором количестве экземпляров, то будем указывать этоколичество, например ∆α (kA0 ), а если нет, то будем указывать это отдельным суммированием,например ∆α (Ω + kA0 + Ω) – две эквивалентные области Ω склеены не друг с другом, а с областями A0 .

Введём специальное обозначение ∆α (kA0 )2 для области, склеенной из k экземпляровA0 склейкой вдоль всех эллиптических границ в область, гомеоморфную кольцу.Обобщённые области с коническими точками обозначим через ∆β . Введём типы коническихточек.

Как легко видеть, конические точки делятся на три типа. Конические точки типа x –это конические точки, образованные склейкой вдоль выпуклого эллиптического сегмента l игоризонтального сегмента m. Конические точки типа y образованы склейкой выпуклого иливертикального гиперболического сегмента m и выпуклого эллиптического сегмента l. Конические точки типа c, иначе говоря центральные конические точки, образованы склейкой вдольвыпуклого или вертикального гиперболического сегмента m и горизонтального сегмента l —отвечающего квадрике с параметром b.Введём обозначения склеек, показывающих какие именно конические точки образовались:∆β (Ω)2c обозначает, что произошла склейка двух экземпляров элементарной области Ω с образованием центральной конической точки типа c, ∆β (Ω)2y обозначает, что произошла склейкадвух экземпляров элементарной области Ω с образованием конической точки типа y, ∆β (Ω)2xобозначает, что произошла склейка двух экземпляров элементарной области Ω с образованиемконической точки типа x.

Удвоенные индексы показывают, что склейка произошла с образованием двух конических точек, например ∆β (Ω)22y –область, склеенная из двух экземпляровобласти Ω с образованием двух конических точек типа y.Теорема. Любая обобщенная область принадлежит к одному из четырех классов:• класс областей, склеенных из элементарных областей одинаковых типов без коническихточек: 5 “простейших удвоенных” областей вида ∆α (2Ω), где Ω эквивалентна A00 , A01 ,A1 ,A2 , A02 и 4 бесконечных серии ∆α (kA0 ), k > 1, ∆α (kA0 )2 , k > 0,∆α (2Bk ), ∆α (2Ck );• класс областей, склеенных из элементарных областей разных типов без конических точек: 4 области ∆α (Ω1 + Ω2 ), где Ω1 содержит фокусы семейства и эквивалентна A01 , A02 ,A1 , A2 , а область Ω2 не содержит фокусы семейства и эквивалентна B10 , B200 , B1 , C2соответственно и 5 бесконечных серий ∆α (kA0 + B0 ), ∆α (kA0 + A00 ), ∆α (A00 + kA0 + B0 ),∆α (B0 + kA0 + B0 ) и ∆α (A00 + kA0 + A00 ), k > 0 ;12• класс областей, склеенных из элементарных областей одинаковых типов с образованием конических точек: 13 областей ∆β (A01 )2y , ∆β (A01 )2x , ∆β (A01 )2c ,∆β (A01 )2cxy , ∆β ((A01 )2c +(A01 )2c ), ∆β (A00 )2c , ∆β (A00 )2y , ∆β (A00 )2cy , ∆β ((A00 )2c + (A00 )2c ), ∆β ((A00 )2c + 2A00 ),∆β (A02 )22x , ∆β (A1 )22yи ∆β (A0 )22y и 9 бесконечных серий ∆β ((A0 )2y + 2kA0 ), ∆β ((A0 )2y + 2kA0 + (A0 )2y ),∆β (Bk )2y ,∆β (Bk )22y , ∆β (Bk0 )2yx , ∆β (Bk0 )2y ,∆β (Bk0 )2x ∆β (Bk00 )2x и ∆β (Bk00 )22x ;• класс областей, склеенных из элементарных областей разных типов с образованиемконических точек: область ∆β ((A01 )2c + C1 ) и 7 бесконечных серий ∆β ((A00 )2c + 2kA0 ),∆β ((A00 )2c + 2kA0 + 2B0 ), ∆β ((A0 )2y + 2kA0 + 2B0 ), ∆β ((A00 )2c + 2kA0 + 2A00 ) , ∆β ((A0 )2y +2kA0 + 2A00 ), ∆β ((A00 )2c + 2kA0 + (A00 )2c ) и ∆β ((A0 )2y + 2kA0 + (A00 )2c ).В третьей главе исследована топология изоэнергетического многообразия Q3 , которое получается при ограничении системы с фазового пространства M 4 биллиарда на уровень постоянного модуля скорости – первого интеграла системы.

Показано, как именно введение коническихточек усложняет топологию. Фактически доказано следующееПредложение. Пусть ∆ – компактная биллиардная область, принадлежащая к одному изтрех классов биллиардных областей (эллиптико-гиперболическому, параболическому, обобщенному). Тогда изоэнергетическая поверхность Q3 = {x ∈ M 4 : |v(x)| = const > 0} гомеоморфна• S 3 , если область ∆ односвязна и не содержит конических точек;• S 1 × S 2 , если область ∆ неодносвязна;• RP 3 , если область ∆ ограничена кусочно-гладкой кривой и содержит одну коническуюточку;• RP 3 #RP 3 , если область ∆ ограничена кусочно-гладкой кривой и содержит две конических точки.В четвёртой, пятой и шестой главах дана полная лиувиллева классификация плоскихэллиптико-гиперболических, параболических и обобщенных биллиардов соответственно. Оказалось, что эллиптико-гиперболические биллиарды описываются с помощью трех неэквивалентных друг другу слоений Лиувилля, соответствующих инвариантам с конечными метками и двухбесконечных серий слоений, одна или две метки которых бесконечны.

