Топологическая классификация интегрируемых биллиардов, страница 8

В случае бесконечного ребранаоборот: метка r не меняется, а метка ε меняет знак.• Метка n заменяется на метку n0 которая вычисляется следующим образом. Пусть l – числоребре молекулы, несущих на себе дробную метку метку r, а s – число звездочек у всехатомов, образующих данную семью. Тогдаn0 = −n − l − s.Изменение ориентации гамильтонова векторного поля не меняет меток.Замечание 2. Пусть молекула Фоменко имеет вид указанный на рисунке 1.6.

На дополнительных циклах µA , относящихся к граничным торам минимаксных атомов A, и на циклахλV , относящихся к граничным торам седлового атома V , ориентация фиксирована и задаётсяпотоком гамильтонова векторного поля. Фиксируем ориентацию циклов µV (или µcV в случае,если атом V имеет звездочки) на седловом атоме V единым образом – напомним, что циклыµV (µcV ) связаны существованием глобального сечения.

Тогда для того чтобы проверить, чтоориентация стягивающихся циклов λA на минимаксных атомах выбрана правильно, необходимопроверить, что определители всех матриц склеек равны −1.29Рис. 1.6: Атом V – это некоторый седловой атом.1.31.3.1Биллиард.Классическая постановка биллиардной задачи.Пусть область Ω на плоскости R2 такова, что граница области является кусочно-гладкой кривой, причем в точках излома этой кривой углы равны π2 .

Рассмотрим динамическую систему,описывающую движение (материальной) точки внутри области Ω с естественным отражениемна границе P = ∂Ω. Эту систему назовём “биллиардом в области”. Будем считать, что в точках,где граница P не гладкая (тогда, как было сказано выше, угол излома обязательно равен π2 )траектории системы можно доопределить по непрерывности: а именно, попав в вершину углаграницы, материальная точка, не теряя скорости, отразится назад по той же траектории. Такимобразом, фазовым пространством системы является многообразиеM 4 := {(x, v)| x ∈ Ω, v ∈ Tx R2 , |v| > 0}/ ∼где отношение эквивалентности задаётся так(x1 , v1 ) ∼ (x2 , v2 ) ⇔ x1 = x2 ∈ P,|v1 | = |v2 | и v1 − v2 ⊥ Tx1 P.Здесь через Tx P обозначена касательная плоскость к области Ω в точке x, а через |v| – евклидова длина вектора v.

Это отношение эквивалентности иногда будем называть биллиарднымзаконом.1.3.2Гамильтоново сглаживание.Система биллиарда в общем случае не является гладкой, так как склейка в точках границы,как правило, не позволяет ввести гладкую структуру в декартовых координатах. Необходимо видоизменить определения выше с учетом граничных точек. Описываемый ниже подход иопределения предложены А. Т.

Фоменко.Фазовое многообразие M 4 является кусочно-гладким и распадется на гладкие куски (объg4 ), склеенные по точкам, проектирующимся (в случае билединение которых мы обозначим Mлиардной системы) в одни и те же точки границы области, где определен биллиард. На мноg4 . Будем предполагать, что гладкиегообразии введем симплектическую структуру только в Mсимплектические структуры в соседних гладких областях непрерывно согласованы на границераздела, то есть их пределы “справа и слева” совпадают. Будем говорить, что кусочно-гладкаясистема на M 4 интегрируема (в кусочно-гладком смысле, но в дальнейшем будем говорить,для краткости, просто об интегрируемости), если существуют непрерывные на M 4 и гладкие30g4 функционально независимые функции f и H, которые находятся в инволюции на M 4 .на MПодобное определение имеет смысл не только для биллиардных систем, но в данной работе мыбудем рассматривать только плоские биллиарды.Рассмотрим кусочно-гладкое изоэнергетическое многообразие Q3 и связную компоненту совместного уровня функций f и H.

Пусть гамильтоновы потоки sgradf и sgradH полны. Еслиможно показать, что связная компактная компонента совместного уровня функций f и H гомеоморфна либо кусочно-гладкому тору либо особому слою кусочно-гладкого трехмерного атома(для конечного числа значений f ), то будем говорить, что выполнена кусочно-гладкая теоремаЛиувилля. В этом случае мы можем построить грубую молекулу W и определить метки.

Вслучае биллиарда в компактной области полнота гамильтоновых потоков очевидна.Фактически, кусочно-гладкое слоение Лиувилля в случае биллиардной системы отличаетсяот слоения Лиувилля классической интегрируемой гамильтоновой системы тем, что каждаясовместная поверхность уровня, как правило, представляет собой либо особый слой кусочногладкого атома либо кусочно-гладкий тор. В дальнейшем мы будем пользоваться однако темиже обозначениями для атомов и молекул, что и в классическом случае.В работе В. Лазуткина [19], показано, что в случае, если граница биллиарда является выпуклой, то в прообразе ее окрестности при проекции M 4 → Ω можно ввести гладкую и симплектическую структуры на многообразии M 4 , относительно которых функции f1 и f2 являютсягладкими, а проекция M̃ 4 → M 4 является гладким симплектическим отображением. Однако,в прообразах точек излома границы (в углах) и в прообразе точек её невыпуклости гладкостьпока не удалось показать.1.3.3Эллиптико-гиперболический биллиард.Определение 1.3.1.

