Топологическая классификация интегрируемых биллиардов, страница 9

Для парабол lp иlq координаты векторов нормали Nlp и Nlq в точке их пересечения примут следующий вид:√√Nlp = (4p, 4 −pq) Nlq = (4q, 4 −pq).Легко видеть, что такие вектора ортогональны. Лемма доказана.Лемма 1.5. Пусть точка (x, y) принадлежит параболической биллиардной области Ω, аименно, области на плоскости, ограниченной дугами софокусных парабол семейства (1.2),.

Рассмотрим траекторию биллиарда в облатакой, что ее граница ∂Ω не содержит углов 3π2сти Ω, проходящую через точку (x0 , y0 ) в направлении вектора (скорости) (v1 , v2 ). Тогда длялюбой точки (x, y, w1 , w2 ) данной биллиардной траектории выполняется следующее свойство:прямые, проходящие через точки (x, y) в направлении векторов скорости (w1 , w2 ), касаются1 y)(одной и той же) параболы с параметром p = v2 (vv22x−v.+v 212Рис. 1.7: Биллиардное движение в области Ω, ограниченной двумя параболами (выделены жирным). Пунктиром выделена парабола, которой касается траектория или её продолжение.

Жирным выделены точки касания.Доказательство. Вычислим параметр p параболы семейства (1.2), которой касается прямая,проходящая через точку (x0 , y0 ) с направляющим вектором v = (v1 , v2 ).Уравнение прямой l, проходящей через точку (x0 , y0 ) в направлении вектора скорости vимеет вид x = x0 + tv1 , y = y0 + tv2 . Пусть эта прямая касается параболы y 2 + 4px − 4p2 = 0 внекоторой точке. Подставим выражения для точки прямой в уравнение параболы:33(y0 + tv2 )2 + 4p(x0 + tv1 ) − 4p2 = 0.Получим следующее квадратное уравнение на tv22 t2 + 2t(y0 v2 + 2pv1 ) + y02 + 4px0 − 4p2 = 0.Пусть v2 = 0.

Тогда воспользуемся фокальным свойством параболы – материальная точка,совершая движение по прямой, перпендикулярной директрисе (в данном случае параллельнооси Ox), при ударе о параболу перейдёт в фокус этой параболы. Это означает, что p = 0.Пусть теперь v2 6= 0.Условие касания прямой l параболы семейства (1.2) в этом случае равносильно равенствунулю дискриминанта D описанного выше квадратного уравнения на t :D= (y0 v2 + 2pv1 )2 − v22 (y02 + 4px0 − 4p2 ) = 0.4Получаемy02 v22 + 4y0 v2 pv1 + 4p2 v12 − v22 y02 − 4px0 v22 + 4p2 v22 = 0.Последнее равносильно следующему:p2 (v12 + v22 ) + pv2 (y0 v1 − x0 v2 ) = 0. Откуда получаемp(x0 , y0 , v1 , v2 ) :=v2 (x0 v2 − y0 v1 )v12 + v22 .Знаменатель выражения – это квадрат евклидовой длины вектора v, который по определению биллиарда положителен. Равенство нулю числителя равносильно фокальному свойству –точка либо движется параллельно оси Ox, либо проходит через фокус семейства (1.2) – началокоординат (0, 0).Покажем, что в том случае, если точка (x̂, ŷ) лежит на границе области Ω, а именно, принадлежит некоторой параболе с параметром P, а вектора v = (v1 , v2 ) и w = (w1 , w2 ) удовлетворяютзакону отражения, т.е.

симметричны относительно касательной прямой в точке (x̂, ŷ) к параболе с параметром P выполняется равенство p(x̂, ŷ, v1 , v2 ) = p(x̂, ŷ, w1 , w2 ) Так как в знаменателедля выражения параметра p стоит квадрат евклидовой длины вектора скорости, который сохраняется при абсолютно упругом отражении, то необходимо и досаточно проверить равенствочислителей данных выражений.Для начала рассмотрим случай, когда P = 0. Тогда ˆ(y) = 0 и при этом w1 = v1 , w2 = −v2 .Получаем, что числитель выражения p(x̂, ŷ, w1 , w2 ) равен w2 (x̂w2 − ŷw1 ) = −v2 (−x̂v2 ) = v22 x̂ =p(x̂, ŷ, v1 , v2 ).Пусть теперь P 6= 0. Заметим, что координата x̂ может быть выражена через уравнение22параболы с параметром P следующим образом x̂ := 4P4P−ŷ .

