Топологическая классификация интегрируемых биллиардов, страница 6

Пусть на M 2n задана вполне интегрируемая по Лиувиллю гамильтонова система v = sgradH и Tξ – регулярная поверхность уровня интегралов f1 , ..., fn . Тогда1. Tξ – гладкое лагранжево подмногообразие, инвариантное относительно потоков v =sgradH и sgradf1 , ..., sgradfn .2. Если подмногообразие Tξ связно и компактно, то Tξ диффеоморфно n−мерному тору T n .Этот тор называется тором Лиувилля.3. Слоение Лиувилля в некоторой окрестности U тора Лиувилля Tξ тривиально, т.е. диффеоморфно прямому произведению тора T n на диск Dn .4. В окрестности U = T n × Dn существует система координат s1 , ..., sn , ϕ1 , ..., ϕn , называемых переменными действие-угол, со следующими свойствами:• s1 , ..., sn – координаты на диске Dn , ϕ1 , ..., ϕn – стандартные угловые координатына торе T n , ϕ ∈ R/2πZ• ω = Σdϕi ∧ dsi .• Переменные действия si являются функциями от интегралов f1 , ..., fn .• В переменных действие-угол гамильтонов поток v выпрямляется на каждом тореЛиувилля из окрестности U , т.е.

гамильтоновы уравнения принимают видs˙i = 0, ϕ̇i = qi (s1 , ..., sn ), i = 1, 2, ..., n.Это означает, что на каждом торе поток v задаёт условно-периодическое движение, а траектории являются прямолинейными обмотками тора (рациональнымиили иррациональными).1.1.3Отношение эквивалентности на множестве интегрируемых гамильтоновых систем.Задачи механики твердого тела описываются на шестимерном фазовом многообразии, которое,в ряде случае является Пуассоновым. Подобрав в каждом отдельном случае набор функцийинтегралов, можно однако, ограничить систему на подмногообразие M 4 , на котором в своюочередь уже можно ввести симплектическую структуру.

Таким образом, важным случаем является рассмотрение слоения Лиувилля уже четырехмерного многообразия M 4 . Всюду далеебудем считать, что симплектическое многообразие четырехмерно. Таким образом, торы Лиувилля являются двумерными торами.Определение 1.1.7. Пусть (M14 , ω1 , f1 , g1 ) и (M24 , ω2 , f2 , g2 ) — две интегрируемые по Лиувиллюсистемы на симплектических многообразиях M14 и M24 , обладающих, соответственно, интегралами f1 , g1 и f2 , g2 . Рассмотрим изоэнергетические поверхности Q31 = {x ∈ M14 : f1 (x) = c1 } иQ32 = {x ∈ M24 : f2 (x) = c2 }. Интегрируемые гамильтоновы системы называются лиувиллевоэквивалентными, если существует послойный диффеоморфизм Q31 → Q32 , который, кроме того,сохраняет ориентацию 3-многообразий Q31 и Q32 и ориентацию всех критических окружностей.211.21.2.1Инварианты Фоменко-Цишанга интегрируемых систем.Грубые инварианты.Напомним, что в силу теоремы Лиувилля многообразие Q3 расслоено на торы и особые слои(фактически оно представляет собой склейку регулярных окрестностей особых слоев друг с другом по граничным торам).

Рассмотрим базу возникающего слоения Лиувилля на Q3 . Эта базаявляется одномерным графом W, называемым графом Кронрода-Риба функции f2 |Q3 . Структура слоения в малой окрестности особого слоя, отвечающего любой вершине этого графа,описывается комбинаторным объектом, называемым атомом. Граф, для каждой вершины которого указан соответствующий атом, называется инвариантом (грубой молекулой) Фоменко.В вершинах W расположены “атомы”, описывающие соответствующие бифуркации торов Лиувилля. На каждом ребре графа W можно указать стрелкой ориентацию этого ребра.

Обычноэто делают глобально, исходя из направления роста дополнительного интеграла, однако этоможно сделать и произвольно.1.2.2Атомы-бифуркации.Приведём эффективный метод описания перестроек торов Лиувилля, основанный на понятияхдвумерных и трёхмерных атомов [11].Определение 1.2.1. Двумерным атомом называется пара (P 2 , K), где P 2 – связная компактная поверхность с краем, ориентируемая или неориентируемая, а K – связный граф в ней такой,что выполняются следующие условия.1. Либо K состоит только из одной точки, т.е.