Фиксируем систему координат (x, y). Определим софокусные квадрикикак квадрики семействаy2x2+= 1 λ ∈ (−∞, b) ∪ (b, a)a−λ b−λи полученные из них “предельным переходом”, точнее квадрики семейства(b − λ)x2 + (a − λ)y 2 = (a − λ)(b − λ), λ ≤ a.(1.1)Здесь ∞ ≥ a ≥ b > 0 — фиксированная пара чисел (определяющая семейство софокусныхквадрик), λ — параметр семейства (определяющий квадрику семейства).В классическом случае (∞ > a > b) при λ 6= a или b это эллипсы или гиперболы. Приλ = b это объединение вырожденной гиперболы (образованной двумя горизонтальными лучами из фокусов) и вырожденного эллипса (отрезка между фокусами). Вертикальную прямую,соответствующую параметру λ = a мы будем называть гиперболой (а не вырожденной гиперболой).При ∞ = a > b софокусные квадрики являются софокусными параболами.При a = b квадрики вырождаются в концентрические окружности и ортогональные имрадиальные прямые.

Этот случай мы не будем рассматривать в настоящей работе.Нетрудно показать, что софокусные квадрики ортогональны друг другу.Замечание 3. В дальнейших рассуждениях эллипсы и гиперболы предполагаются софокусными квадриками семейства (1.1), причем ∞ > a > b.31Определение 1.3.2. Пусть дана компактная область в плоскости, ограниченная дугами софокусных квадрик, все углы которой в точках излома границы не превосходят π. В этом случаеграница области является либо простой замкнутой кривой, либо несвязным объединением двухэллипсов.

Рассмотрим минимальный набор дуг квадрик, которыми образована граница области. Эти дуги назовем сегментами квадрик, ограничивающих данную область (или сегментамиграницы данной области).Мы будем различать сегменты четырёх типов: эллипс, дуга невырожденной гиперболы, заключённая между двумя эллипсами, дуга невырожденного эллипса, заключённая между двумягиперболами, отрезок фокальной прямой.Пусть плоская область Ω ограничена сегментами софокусных квадрик.Теорема 1.3. (Якоби, Шаль)[3]Касательные прямые к геодезической линии на квадрике в n-мерном евклидовом пространстве, проведенные во всех точках геодезической, касаются кроме этой квадрики еще n − 2конфокальных с ней квадрик, одних и тех же для всех точек данной геодезической.Замечание 4.

Софокусные квадрики в многомерном случае иногда называются конфокальными.В плоском двумерном случае из теоремы Якоби-Шаля следует, что касательные в любойточке биллиардной траектории внутри области Ω касаются эллипса или гиперболы, софокусныхс семейством квадрик, образующих границу P области Ω.Относительно стандартной симплектической структуры на плоскости, функции |v| — модуль вектора скорости – и Λ — параметр софокусной квадрики коммутируют. Так как онисохраняются вдоль траекторий биллиарда, значит в пределе они коммутируют и на границеобласти. Таким образом, данная “биллиардная” система обладает двумя независимыми (см. [3])интегралами:1.

|v| — модуль вектора скорости,2. Λ — параметр софокусной квадрики.1.3.4Параболический биллиард.Зафиксируем систему координат на плоскости OXY . Уравнениеy 2 + 4px − 4p2 = 0(1.2)описывает семейство софокусных парабол (p – параметр параболы). Фокус парабол находится в начале координат, а директрисами являются вертикальные прямые, проходящие черезточки вида (2p, 0).

Включим в это семейство прямую y = 0, соответствующую параметру p = 0.Будем называть эту прямую вырожденной параболой.Лемма 1.4. Параболы, задаваемые уравнением (1.2) при различных значениях параметровпересекаются под прямыми углами.32Доказательство. Пусть lp и lq – две параболы, удовлетворяющие уравнению (1.2) с параметрами p и q соответственно. Тогда координаты точки их пересечения имеют следующий вид:√(p + q, ±2 −pq).Очевидно, что софокусные параболы пересекаются тогда и только тогда когда их параметры√имеют разные знаки, таким образом выражение −pq корректно определено.Продифференцируем уравнение (1.2) по x и по y. Получим вектор нормали к параболе√(1.2). Подставим в результат координаты точки пересечения (p + q, 2 −pq).