Топологическая классификация интегрируемых биллиардов, страница 5

Инварианты для всех остальных биллиардных областей приведены в таблице (см. рис. 2).Теорема. Пусть обобщенная область ∆ состоит из элементарных областей Ω, причем любаяэлементарная область Ω не содержит фокусов. Тогда инвариант Фоменко-Цишанга – меченаямолекула W ∗ , описывающая топологию слоения Лиувилля изоэнергетической поверхности Q3биллиардного движения в такой обобщенной области ∆имеет следующий вид (см. подробнеерис. 3):• молекула содержит одно или два нижних ребра (два ребра, только если область гомеоморфна кольцу), эти ребра бесконечные r = ∞, ε = ±1;• если область гомеоморфна кольцу, то бифуркация на уровне интеграла Λ = b описывается атомом Dn , где n это количество отрезков фокальной прямой, лежащих внутривсех областей Ω;• если область односвязна, то бифуркация на уровне интеграла Λ = b описывается атомом Bn , где n это количество отрезков фокальной прямой, лежащих внутри всех областей Ω, причем атом имеет столько звездочек, сколько конических точек типа c илиx имеет область ∆ (конические точки типа c и x расположены на оси Ox);• на верхних ребрах молекулы стоят метки r = 0, ε = 1 или r = 12 , ε = 1, причем количество дробных меток в молекуле совпадает с количеством конических точек, имеющихтип y.15Рис.

2: Инварианты Фоменко-Цишанга – меченые молекулы, описывающие топологию слоенияЛиувилля изоэнергетической поверхности Q3 биллиардного движения в обобщенных областях,содержащих фокусы.В седьмой главе приведены случаи интегрируемости в динамики твердого тела (Эйлера,Лагранжа, Ковалевской, Жуковского, Горячева-Чаплыгина-Сретенского, Ковалевской-Яхьи,Клебша и Соколова) оказавшиеся лиувиллево эквивалентными эллиптико-гиперболическим иобобщенным биллиардам. Приведён полный список лиувиллево эквивалентных слоений и указаны области на бифуркационных диаграммах случаев Эйлера, Лагранжа, Ковалевской, Жуковского, Горячева-Чаплыгина-Сретенского, которые соответствуют этим изоэнергетическим3-поверхностям.

Для каждого инварианта указаны области, биллиард в которых моделируетповедение решений на данных изоэнергетических поверхностях.Теорема. Следующие случаи динамики твердого тела моделируются (лиувиллево эквивалентны) следующим обобщенным биллиардам:• случай Эйлера, см. [11], полностью моделируется биллиардами в обобщенных областях,указанных на рисунках 4а,з,и, соответствующих зонам I, II, III энергии H, соответственно;• случай Лагранжа, см. [11, 29], моделируется биллиардами в обобщенных областях, указанных на рисунке 4в – зона энергии 5;• случай Ковалевской, см.

[11], моделируется биллиардами в обобщенных областях, указанных на рисунке 4в – зона энергии 5; ;• случай Горячева-Чаплыгина-Сретенского, см. [11, 28, 29] моделируется биллиардами вобобщенных областях, указанных на рисунках 4в– зона энергии 4, изоэнергетическаяповерхность Q3 ' S 1 × S 2 ,16Рис. 3: Инварианты Фоменко-Цишанга – меченые молекулы, описывающие топологию слоенияЛиувилля изоэнергетической поверхности Q3 биллиардного движения в обобщенных областях,не содержащих фокусов. В верхнем ряду расположены молекулы для движения в областях безконических точек, во втором – с одной конической точкой, в третьем – с двумя коническимиточками.4 ж – зона энергии 2, изоэнергетическая поверхность Q3 ' S 3 ;• случай Жуковского, см.

[11, 22, 23] моделируется биллиардами в обобщенных областях,указанных на рисунках 4б – зона энергии 11, изоэнергетическая поверхность Q3 ' RP 3 ,4в – зона энергии 2, изоэнергетическая поверхность Q3 ' S 1 × S 2 , 4г – зона энергии8, изоэнергетическая поверхность Q3 ' S 3 , 4е – зона энергии 12, изоэнергетическаяповерхность Q3 ' RP 3 ;• случай Ковалевской-Яхьи, см. [37], моделируется биллиардами в обобщенных областях,указанных на рисунках 4в – зона энергии h16 , изоэнергетическая поверхность Q3 ' S 1 ×S 2 , 4д – зона энергии h18 , изоэнергетическая поверхность Q3 ' S 3 ;• случай Клебша, см.

