Топологическая классификация интегрируемых биллиардов, страница 11

Можно рассматривать составные элементарные области, которые получаютсянасклейками и вдоль эллиптических сегментов тоже. Но в этом случае запрещение углов 3π2границе (локально при изометричных вложениях склеиваемых простейших элементарных областей в плоскость) накладывает существенные ограничения на виды склеек. Таким образом,могут возникнуть лишь склейки вдоль дуг эллипсов и их накрытий (для простейших областейA2 и C2 ), склейки вдоль целой эллиптической дуги (приклейка к любой области подходящейобласти-ленты серии B), а также склейка четырех элементарных областей серии B при изометричных вложениях, имеющих общую вершину.

Такие типы склейки, как легко видеть, приводятлишь к образованию областей, эквивалентных уже описанным элементарным областям.412.2Области, ограниченные дугами парабол.Определение 2.2.1. Параболической биллиардной областью Ω назовём двумерное связное,компактное, плоское гладкое риманово многообразие с кусочно-гладким краем, которое имеетизометричное вложение в плоскость, причем граница его образа при этом вложении состоит изсегментов софокусных парабол семейства (1.2), углы между которыми не превышают π.2.2.1Отношение эквивалентности.Напомним, что параболу с параметром p = 0, принадлежащую семейству (1.2), мы называемвырожденной параболой.Определение 2.2.2. Параболическая биллиардная область Ω, ограниченная софокусными параболами семейства (1.2), называется эквивалентной области Ω0 , если она может быть продеформирована в Ω0 с помощью композиции двух преобразований:1.

путем непрерывного изменения границы в классе парабол семейства (1.2) так, чтобыпарабола, на которой лежит изменяемый сегмент была невырожденной во время деформации (т.е. знак параметра p этой параболы сохранялся);2. симметрией относительно оси семейства (1.2).Определение 2.2.3. Параболическая биллиардная область Ω, ограниченная софокусными параболами семейства (1.2) называется особой, если одна из парабол, формирующих ее границу,является вырожденной.2.2.2Классификация параболических биллиардных областей.Предложение 2.2.1. Существует ровно три класса эквивалентности параболических неособых областей Ω, ограниченных дугами софокусных парабол: область Ω1 , ограниченная двумяпараболами, параметры которых имеют разные знаки, область Ω2 , ограниченная тремя параболами, и область Ω3 , ограниченная четырьмя параболами с различными значениями параметров, а именно двумя положительными и двумя отрицательными, не имеющая общихточек с горизонтальной осью Ox (см.

рис. 2.3).Существует ровно два класса эквивалентности параболических особых областей: областьω1 , ограниченная двумя невырожденными и одной вырожденной параболой, и область ω2 , ограниченная тремя невырожденными и одной вырожденной параболой (см. рис. 2.3).Доказательство. Пусть Ω – параболическая биллиардная область, ограниченная софокуснымипараболами. Выделим из всего семейства парабол две параболы, с максимальным и минимальным значениями параметра. Обозначим параметры этих парабол P и Q, где P > 0, Q < 0.Обозначим область, которую ограничивают эти параболы, через M. Область Ω целиком лежит в области M , причём граница области Ω включает в себя хотя бы одну точку пересеченияпарабол с параметрами P и Q.

Разрежем область M по горизонтальному отрезку, один конец которого находится в фокусе семейства парабол, а другой конец лежит на параболе с параметромP . В области M с разрезом софокусные параболы задают прямоугольную систему координат.Отобразим область M в прямоугольник (см. рис.

2.4а).42444222000-2-2-2-4-4-4-202-4-44Ω1-202-44-2Ω2442200-2-2-4024Ω3-4-4-202-44ω1-2024ω2Рис. 2.3: Параболические биллиардные области, ограниченные семейством софокусных парабол. Жирным выделены параболы, ограничивающие каждую область. На рисунке области закрашены.б)a)Рис. 2.4: На рисунке а) изображен образ области M при отображении в прямоугольник. Жирным выделен образ фокуса. Правая граница – линия разреза. Верхняя и нижняя границы –образ параболы с параметром P .

Левая граница – образ параболы с параметром P . На рисунке б) закрашены возможные области при отображении M в прямоугольник. Легко понять,что средняя область в верхнем ряду эквивалентна левой области в нижнем ряду. Пунктиромвыделен образ горизонтального отрезкаОчевидно, что образ f (Ω) в этом прямоугольнике также является прямоугольником. Один изуглов f (Ω) совпадает с f (M ).

