Топологическая классификация интегрируемых биллиардов, страница 10

Определение запрещает сегменту изменяемой границы становиться отрезкомфокальной прямой. Далее будет показано, что в слоении Лиувилля изоэнергетической поверхности Q3 биллиарда в элементарной области, имеется столько критических окружностей наседловом уровне дополнительного интеграла (параметра квадрики), сколько отрезков в пересечении с внутренностью этой области имеет фокальная прямая (для составной элементарнойобласти – сумма числа пересечений для каждой простейшей элементарной и числа общих реберпростейших элементарных областей, лежащих при их погружениях в плоскость на фокальнойпрямой).2.1.2Классификация эллиптико-гиперболических биллиардных областей.Предложение 2.1.1. Любая элементарная область (Ω, Ui ) эквивалентна области, принадлежащей одной из следующих трёх серий (все они представлены на рисунках 2.1 и 2.2):1.

Односвязные элементарные области, изометрично вложимые в плоскость, содержащиеотрезок фокальной прямой между фокусами (внутри области или на границе). Существует ровно шесть типов, задаваемых формулой a + |2f − f 0 | = 4, где a – число угловграницы, f – количество фокусов, принадлежащих области, f 0 – число фокусов принадлежащих границе области. Такие области будем обозначать Af если их граница не содержит отрезок фокальной прямой и A0f иначе.

Все области, принадлежащие этой серииизображены на рисунке 2.1.2. Односвязные элементарные области, изометрично погружаемые в плоскость так, чтообраз области при этом погружении не содержит отрезка фокальной прямой междуфокусами. Каждую такую область ограничивает четырёхугольник, образ которого приуказанном погружении состоит из дуг двух эллипсов и двух гипербол (быть можетсовпадающих). Такие области будем обозначать либо Bn , либо Bn0 , либо Bn00 в зависимости от того, образы нуля, одного или двух отрезков границы лежат на фокальнойпрямой, где n — это количество связных компонент прообраза фокальной прямой приизометричном погружении области вместе с ее границей в плоскость. Будем называтьих областями типа B.

Пример области изображен на рисунке 2.2.383. Неодносвязные элементарные области. Двулистные накрытия таких областей изометрично погружаемы в плоскость, их образы при таких погружениях ограничены двумяэллипсами. Будем обозначать эти области через Cn , где n — это половина количествасвязных компонент прообраза фокальной прямой при изометричном погружении двулистного накрытия области в плоскость (или же количество связных компонент прообраза фокальной прямой при изометричном погружении области вместе с ее границейв плоскость).

Будем называть их областями типа C. Пример области изображен нарисунке 2.2.При этом области, принадлежащие к различным сериям (A, B или C) неэквивалентнымежду собой, а также неэквивалентны между собой внутри каждой серии области с различными индексами.A00A01A02A0A1A2Рис. 2.1: Элементарные области, образующие конечную серию AРис. 2.2: Примеры элементарных областей, принадлежащих бесконечным сериям B и C.

Нарисунке изображены области B4 (слева) и C4 (справа).Доказательство. Пусть Ω – простейшая элементарная область.Рассмотрим сетку эллиптических координат на плоскости. Сделаем разрез плоскости вдольдвух лучей вырожденной гиперболы и определим отображение f из разрезанной плоскости сэллиптической координатной сеткой в полосу с прямоугольной координатной сеткой, т.е. всегиперболы перейдут в вертикальные прямые, а все эллипсы перейдут в пары горизонтальныхотрезков. Граница полосы при этом состоит из двух прямых, из которых состоит образ вырожденной гиперболы. Таким образом, на границе полосы определена склейка, переводящаяэту полосу в плоскость. В дальнейшем мы будем пользоваться моделью полосы с определённойсклейкой на границе.39Образ f (Ω) области Ω, на плоскости ограниченной дугами квадрик семейства (1.1), в полосебудет ограничен отрезками вертикальных и горизонтальных прямых.Лемма 2.1. Область f (Ω) является несвязным объединением не более трёх прямоугольников.Доказательство.

Область Ω связна, а значит при разрезе вдоль дуг вырожденных гиперболона распадается не более чем на три связных куска. Обозначим их wi , i < 4. Отображение fявляется биекцией между областью с двумя разрезами вдоль вырожденных гипербол и полосой,а значит, f (wi ) ∩ f (wj ) = ∅ при i 6= j. Рассмотрим f (wi ). Заметим, что wi ограничена дугамисофокусных эллипсов и гипербол и её граница (а значит и граница f (wi )) не содержит углов3π. Заметим, что область wi гомеоморфна диску. Граница f (wi ) лежит на горизонтальных и2вертикальных прямых.