изолированной вершины степени ноль, либовсе вершины графа K имеют степень 4.2. Каждая связная компонента множества P 2 \K гомеоморфна кольцу S 1 ×(0, 1] и множествоэтих колец можно разбить на два класса – положительные кольца и отрицательные кольцатак, так чтобы:3. К каждому ребру графа K примыкало ровно одно положительное кольцо и ровно одноотрицательное кольцо.При этом атомы обычно рассматривают с точностью до естественной эквивалентности: дваатома (P 2 , K) и (P 02 , K 0 ) эквивалентны, если существует гомеоморфизм, переводящий P 02 вP 2 ,и K 0 в K.Приведём примеры часто встречающихся двумерных атомов.Двумерный атом A гомеоморфен диску – он расслоен на концентрические окружности, стягивающиеся на особый слой – центральную точку. Двумерный атом B представляет собой перестройку одной окружности в две, особым слоем этого атома является “восьмерка”.

Двумерныйатом C2 представляет собой перестройку двух окружностей в две. Примеры этих простых атомов представлены на рисунке 1.1. Для описания топологии систем в настоящей работе нампотребуются две бесконечных серии атомов. Так как в различных источниках их обозначенияразнятся, то примем за атомы серий Bn и Dn атомов, изображённые на рисунке 1.2.Поясним, что атом B является частным случаем серии Bn (при n = 1), а атом C2 частнымслучаем серии максимально симметричных атомов Dn (при n = 2). Число n в атомах серий Bn22ABC2Рис. 1.1: Двумерные атомы A, B и C2 .Рис. 1.2: Примеры двумерных атомов серий B и D, а именно, атомы B5 и D7 .и Dn это число вершин соответствующих графов K. Примем обозначение, при котором B0 и D0гомеоморфны прямому произведению окружности на отрезок (пустой граф), а D1 гомеоморфенатому B.Добавим у уже описанным двумерным атомам новые атомы, которые мы будем называтьатомами со звездочками.

Возьмём произвольный атом (P 2 , K) и рассмотрим его граф K. Приэтом наряду с прежними атомами рассмотрим ещё один простой атом, получающийся следующим образом. В качестве поверхности P мы возьмём кольцо и объявим графом K любую егоосевую окружность. Изготовим теперь атомы со звездочками. Отметим на некоторых ребрахграфа K произвольной число внутренних точек. Объявим их новыми вершинами графа K иобозначим их звездочками. См. примеры на рисунке ниже.Теперь построим отображение, которое сопоставит каждому двумерному атому (со звездочками или без) некий трёхмерный атом. Возьмём двумерный атом (P 2 , K) и построим функциюМорса f на P 2 такую, что её единственный критический уровень совпадает с K.Такая функцияопределена однозначно с точностью до послойной эквивалентности.

Она естественным образомрасслаивает P 2 своими линиями уровня. Из теоремы 3.1 [11] вытекает, что по базе P 2 с отмеченными на ней звездочками (если они есть) однозначно (с точностью до послойной эквивалентности) восстанавливается 3-многообразие U (L) со структурой расслоения Зейферта. Такнеособые линии уровня функции f на базе P 2 представляют собой окружности, то тогда их23образом в 3-многообразии U (L) будут торы. В случае, когда двумерный атом (P 2 , K) не содержит звездочек, особый слой – образ графа K будет представлять собой прямое произведениеграфа K на окружность.Пусть двумерный атом (P 2 , K) содержит точки-звездочки.

Для такого атома можно построить его дубль (Pˆ2 , K̂) – разветвленное двулистное накрытие над (P 2 , K) так, чтобы точкамиветвления были как раз точки-звездочки. Это можно сделать, например, сделав разрезы трансверсально графу K в точках-звездочках и склеив два экземпляра разрезанных атомов вдольграницы разреза. Заметим, что функцию f на P 2 можно продолжить до функции Морса fˆ наповерхности P .

