Топологическая классификация интегрируемых биллиардов, страница 3

Геодезический поток на эллипсоидеинтегрируем вследствие теоремы Якоби-Шаля.Теорема. (Якоби, Шаль) Касательные прямые к геодезической линии на квадрике в nмерном евклидовом пространстве, проведенные во всех точках геодезической, касаются кромеэтой квадрики еще n − 2 конфокальных с ней квадрик, одних и тех же для всех точек даннойгеодезической.В двумерном случае при стремлении к нулю наименьшей оси эллипсоида траектории – геодезические на эллипсоиде переходят в ломаные, концы звеньев которых лежат на эллипсе. Этиломаные в эллипсе являются биллиардными траекториями – на границе верен закон биллиардного движения. При этом, если фиксировать ломаную, то прямые, содержащие ей звенья,8являются касательными к некоторой квадрике (эллипсу или гиперболе), софокусной с граничным эллипсом. Эти эллипсы и гиперболы получаются в результате предельного перехода из однополостных и двуполостных гиперболоидов, которых касались касательные к геодезическимна эллипсоиде. Если в качестве области выбрать область, ограниченную дугами софокусныхэллипсов и гипербол (углы не больше π), то для траекторий биллиарда в ней – ломаных –будет сохраняться то же свойство что и для биллиарда в эллипсе, то есть система биллиардаостанется интегрируемой.Аналогично можно рассмотреть биллиард в области, ограниченной софокусными параболами.

Параболу можно рассмотреть как эллипс, один из фокусов которого находится на бесконечности. При этом в работе явно проведена проверка интегрируемости – доказано, что дляфиксированной биллиардной траектории-ломаной все прямые, содержащие ей звенья, являютсякасательными к одной и той же параболе.В работе показано построение так называемого обобщенного биллиарда, который такжебудет интегрируемым. Для этого рассмотрим (локально-плоскую) область, которая получаетсяс помощью изометричных склеек вдоль некоторых границ из плоских областей, ограниченныхдугами софокусных эллипсов и гипербол. Движение в ней определяется следующим образом –если материальная точка совершает движение по плоской области и ударяется о её границу, накоторой была определена склейка, то она переходит на другую плоскую область, продолжаядвижение так, как и при отражении от общей границы, вдоль которой были склеены эти двеплоские области.Во второй главе приведена классификация локально-плоских биллиардных областей длякомпактных плоских эллиптико-гиперболических, плоских параболических и компактных локальноплоских обобщенных биллиардов с точностью до некоторого отношения эквивалентности, которое, как показано в дальнейших главах, позволяет сохранить топологию слоения Лиувиллябиллиардного движения при переходе от одной биллиардной области к ей эквивалентной.Дадим определения эллиптико-гиперболических (элементарных), параболических и компактных обобщенных (локально-плоских) биллиардных областей, более подробные определениякоторых содержатся во второй главе диссертации.Фиксируем семейство софокусных эллипсов и гипербол на плоскости Oxyx2 (b − λ) + y 2 (a − λ) = (a − λ)(b − λ).Здесь числа a > b > 0 – фиксированные параметры этого семейства, а λ – параметр квадрики.Определение.

Простейшей элементарной (плоской) областью назовём плоское, компактное,изометрично вложимое в плоскость многообразие с краем, граница которого при этом вложении ограничена дугами софокусных эллипсов и гипербол и не содержит углов, превышающих π.Составной элементарной (локально-плоской) областью назовем компактное локально-плоскоемногообразие, которое получается в результате нескольких склеек из конечного числа простейших элементарных областей вдоль некоторых граничных дуг гипербол таким образом что,во-первых, склеиваемые области при их вложениях в плоскость локально находятся по разныестороны от дуги склейки (в случае если дуга является прямолинейным отрезком мы опускаемэто требование), а во вторых, при этом на границе области не образуются углы, превышающиеπ.

При этом мы не требуем, чтобы существовало изометричное вложение в плоскость составнойэлементарной области целиком. Простейшие и составные элементарные области для краткостимы будет называть просто элементарными.9Определение. Элементарная область Ω, ограниченная дугами квадрик из софокусного семейства, называется эквивалентной другой элементарной области Ω0 , ограниченной дугамиквадрик из того же семейства, если Ω0 можно получить из Ω композицией следующих преобразований:• последовательным изменением сегментов границы в образах некоторых простейших элементарных областей, составляющих элементарную область, при их изометричных вложениях в плоскость путем непрерывной деформации в классе софокусных квадрик границы,так, чтобы значение параметра λ изменяемого сегмента границы не принимало значениязначения b; при этом если изменяемый сегмент lλ лежит в пересечении двух простейшихэлементарных областей (при их изометричных вложениях в плоскость), входящим в данную составную элементарную область, то при данной деформации одновременно меняютсяи остаются равными друг другу значения параметра λ этого сегмента границы;• симметрией относительно оси семейства софокусных квадрик во всех простейших элементарных областях одновременно;• объединением нескольких простейших элементарных областей в одну или же путем разбиения одной элементарной области на более мелкие.Теорема.