Тогда выражение для параметра pможно переписать в виде:p(x̂, ŷ, v1 , v2 ) =v2 (x̂v2 − ŷv1 )v2 (4P 2 v2 − 4P v1 ŷ − v2 ŷ 2 )=v12 + v224P (v12 + v22 )Касательный вектор к параболе y 2 + 4P x − 4P 2 = 0 в точке (x̂, ŷ) коллинеарен векторуtan = (−y0 , 2P ), а вектор нормали коллинеарен вектору n = (2P, y0 ). Для того чтобы вектора скоростей v и w в точке (x̂, ŷ) удовлетворяли закону отражения на границе, они должны34удовлетворять следующим соотношениям:(v + w, n) = 0,(v − w, tan) = 0,где через (., .) обозначено стандартное скалярное произведение. Из этих соотношений можновыразить координаты вектора w = (w1 , w2 ) через координаты вектора v и точки x :−4P 2 v1 − 4P v2 ŷ + v1 ŷ 24P 2 v2 − 4P v1 ŷ − v2 ŷ 2w1 =, w2 =.4P 2 + ŷ 24P 2 + ŷ 2Подставим эти выражения в числитель выражения для параметра p, в который подставлена координата x̂ (знаменатель принимает одинаковые выражения при подстановке координатвекторов v и w).

Получаем:w2 (4P 2 w2 − 4P w1 ŷ − w2 ŷ 2 ) =×(−1(4P 2 v2 − 4P v1 ŷ − v2 ŷ 2 )×+ ŷ 24P ŷ(−4P 2 v1 − 4P v2 ŷ + v1 ŷ 2 ) 4P 2 (4P 2 v2 − 4P v1 ŷ − v2 ŷ 2 )+−4P 2 + ŷ 24P 2 + ŷ 2−=4P 2ŷ 2 (4P 2 v2 − 4P v1 ŷ − v2 ŷ 2 ))=4P 2 + ŷ 24224122 16P v2 + 8P v2 ŷ + v2 ŷ(4Pv−4Pvŷ−vŷ)=2124P 2 + ŷ 24P 2 + ŷ 21(4P 2 v2 − 4P v1 ŷ − v2 ŷ 2 )v2 (4P 2 + ŷ 2 ) = v2 (4P 2 v2 − 4P v1 ŷ − v2 ŷ 2 ).+ ŷ 2Что и требовалось доказать.=1.3.54P 2Обобщённый биллиард: кусочно-плоская биллиардная областьполучена склейками плоских биллиардных областей, а движение доопределено по непрерывности.Пусть дан набор компактных (локально-плоских) биллиардных областей Ωi , ограниченных дугами софокусных эллипсов и гипербол одного софокусного семейства.Введём понятие обобщенной биллиардной области.

Пусть область ∆ состоит из несколькихэлементарных областей Ωi , склеенных по ряду правил, которые будут уточнены и формализованы ниже. В частности, любые элементарные области Ωi и Ωj склеиваются только по “общим”сегментам границы (т.е. по таким их граничным сегментам, образы которых при изометричныхпогружениях областей Ωi и Ωj или их двулистных накрытий в плоскость совпадают), причеммы запрещаем все склейки, приводящие либо к углам больше чем π на границе полученнойобобщенной области, либо к углам больше чем 2π во внутренних точках этой области.Опишем фазовое пространство M 4 обобщенного биллиарда.

Обозначим Pi объединение открытых граничных сегментов области Ωi , не являющихся рёбрами склейки. ОпределимMΩ4 i := {(x, v)| x ∈ Ωi , v ∈ Tx Ωi , |v| > 0}/ ∼где отношение эквивалентности задаётся так(x1 , v1 ) ∼ (x2 , v2 ) ⇔ x1 = x2 ∈ Pi ,|v1 | = |v2 | и v1 − v2 ⊥ Tx1 Pi .35Здесь через Tx P обозначена касательная плоскость к области Ω в точке x, а через |v| –евклидова длина вектора v.Далее склеим многообразие M 4 из MΩ4 i . Обозначим через Qij одно из ребер склейки (ихможет быть несколько) области, вдоль которого склеиваются элементарные области Ωi и Ωj .Тогда в случае, если Ωi и Ωj изометрично вложены в плоскость так, что образы склеиваемыхсегментов при этих вложениях совпадают и склеиваются по тождественному отображению, асами области лежат по одну и ту же сторону от этих сегментов, многообразия MΩ4 i и MΩ4 jсклеиваются по следующему правилу:(x1 , v1 ) ∈ MΩ4 i ∼ (x2 , v2 ) ∈ MΩ4 j ⇔ x1 = x2 ∈ Qij ,|v1 | = |v2 | и v1 − v2 ⊥ Tx1 Qij .Аналогично определяется правило склеивания MΩ4 i и MΩ4 j в общем случае.