При этом на дубле (Pˆ2 , K̂) определена естественная инволюция τ : Pˆ2 → Pˆ2 ,меняющая местами две части дубля – исходные поверхности P 2 . Эта инволюция, очевидно,обладает следующими свойствами:1. τ 2 = id,2. τ сохраняет функцию f , т.е. fˆ(τ (x)) = fˆ(x) для любого x ∈ P̂ ,3. τ сохраняет ориентацию.Для построения 3-атома рассмотрим цилиндр P̂ × [0, 2π] и склеим его основания по инволюции τ , отождествляя точки (x, 2π) и (τ (x), 0).

В результате мы получим ориентируемое3-многообразие U с краем, которое и будем называть 3-атомом со звездочками.В качестве дубля двумерного атома A∗ можно взять двумерный атом B, поэтому трехмерный атом A∗ (см. рис. 1.3) получается из двумерного атома B нетривиальным умножением наокружность: необходимо “прокрутить” атом B на π. В результате, атому A∗ будет соответствовать перестройка одного тора в один (в отличие от трехмерного атома B, который перестраиваетдва тора в один).

Атом A∗∗ можно получить аналогичным построением, используя в качестведубля двумерным атом C2 . При этом атом A∗∗ также будет описывать перестройку одного торав один, но число критических окружностей при этом будет равно двум.Рис. 1.3: Трехмерные атомы A, B, A∗Покажем конструкцию получения бесконечных серий Bn∗ и Bn∗∗ , n > 0 атомов со звездочками, необходимых в настоящей работе. Двумерные атомы этих серий получаются в результатедобавления точек-звездочек на граничные окружности соответствующих графов K (см.

рис.1.4). В качестве дублей атомов серий Bn∗ и Bn∗∗ будут выступать атомы B2n+1 и D2n+2 соответственно.24Рис. 1.4: Плоские атомы со звездочками серий Bn∗ и Bn∗∗ .1.2.3Некомпактные атомы-бифуркации.Для описания топологии некомпактных изоэнергетических поверхностей Q3 , описывающих перестройки торов, цилиндров и плоскостей необходимо ввести некомпактные атомы-бифуркации.Теория некомпактных атомов ещё не построена, поэтому ограничимся приведением некоторыхпримеров, которые позволят описать топологию слоения Лиувилля некоторых интегрируемыхбиллиардов.Пусть дана трехмерная изоэнергетическая поверхность Q3 , расслоенная линиями уровняинтеграла f.

Если слои интеграла f в Q3 некомпактны, то их перестройки описываются некомпактными атомами. С другой стороны, область значений функции f : Q3 → R может бытьнекомпактным подмножеством A прямой R (например, полуинтервалом). Это влечет за собойнекомпактность всей Q3 . Тогда прообразы всех предельных точек множества A, не принадлежащих самому множеству A, описываются так называемыми “пустыми атомами”, гомеоморфнымипрямым произведениям торов (T∞ ), цилиндров (C∞ ) и плоскостей (P∞ ) на полуинтервал [0, 1).Замечание 1. Такое обозначение преследует две цели. С одной стороны, оно позволяет описывать Q3 графом, т.е. не оставлять ребер, только один конец которого инцидентен некоторойвершине графа. С другой стороны, такое обозначение позволяет показать топологию слоёв Q3на таких ребрах: если в компактном случае слои всегда торы, то в некомпактном случае онимогут быть как торами, так цилиндрами, так и плоскостями.

Обозначения позволяют не надписывать на ребрах тип слоя.Опишем атомы, являющиеся некомпактными перестройками слоёв интеграла f друг в друга.Рассмотрим некоторой компактный 3-атом, который гомеоморфен произведению двумерного атома P и окружности S 1 (может быть непрямого, в случае если атом имеет звёздочки).Некомпактный 3-атом можно получить из такого компактного 3-атома путём следующих преобразований:• заменой окружности S 1 на прямую R,• заменой компактной базы P слоения Зейферта на некомпактную путём выкидываниянекоторых точек.В задачах описания некомпактных бифуркаций будем придерживаться следующих обозначений.

Для каждого некомпактного атома, полученного в результате прямого произведения компактной базы P на прямую R используем обозначение P .Опишем некоторые двумерные некомпактные атомы, которые нам понадобятся в дальнейшем. Рассмотрим двумерный атом B и его особый слой. Он представляет собой восьмёрку. Наодном “ушке” этой восьмёрки отметим точку.