Компактные параболические биллиарды оказываются лиувиллево эквивалентными соответствующим компактнымэллиптико-гиперболическим биллиардам, тогда как некомпактные описываются тремя типамиатомов: компактными, некомпактными атомами с компактной базой и некомпактным слоем(биллиард в области, ограниченной одной параболой) и некомпактными атомами с некомпактной базой и компактным слоем (биллиард в области, заключенной между двух непересекающихся софокусных парабол). В слоениях Лиувилля изоэнергетических поверхностей обобщенных биллиардов в некоторых областях возникают перестройки, не наблюдавшиеся ранее – аименно, серии атомов с неориентируемыми сепаратрисными диаграммами (с одной и двумязвездочками).Теорема. Инвариант Фоменко-Цишанга – меченая молекула W ∗ , описывающая топологиюслоения Ливуилля изоэнергетической поверхности Q3 для биллиардного движения в элеменr=0,ε=1тарной области Ω, имеет вид A −−−−−→ A, если область Ω не содержит (внутри областиили на границе) отрезков фокальной прямой, т.е.

если область Ω эквивалентна A00 , A01 , A02 ,B0 , B10 или B200 . Если область Ω содержит отрезки фокальной прямой, то молекула имеетуказанный в таблице вид (см. рис. 1).13Рис. 1: Инварианты Фоменко-Цишанга – меченые молекулы, описывающие топологию слоенияЛиувилля изоэнергетической поверхности Q3 биллиардного движения в элементарных областях, внутренность которых имеет непустое пересечение с фокальной прямой.Теорема. Инвариант Фоменко-Цишанга – меченая молекула W ∗ , описывающая топологиюслоения Лиувилля изоэнергетической поверхности Q3 для биллиардного движения в параболической биллиардной компактной области Ω может быть описана следующим образом.r=0,ε=1r=0,ε=1• Если область Ω эквивалентна области Ω1 , молекула имеет вид A −−−−−→ A∗ −−−−−→ A,метка n в единственной семье равна 0.Ar=∞,ε=1• Если область Ω эквивалентна области Ω2 , молекула имеет вид A −−−−−→ B ⇒ , гдеAметки r = 0, ε = 1 на правых ребрах.• Если область Ω эквивалентна области ω1 ,ω2 или Ω3 , т.е.

не содержит внутри себяотрезков прямой, проходящей через фокус перпендикулярно директрисам, то молекулаr=0,ε=1имеет вид A −−−−−→ A.Для биллиардного движения в некомпактной области, ограниченной параболами, топологияслоения Лиувилля изоэнергетической поверхности Q3 описывается следующей молекулой:••A⇒ B → C∞ для области Θ1 ; многообразие Q3 расслоено на цилиндры, два минимаксныхAособых слоя, гомеоморфных прямой R, а седловая бифуркация описывается атомом B,AC∞⇒ B 00 ⇒для области Θ2 ; многообразие Q3 расслоено на цилиндры, два минимаксAC∞ных особых слоя, гомеоморфных прямой R, а седловая бифуркация описывается атомомB 00 с некомпактной базой,Aдля области Θ3 ; многообразие Q3 расслоено на цилиндры и торы, одинC∞минимаксный особый слой, гомеоморфный прямой R, один особый минимаксный слой,• A → B0 ⇒14гомеоморфный окружности S 1 , а седловая бифуркация описывается атомом B 0 с некомпактной базой,• A → C∞ для областей Θ4 , θ1 и θ2 , т.е.

для областей не содержащих внутри себя отрезков прямой, проходящей через фокус перпендикулярно директрисам; многообразие Q3расслоено на цилиндры и особый слой, гомеоморфный прямой R.Замечание. Поясним обозначения некомпактных атомов, использующиеся в теореме . АтомыA и B гомеоморфны прямым произведениям соответствующих двумерных атомов A и B на прямую R. Атомы B 0 и B 00 гомеоморфны прямым произведением двумерных некомпактных атомовB 0 и B 00 на окружность S 1 . Бифуркация C∞ не является атомом в стандартном смысле. Онаописывает пустой предел цилиндров – некомпактных слоев Лиувилля, т.е. гомеоморфна прямому произведению цилиндра на полуинтервал [0, 1). Подробнее описание этих некомпактныхатомов изложено в первой главе диссертации (пункт 1.2.3).Теорема. Пусть обобщенная область ∆ состоит из элементарных областей Ω, причем хотя бы одна элементарная область Ω содержит (внутри области или же на границе) фокуссемейства границы.

Тогда инварианты Фоменко-Цишанга – меченые молекулы W ∗ , описывающие топологию слоения Лиувилля изоэнергетической поверхности Q3 в таких обобщенныхобластях ∆, разбиваются на девять неэквивалентных между собой типов. Если область ∆не содержит внутри области или же в качестве ребёр склейки отрезков фокальной прямой,r=0,ε=1то тогда инвариант Фоменко-Цишанга имеет вид A −−−−−→ A, если область ∆ не содержитr= 1 ,ε=1конических точек, и вид A −−−2−−→ A, если область ∆ содержит конические точки.