Это правило склейкииногда будем называть обобщенным биллиардным законом.Мы получаем, что траектория так определённой биллиардной системы “перескакивает” содной элементарной области на другую в точках пересечения с рёбрами склейки и отражаетсяпо стандартному закону отражения при ударе о границу области ∆.Оговорим отдельно случай конической точки – точки, в которой склеиваются два угла различных элементарных областей Ω, входящих в состав области ∆. В этом случае, как легкопонять из соображений непрерывности, закон отражения будет выглядеть так – материальнаяточка, проходя по элементарной области Ω, попав в коническую точку, отразится по той жепрямой и будет продолжать находиться на той же элементарной области Ω (см.

рис.1.8). Тоесть, “перескакивание” материальной точки в конце ребра склейки возможно, только если локально в этой вершине излома определена склейка четырех элементарных областей. Очевидно,Рис. 1.8: Движение в конической точке доопределяется по непрерывности.что при таком определении фазового многообразия M 4 сохраняется интегрируемость системы,а именно, сохраняется дополнительный интеграл Λ –параметр софокусной квадрики, которойкасается биллиардная траектория.

Это связано с тем, что граница любой плоской (элементарной) области Ωi , входящей в состав обобщенной области ∆ и, в частности, все ребра склейки,лежат на дугах одного и того же семейства софокусных квадрик при изометричных погружениях этих областей в плоскость.36Глава 2Классификация биллиардных областей.2.1Компактные плоские области, ограниченные софокусными эллипсами и гиперболами.Определение 2.1.1. Простейшей элементарной (плоской) областью Ω назовем двумерноесвязное, компактное, плоское гладкое риманово многообразие с кусочно-гладким краем, которое имеет изометричное вложение в плоскость, причем граница его образа при этом вложениисостоит из сегментов софокусных квадрик семейства (1.1), углы между которыми не превышают π.Определение 2.1.2. Составной элементарной (локально-плоской) областью (Ω, Ui ) назовёмдвумерное связное, компактное, локально-плоское гладкое риманово многообразие с кусочногладким краем, не имеющее изометричного вложения в плоскость, которое может быть разбитов конечное объединение простейших элементарных областей Ui , ограниченных дугами квадрикиз одного и того же софокусного семейства (1.1) так, что либо пересечение любых двух элементарных областей Ui и Uj пусто, либо существуют изометричные вложения этих областейUi , Uj в плоскость, согласованные на их пересечении Ui ∩ Uj , причем пересечение Ui ∩ Uj является как сегментом границы области Ui , так и сегментом границы области Uj , образ этогопересечения Ui ∩ Uj при любой из этих изометрий является дугой гиперболы семейства (1.1),а образы областей Ui и Uj лежат по разные стороны от этой дуги, в случае если эта дуга не лежит на осях семейства (1.1).

При этом отметим, что мы не требуем существования глобальногоизометричного вложения составной элементарной области в плоскость.Простейшие элементарные области и составные элементарные области будем называть просто элементарными. Биллиардное движение в такой области иногда будем называть эллиптикогиперболическим, а саму область – эллиптико-гиперболической биллиардной областью.2.1.1Отношение эквивалентности.Определение 2.1.3. Элементарная область (Ω, Ui ), ограниченная дугами квадрик из софокусного семейства (1.1), называется эквивалентной другой элементарной области (Ω0 , Ui0 ),ограниченной дугами квадрик из того же семейства (1.1), если (Ω0 , Ui0 ) можно получить из(Ω, Ui ) путем композиции следующих преобразований:• последовательным изменением сегментов границы в образах некоторых простейших элементарных областей Ui при их изометричных вложениях в плоскость путем непрерывной37деформации в классе квадрик (1.1), так, чтобы значение параметра λ изменяемого сегмента границы не принимало значения значения b; при этом потребуем, чтобы одновременноменялись и оставались равными друг другу значения параметра λ для квадрик (гипербол), содержащих образы общей граничной дуги любых двух пересекающихся простейшихэлементарных областей при их изометричных вложениях в плоскость, согласованных наэтой дуге до деформации (а потому также во время и после деформации), а также одновременно меняются и остаются равными друг другу значения параметра λ для квадрик(эллипсов), содержащих образы эллиптических граничных сегментов (разных элементарных областей), имеющих общую вершину;• симметрией относительно оси семейства (1.1) во всех простейших элементарных областяхUi одновременно;• объединением нескольких простейших элементарных областей в одну или же путем разбиения одной элементарной области на более мелкие.Замечание 5.