[35], моделируется биллиардами в обобщенных областях, указанныхна рисунках 4д – зона энергии 2, изоэнергетическая поверхность Q3 ' S 3 , 4з – зоныэнергии 10,12, изоэнергетическая поверхность Q3 ' S 1 × S 2 , 4и – зона энергии 5, изоэнергетическая поверхность Q3 ' RP 3 ;• случай Соколова, см. [36], моделируется биллиардами в обобщенных областях, указанных на рисунках 4д –зона энергии B, изоэнергетическая поверхность Q3 ' S 3 , 4и –зонаэнергии I, изоэнергетическая поверхность Q3 ' RP 3 .1718Рис.

4:БлагодарностьОсобую благодарность автор выражает своему научному руководителю А.Т.Фоменко за постановку задачи и постоянное внимание к работе. Автор искренне признателен Е.А.Кудрявцевойза множество ценных замечаний, способствовавших улучшению изложения, А.А.Ошемкову заряд существенных разъяснений и комментариев, относящихся к теории инвариантов ФоменкоЦишанга, и С.В.Матвееву за помощь в вопросах трехмерной топологии. Также хочется выразить благодарность всему коллективу кафедры Дифференциальной геометрии и приложенийза творческую атмосферу и постоянную научную поддержку.Публикации автора по теме работы1. В.

В. Фокичева, Описание особенностей системы “бильярд в эллипсе”, Вестн. Моск. ун-та.Матем. Механ., М.: Издательство Московского университета, №5(2012), 31–342. В. В. Фокичева, Описание особенностей системы бильярда в областях, ограниченных софокусными эллипсами и гиперболами, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1 Матем. Мех., 2014, №4,18—27; англ. пер.: V. V. Fokicheva, "Description of singularities for billiard systems boundedby confocal ellipses or hyperbolas Moscow Univ. Math. Bull, 69:4 (2014), 148-158.3. В. В. Фокичева, Классификация биллиардных движений в областях, ограниченных софокусными параболами, Матем. сб., 205:8 (2014), 139-160; англ.

пер.: V. V. Fokicheva,"Classification of billiard motions in domains bounded by confocal parabolas Sb. Math., 205:8(2014), 1201-1221.4. В. В. Фокичева, Топологическая классификация биллиардов в локально плоских областях,ограниченных дугами софокусных квадрик, Матем. сб., 206:10 (2015), 127-1765. В. В. Фокичева, А. Т. Фоменко.Интегрируемые биллиарды моделируют важные интегрируемые случаи динамики твёрдого тела, ДАН,465:2(2015), 1-419Глава 1Основные определения.1.11.1.1Интегрируемые системы.Понятие интегрируемой гамильтоновой системы.Определение 1.1.1.

Четномерное гладкое многообразие M 2n называется симплектическим,если на нём можно ввести симплектическую структуру, то есть определить невырожденную,замкнутую кососимметричную форму на касательных векторах к M 2n : ω(a, b) := ωij ai bj .Определение 1.1.2. Пусть (M 2n , ω) – симплектическое многообразие с некоторой гладкойфункцией H. Тогда можно определить векторное поле sgradH, ей соответствующее, по следу∂Hющему правилу (sgradH)i = wij ∂xj.Определение 1.1.3. Динамическая система на гладком многообразии M 2n называется гамильтоновой, если на многообразии M 2n можно выбрать симплектическую структуру и функциюH таким образом, что динамическая система запишется в виде v = sgradH.

В этом случаефункцию H называют гамильтонианом.Определение 1.1.4. На функциях на симплектическом многообразии (M 2n , ω) определена1 ∂f2. Эта операция может быть определена даже в том случае,скобка Пуассона {f1 , f2 } := ω ij ∂f∂xi ∂xjесли форма ω вырождена (т.е. если снять условие невырожденности на форму, но оставить условие замкнутости и кососимметричности); в этом случае многообразие называют Пуассоновым.Если скобка Пуассона двух функций равняется нулю, то говорят, что эти функции находятсяв инволюции.1.1.2Теорема Лиувилля.Пусть M 2n – симплектическое многообразие и v = sgradH – гамильтонова система с гладкимгамильтонианом H.Определение 1.1.5.

Гамильтонова система называется вполне интегрируемой по Лиувиллю,если существует набор функционально независимых, находящихся друг с другом в инволюции гладких функций f1 , ..., fn , являющихся первыми интегралами гамильтоновой системы v,причем соответствующие им векторные поля sgradfi являются полными.Определение 1.1.6. Слоением Лиувилля называется слоение многообразие M 2n на совместные поверхности уровня функций f1 , ..., fn .20Теорема 1.1.