Топологическая классификация интегрируемых биллиардов, страница 2

Драгович, M. Раднович.В диссертации классифицированы все плоские биллиардные области, ограниченные дугамисофокусных эллипсов и гипербол (при этом не обязательно изометрично вложимые в плоскость), а также области, уже не обязательно являющимися плоскими, полученные склейкамиэлементарных областей вдоль выпуклых сегментов границ.

В работе исследована топологиявозникающих изоэнергетических поверхностей интегрируемых биллиардов в таких областях.4Кроме того, не только описан топологический тип возникающих 3−поверхностей, но и исследована топология возникающего слоения Лиувилля с помощью вычисления меченых молекулФоменко-Цишанга – инвариантов лиувиллевой эквивалентности. Две интегрируемые системыназываются лиувиллево эквивалентными, если существует диффеоморфизм, переводящий слоение Лиувилля одной системы в слоение Лиувилля другой системы. Если торы Лиувилля навсюду плотном множестве являются замыканиями нерезонансных траекторий (как в большинстве невырожденных классических случаев интегрируемости), то лиувиллева эквивалентностьсистем означает, что сравниваемые системы имеют “одинаковые” замыкания решений (т.е.

интегральных траекторий) на трёхмерных уровнях постоянной энергии. Топологический тип слоения Лиувилля полностью определяется инвариантом Фоменко–Цишанга, который являетсянекоторым графом с числовыми метками (см. книгу [11] А. В. Болсинова, А. Т. Фоменко). Далее, для многих интегрируемых случаев динамики твердого тела для ряда изоэнергетическихповерхностей вычисление инварианта Фоменко-Цишанга позволило обнаружить лиувиллеву эквивалентность этих систем полученным биллиардным системам с помощью сравнения меченыхмолекул. Тем самым, образно говоря, локально-плоские интегрируемые биллиарды “наглядномоделируют” многие достаточно сложные случаи интегрируемости в динамике твердого тела.Также в работе исследована топология некомпактных биллиардов в областях, ограниченныхсофокусными параболами – для них построены грубые молекулы (без меток) – инвариантыгрубой лиувиллевой эквивалентности.Цель диссертацииДиссертационная работа преследует следующие цели:1.

Классифицировать все плоские компактные области, ограниченные дугами софокусныхэллипсов и гипербол, а также локально-плоские области, полученные из них склейкамивдоль выпуклых эллиптических граничных дуг и некоторых выпуклых гиперболическихграничных дуг, а также описать плоские области, ограниченные дугами софокусных парабол.2. Вычислить инварианты лиувиллевой эквивалентности – меченые молекулы Фоменко-Цишанга– для биллиарда в каждой из описанных областей.3. Среди найденных слоений найти слоения Лиувилля, которые эквивалентны ранее известным слоениям Лиувилля, возникшим в известных случаях интегрируемости твердого тела,что позволит промоделировать ряд задач динамики твердого тела наглядными биллиардами.4. Обнаружить “новые” слоения Лиувилля, в том смысле, что они лиувиллево не эквивалентны никаким ранее обнаруженным слоениям Лиувилля, возникшим в известных случаяхдинамики твердого тела.5.

Вычислить некомпактные аналоги инварианта Фоменко-Цишанга для важного примеранекомпактных слоений Лиувилля.5Методы исследованияВ работе используется теория топологического анализа интегрируемых гамильтоновых системс двумя степенями свободы, построенная А. Т. Фоменко, X. Цишангом, А. В. Болсиновым идругими. Активно применяются методы топологии трехмерных многообразий.Научная новизнаРезультаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:1. Классифицированы все компактные плоские области, ограниченные дугами софокусныхэллипсов и гипербол. Классифицированы все обобщенные локально-плоские области, полученные из них склейками вдоль выпуклых эллиптических граничных сегментов и некоторых выпуклых гиперболических граничных сегментов, приводящих к образованию такназываемых конических точек.2.

Вычислены инварианты Фоменко-Цишанга – меченые молекулы W ∗ , описывающие топологию слоения Лиувилля изоэнергетической поверхности Q3 – для биллиардов в каждойиз описанных областей.3. Вычислены инварианты Фоменко-Цишанга для биллиардов в компактных областях, ограниченных софокусными параболами, а также их некомпактные аналоги – молекулы Фоменко (без меток) – для биллиардов в некомпактных областях, ограниченных софокусными параболами.4. Для локально-плоских биллиардов найдены слоения Лиувилля, которые эквивалентныранее известным слоениям, возникшим в случаях интегрируемости Эйлера (все слоения),Лагранжа, Ковалевской, Ковалевской-Яхьи, Жуковского, Горячева-Чаплыгина-Сретенского,Клебша и Соколова, что означает лиувиллеву эквивалентность вышеперечисленных систем системе биллиарда при подходящем выборе обобщённой биллиардной области.5.