Без ограничения общности можно считать, что это левый верхнийугол прямоугольника, изображенного на рис. 2.4а). Рассматривая различные прямоугольники,удовлетворяющие этому условию (см. рис. 2.4б), получаем пять различных типов областей.432.2.3Классификация плоских некомпактных параболических областей.Предложение 2.2.2. Существует ровно четыре класса эквивалентности параболическихнекомпактных неособых областей Θ, ограниченных софокусными параболами: области Θ1 иΘ2 , ограниченные одной и двумя параболами соответственно, и области Θ3 и Θ4 , ограниченные тремя параболами с различными значениями параметров, а именно двумя положительными и одной отрицательной, причем сегмент отрицательной параболы для области Θ3является выпуклым, а для Θ4 невыпуклым (см.

рис. 2.5).Существует ровно два класса эквивалентности параболических некомпактных особых областей: области θ1 и θ2 , ограниченные одной вырожденной параболой и одной и двумя невырожденными параболами соответственно (см. рис. 2.5).Рис. 2.5: Параболические некомпактные области.Доказательство. Отметим, что классифицируемая некомпактная параболическая биллиардная область Θ содержит в составе своей границы как минимум одну невырожденную параболу.Легко заметить, что у полученной области число неособых парабол в границе не превышает44трёх (в противном случае, это область либо содержит углы больше π/2 либо является компактной).Пусть область Θ содержит в составе своей границы одну невырожденную параболу.

В этомслучае область Θ эквивалентна области Θ1 или θ1 . Если же граница области Θ содержит дугидвух невырожденных парабол, то знаки параметров этих парабол совпадают, т.к. в противномслучае область была бы компактной. В результате, эта область эквивалентна областям Θ2 (случай когда область неособая) или θ2 (случай, когда область является особой). Пусть, наконец,область Θ содержит в составе своей границы дуги трёх невырожденных парабол. Здесь имеемдва случая, а именно, области Θ3 и Θ4 .2.32.3.1Обобщенные биллиардные области, ограниченные дугами эллипсов и гипербол.Правила склейки. Конические точки.Определение 2.3.1. Пусть l1 и l2 — выпуклые эллиптические или горизонтальные граничныесегменты двух элементарных областей Ω1 и Ω2 , причем образы этих сегментов при изометричных погружениях областей Ω1 и Ω2 (или их двулистных накрытий) в плоскость совпадают исодержатся в квадрике семейства (1.1) с параметром λl1 = λl2 .

Определим склейку областейΩ1 и Ω2 вдоль эллиптических сегментов l1 и l2 (образы которых после склейки будем называтьребром склейки) как склейку вдоль l1 и l2 по гомеоморфизму между l1 и l2 , согласованному сизометричными погружениями областей Ω1 и Ω2 (или их двулистных накрытий) в плоскость.Границы ребер склейки будем называть вершинами склейки.Таким образом, мы можем определить склейку элементарных областей вдоль эллиптических или горизонтальных сегментов, при этом мы можем аналогично определить склейку одного экземпляра элементарной области вдоль двух своих эллиптических граничных сегментовв том случае, если эти сегменты различны и симметричны друг другу относительно фокальной прямой, а склеивающий гомеоморфизм является ограничением симметрии относительнофокальной прямой на рассматриваемые сегменты.

Напомним, что гамильтоново склеивание,построенное в книге [19] в данном случае позволяет ввести гладкую структуру в окрестностипрообраза открытого ребра склейки при проекции M 4 → (Ω1 t Ω2 )/ ∼.Определение 2.3.2. Пусть m1 и m2 — выпуклые гиперболические или горизонтальные граничные сегменты двух элементарных областей Ω1 и Ω2 , причем образы этих сегментов при изометричных погружениях областей Ω1 и Ω2 (или их двулистных накрытий) в плоскость совпадают исодержатся в квадрике семейства (1.1) с параметром λm1 = λm2 . Определим склейку областейΩ1 и Ω2 вдоль гиперболических или горизонтальных сегментов m1 и m2 (образы которых послесклейки будем называть ребром склейки) как склейку вдоль m1 и m2 по гомеоморфизму междуm1 и m2 , согласованному с изометричными погружениями областей Ω1 и Ω2 (или их двулистныхнакрытий) в плоскость.