Значит, f (wi ) – прямоугольник.Рассмотрим каждый случай отдельно.• Пусть f (Ω) –это один прямоугольник. Возникает три случая.Если прямоугольник f (Ω) расположен строго выше (или ниже) оси Ox, то Ω эквивалентналибо B0 (прямоугольник строго внутри полосы), либо B10 (одна вертикальная сторонарасположена на границе полосы), либо B100 (обе вертикальные стороны расположены награницах полосы).Если прямоугольник f (Ω) расположен строго и в положительной и отрицательной частяхполосы, то Ω эквивалентна Ai , где i - число вертикальных сторон прямоугольника награнице полосы.Если верхняя или нижняя стороны прямоугольника f (Ω) лежат на оси Ox, то Ω эквивалента A0i , где i - число вертикальных сторон прямоугольника на границе полосы.• Пусть f (Ω) – это объединение двух прямоугольников.

Тогда в силу связности, у этихпрямоугольников существует по крайней мере одна пара равных вертикальных сторон,расположенных на одной границе полосы симметрично относительно оси Ox. Если существует одна пара таких сторон, то область Ω – это четырёхугольник, ограниченный паройдуг эллипсов и парой дуг гипербол, то есть область B1 или B20 . Если склеилось две парысторон – то в прообразе f (Ω) кольцо, обозначаемое нами C2 .• Пусть f (Ω) – это объединение трёх прямоугольников.

Аналогично предыдущему пунктуполучаем, что прообраз – это четырёхугольник, ограниченный парой дуг эллипсов и паройдуг гипербол, то есть область B2 .Таким образом, мы описали все простейшие элементарные области.Пусть (Ω, Ui ) – составная элементарная область. Можно считать, что любые две простейшиеэлементарные области Ui и Uj в ее составе либо не пересекаются либо не имеют глобальноговложения в плоскость после склейки вдоль общего сегмента. В самом деле, для этого необходимоосуществлять последовательную склейку простейших элементарные областей до тех пор, покаглобальное вложение существует. Простейших областей конечное число, следовательно, процессв какой-то момент остановится.Теперь фиксируем какую-нибудь простейшую элементарную область Ui , входящую в составную область Ω, Ui , и пересекающуюся с ней область Uj .

Обозначим дугу гиперболы в пересечении этих областей (точнее, их образов при соответствующих изометричных вложениях40в плоскость) через l. Докажем, что сегмент l не имеет общих точек с отрезком между фокусами. Пусть это не так, тогда пара областей Ui , Uj эквивалентна паре областей A00 , A00 или A00 , A01или A0 , A0 или A0 , A1 .

Эти пары областей можно заменить на одну простейшую элементарнуюобласть, принадлежащую, соответственно, классам классам A00 , A01 , A0 или A1 . Противоречиес тем, что мы предположили, что объединение любых двух простейших пересекающихся элементарных областей в составе Ω не имеет вложения в плоскость. Значит, сегмент l не имеетпересечения с отрезком между фокусами. В этом случае области Ui и Uj эквивалентны областям B0 , B1 , B10 , B20 или B2 . Более того, можно утверждать, что все элементарные области Uiэквивалентны B0 , B1 , B10 , B20 или B2 .Из областей B0 , B1 , B10 , B20 или B2 путем возможных склеек вдоль гиперболических сегментов границ можно получить либо односвязные области-ленты (серия B), либо неодносвязныеобласти-кольца (серия C).Определение 2.1.4.

Заметим, что понятие граничного сегмента (см. определение 1.3.2) определено пока лишь для простейших элементарных областей, т.е. элементарных областей, изометрично вложимых в плоскость. Распространим его на любое двумерное связное компактноеплоское гладкое риманово многообразие с кусочно-гладким краем (возможно с точками излома, т.е. углами). Граничным сегментом такого риманова многообразия назовем либо связнуюкомпоненту его края, не содержащую точек излома, либо дугу, лежащую в крае, соединяющуюдве точки излома края и не содержащую других точек излома края.

Согласно классификацииэлементарных областей (утверждение 2.1.1), все они (или их двулистные накрытия) допускают изометричное погружение в плоскость. Граничный сегмент элементарной области назовем гиперболическим (соотв. вертикальным гиперболическим, эллиптическим), если его образпри этом погружении не содержится в фокальной прямой и содержится в гиперболе (соотв.вертикальной прямой, эллипсе) рассматриваемого софокусного семейства. Граничный сегментназовем вырожденным или горизонтальным, если его образ при этом погружении содержитсяв фокальной прямой. Граничный сегмент элементарной области Ω назовем выпуклым (соотв.нестрого выпуклым), если любая его точка обладает окрестностью в Ω, изометричной строговыпуклому (соотв. нестрого выпуклому) подмножеству плоскости.Замечание 6.

Заметим, что любой гиперболический сегмент границы можно перевести в вертикальный сегмент. Таким образом, можно считать, что область A01 эквивалентна четверти эллипса, область A1 эквивалентна половине эллипса (правой или левой), у областей A00 , A0 левыйгиперболический сегмент границы – вертикальная прямая, у областей серии B вертикальнывсе невырожденные гиперболические сегменты.Замечание 7.