Любая элементарная область эквивалентна области, принадлежащей к одной изследующих трёх серий:• конечная серия, состоящая из шести областей, вложимых в плоскость: область A2 ,ограниченная эллипсом, область A1 ограниченная дугой эллипса и дугой гиперболы, область A0 , ограниченная дугами двух эллипсов и двумя дугами гипербол, а также триих верхние половины – области A02 , A01 и A00 ограниченные тем же набором квадрик чтои соответствующая нештрихованная область (а именно, область A2 , A1 и A0 соответственно) и фокальной прямой (нижний индекс обозначает количество фокусов семейства границы, входящих в данную область);• бесконечная серия областей-колец Cn : область C2 , ограниченная двумя эллипсами, область C1 , получающаяся её факторизацией по действию группы Z2 , а также n−листныенакрытия над ними (таким образом число n – это суммарное количество отрезков фокальной прямой, входящих в область);• серия областей-лент, состоящая из трёх бесконечных подсерий Bn , Bn0 и Bn00 , являющихся односвязными частями областей Cn , такими что ноль (Bn ), один (Bn0 ) или два(Bn00 ) сегмента границы лежат на фокальной прямой (здесь число n – это суммарноеколичество отрезков фокальной прямой, входящих в область).Определение запрещает сегменту изменяемой границы становиться отрезком фокальнойпрямой.В дальнейших рассуждениях мы предполагаем, что у семейства софокусных парабол фокуснаходится в начале координат, а директрисы параллельны оси Oy.

Более точно, мы фиксируемсемейство парабол на плоскости Oxy следующим соотношением:y 2 + 4px − 4p2 = 0.10Определение. Параболической биллиардной областью назовём плоское, изометрично вложимое в плоскость, многообразие с краем, граница которого при этом вложении ограничена дугамисофокусных парабол и не содержит углов, превышающих π.

Особой параболической биллиардной областью назовем такую параболическую биллиардную область, часть границы которойпри изометричном вложении в плоскость лежит на прямой, проходящей через начало координатперпендикулярно директрисам.При этом отношение эквивалентности на множестве параболических биллиардных областейвводится аналогично отношению эквивалентности для элементарных областей, ограниченныхдугами софокусных эллипсов и гипербол, где вместо запрещения параметру изменяемой квадрики принимать значение b мы запрещаем параметру принимать нулевое значение.

Нулевомузначению параметра p соответствует так называемая вырожденная парабола – прямая, проходящая через фокус семейства перпендикулярно директрисам (ось Ox).Теорема. Любая параболическая биллиардная область принадлежит одной из четырех серий:• Три класса эквивалентности параболических компактных неособых областей Ω, ограниченных софокусными параболами: область Ω1 , ограниченная двумя параболами, параметры которых имеют разные знаки, область Ω2 , ограниченная тремя параболами, иобласть Ω3 , ограниченная четырьмя параболами с различными значениями параметров,а именно двумя положительными и двумя отрицательными, не имеющая общих точекс горизонтальной осью Ox.• Два класса эквивалентности параболических компактных особых областей: область ω1 ,ограниченная двумя невырожденными и одной вырожденной параболой и область ω2 ,ограниченная тремя невырожденными и одной вырожденной параболой.• Четыре класса эквивалентности параболических некомпактных неособых областей Θ,ограниченных софокусными параболами: области Θ1 и Θ2 , ограниченные одной и двумяпараболами соответственно, и области Θ3 и Θ4 , ограниченные тремя параболами с различными значениями параметров, а именно двумя положительными и одной отрицательной, причем сегмент отрицательной параболы для области Θ3 является выпуклым,а для Θ4 невыпуклым.• Два класса эквивалентности параболических некомпактных особых областей: областиθ1 и θ2 , ограниченные одной вырожденной параболой и одной и двумя невырожденнымипараболами соответственно.Введем понятия склеек элементарных областей друг с другом, а именно, изометричныхсклеек вдоль выпуклых сегментов границ, так что склеиваемые области находятся по однусторону от данного выпуклого сегмента при любом вложении этих элементарных областей вплоскость (более подробно см.

в третьем параграфе второй главы текста диссертации). Полученное в результате такой операции многообразие (с краем или без) будем называть обобщенной(локально-плоской) областью. Биллиардное движение при этом определяется так – совершаядвижение по одной элементарной области и попадая на сегмент склейки, материальная точкапродолжает движение уже по другой элементарной области так, как будто бы она отразилась отсегмента склейки. Введем понятие конической точки, возникающей при склейке двух элементарных областей вдоль двух сегментов, имеющих общую точку – вершину угла в склеиваемых11элементарных областях. При этом если материальная точка при движении попадает в коническую точку, то она продолжает движение по тому же экземпляру элементарной области что идо удара – это условие возникает из требования непрерывности биллиардного движения.