Границы ребер склейки будем называть вершинами склейки.Напомним, что т.к. элементарные области это многообразия с плоской гладкой римановойметрикой, то при их склейке полученное многообразие будет также локально плоским, но вообще говоря с кусочно-гладкой римановой метрикой.45Определение 2.3.3. Обобщённой (локально-плоской) областью ∆ без конических точек назовём двумерное ориентируемое многообразие с кусочно-гладкой римановой метрикой, котороеполучается в результате определённых выше склеек элементарных областей вдоль некоторыхэллиптических сегментов (определение 2.3.1).

Заметим, что в этом случае в каждой вершинесклейки сходится одно ребро склейки и два свободных ребра (такие вершины склейки назовемграничными вершинами склейки).Обобщённой (локально-плоской) областью ∆ с коническими точками назовём двумерноеориентируемое многообразие с кусочно-гладкой римановой метрикой, которое получается в результате определённых выше склеек элементарных областей вдоль некоторых сегментов (опр. 2.3.1,2.3.2) при выполнении следующих условий. Во-первых, потребуем, чтобы в каждой вершинесклейки сходилось либо одно ребро склейки и два свободных ребра (такие вершины склейкиназовем граничными вершинами склейки), либо два ребра склейки и ни одного свободного ребра(такие вершины склейки назовем коническими точками), либо четыре ребра склейки и ни одного свободного ребра (такие вершины склейки назовем внутренними вершинами склейки). Вовнутренних вершинах склейки сходятся два гиперболических или горизонтальных ребра склейки mi1 , mi2 и два эллиптических или горизонтальных lj1 , lj2 .

Обозначим связнуюкомпонентуSобъединения всех гиперболических (или горизонтальных) ребер склейки через i mi , {i ∈ 1...n},где mi последовательно соединены друг с другом. Во-вторых, потребуем, чтобы минимум одноиз ребер склейки m1 или mn образовывало коническую точку. В-третьих, потребуем, чтобы вобобщенной области ∆ с коническими точками число конических точек было больше нуля.Поясним, что для каждой такой области ∆ фиксирован набор элементарных областей Ωi снабором ребер склейки fij между ними, которые будучи склеенными вдоль этих рёбер образуют область ∆.

Граничные сегменты областей Ωi , которые не являются ребрами склейки мыназываем свободными ребрами, а их объединение для фиксированной области ∆ – свободнойграницей. Области, склеенные без образования конических точек будем обозначать через ∆α , аобласти с коническими точками через ∆β .Замечание 8. Элементарные и обобщенные области могут не иметь изометричного погружения в плоскость. В качестве примера можно рассмотреть элементарную область C1 и обобщенную область, полученную склейкой двух областей, ограниченных эллипсами.2.3.2Отношение эквивалентности.Определение 2.3.4. Обобщённая область ∆, склеенная из элементарных областей Ωi вдольребер склейки fij называется эквивалентной другой обобщенной области ∆0 , склеенной из Ω0iвдоль ребер склейки fij0 , если ∆0 можно получить из ∆ путем замены элементарных областейΩi на им эквивалентные.2.3.3Обозначения.Напомним, что мы обозначили обобщенные области без конических точек через ∆α .

В скобкахбудем указывать элементарные области, образующие область ∆, причем если эквивалентныеэлементарные области в ее составе склеиваются друг с другом последовательно в некоторомколичестве экземпляров, то будем указывать это количество, например ∆α (kA0 ), а если нет, тобудем указывать это отдельным суммированием, например ∆α (Ω + kA0 + Ω) – две эквивалентные области Ω склеены не друг с другом, а с областями A0 . Введём специальное обозначение46∆α (kA0 )2 для области, склеенной из k экземпляров A0 склейкой вдоль всех эллиптическихграниц в область, гомеоморфную плоскому кольцу.Обобщённые области с коническими точками обозначим через ∆β . Введём типы коническихточек. Как легко видеть из определения, конические точки делятся на три типа. Коническиеточки типа x – это конические точки, образованные склейкой вдоль выпуклого эллиптическогосегмента l и горизонтального сегмента m (в обозначениях определений определений 2.3.1 –2.3.3 и 2.3.4).