Обнаружены слоения Лиувилля, которые описываются инвариантами, ранее не встречавшихся в задачах динамики твердого тела, в том числе молекулы, атомы-бифуркации вкоторых являются новыми и также не встречались ранее.Теоретическая и практическая ценностьДиссертация имеет теоретический характер.Полученные результаты могут быть использованы для установления изоморфизмов лиувиллевых слоений различных интегрируемых систем в том числе для моделирования сложныхэффектов поведения решений для сложных и менее наглядных систем, к которым относятся,например, классические случаи динамики твердого тела.Полученный метод вычисления инвариантов и метод построения биллиардных областей позволяет расширять класс биллиардных задач и строить интересные примеры интегрируемыхсистем, топология слоений которых достаточно наглядна.6Вычисленные некомпактные аналоги инвариантов являются важным примером для началапостроения теории некомпактных бифуркаций в интегрируемых системах, которая активноначинает развиваться.Апробация диссертацииРезультаты диссертации докладывались на следующих всероссийских и международных научных конференциях:XX международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых “Ломоносов”(Москва, 8–13 апреля 2013);XXI международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых “Ломоносов”(Москва, 7–11 апреля 2014);XXII международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых “Ломоносов”(Москва, 13–17 апреля 2015);международная конференция “Воронежская зимняя математическая школа им.

Крейна –2012” (Воронеж, 25–30 января 2012);международная конференция “Воронежская зимняя математическая школа им. Крейна –2014” (Воронеж, 26–31 января 2014);международная конференция “Воронежская зимняя математическая школа им. Крейна –2016” (Воронеж, 25–29 января 2016);ежегодная научная конференция “Ломоносовские чтения” 2011 года (МГУ), посвященная300-летию со дня рождения М.В.Ломоносова (Москва, 14–23 ноября 2011);International Topological Conference “Alexandroff Readings” Lomonosov Moscow State University(Moscow, May 21–25, 2012);открытый семинар представителей молодежных коллективов и профессоров механикоматематического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова (Российская Федерация) иУНК «ИПСА» НТУУ «КПИ» (Украина)(Москва-Киев, 18 ноября 2015);Результаты диссертации докладывались на заседании семинара “Гамильтоновы системы истатистическая механика” под рук.

акад. В.В.Козлова, проф. С.В.Болотина и чл.-корр. Д.В.Трещева(2015), а также неоднократно докладывались и обсуждались на заседаниях семинара “Современные геометрические методы” под руководством акад. А.Т. Фоменко, проф. А.С. Мищенко,проф. А.В. Болсинова, проф. А.А. Ошемкова, доц. Е.А. Кудрявцевой, доц.

И.М. Никонова, асс.А.Ю. Коняева, асс. А.М. Изосимова; 2010 – 2015 гг.ПубликацииОсновные результаты диссертации представлены в пяти работах в журналах их списка ВАК,список работ приведен в конце введения.7Структура и объёмДиссертация состоит из введения и семи глав. Текст диссертации изложен на 130 страницах.Список литературы содержит 38 наименований.Содержание работыВо введении формулируется цель работы, кратко излагаются её результаты и содержание, атакже освещается место данных исследований в современной теории интегрируемых систем.В первой главе вводятся основные понятия теории интегрируемых гамильтоновых систем,в том числе дано описание атомов – бифуркаций торов Лиувилля и построение инвариантаФоменко-Цишанга.Определение. Пусть (M14 , ω1 , f1 , g1 ) и (M24 , ω2 , f2 , g2 ) — две интегрируемые по Лиувиллю системы на симплектических многообразиях M14 и M24 , обладающих, соответственно, интегралами f1 , g1 и f2 , g2 .

Рассмотрим изоэнергетические поверхности Q31 = {x ∈ M14 : f1 (x) = c1 } иQ32 = {x ∈ M24 : f2 (x) = c2 }. Интегрируемые гамильтоновы системы называются лиувиллевоэквивалентными, если существует послойный диффеоморфизм Q31 → Q32 , который, кроме того,сохраняет ориентацию 3-многообразий Q31 и Q32 и ориентацию всех критических окружностей.Теорема. (А. Т Фоменко, Х. Цишанг) Две невырожденные интегрируемые гамильтоновысистемы на регулярных изоэнергетических поверхностях Q31 = {x ∈ M14 : f1 (x) = c1 } и Q32 ={x ∈ M24 : f2 (x) = c2 } лиувиллево эквивалентны тогда и только тогда, когда их меченыемолекулы совпадают.Классический биллиард это динамическая система, описывающая движение (материальной) точки в плоской области, ограниченной кусочно-гладкой кривой, углы излома которойсоставляют π2 .

Среди известных нетривиальных классов интегрируемых биллиардов – биллиард в компактной плоской области, ограниченной дугами софокусных эллипсов и гипербол(эллиптико-гиперболический биллиард), биллиард в области, ограниченной дугами софокусныхпарабол (параболический биллиард), а также класс обобщенных (локально-плоских) биллиардов, склеенных из областей, ограниченных дугами софокусными эллипсами и гиперболами,вдоль некоторых выпуклых граничных сегментов.Интегрируемость биллиарда в области, ограниченной эллипсом, следует из интегрируемости задачи Якоби о геодезическом потоке на эллипсоиде.