Диссертация (Некоторые задачи эволюции движения деформируемого спутника в центральном гравитационном поле сил), страница 7

Таким образом, возмущающая функции Рауса будетиметь вид:111R  (G, J G)  (G, J J J G)  (G, J G u ) 21100211100u  dx 2 22  R 3  [3(O 1R0 , r )(O 1R0 , u)  (r, u)]2dx  E[u] .(2.37)Ω2Мы будем писать уравнения Рауса только для канонических переменных,поэтому члены выражения (2.37), не зависящие от них, также можноопустить.

Функция Рауса примет вид:59R  R *   R 3  3(O 1R0 , r )(O 1R0 , u)  2 dx ,Ω2R *  1 (G, J 01G)  1 (G, J 01 J 1 J 01G)  (G, J 01Gu ) .2(2.38)2**Очевидно, что R * не зависит от углов 2 ,3 и потому R  R  0 . Уравнения 2  3Рауса для Ii примут видIi  i R *   R3{  3(i (O 1R0 ), r )(O 1R0 , u)2dx Ω2 3(OΩ21R0 , r )( (O 1R0 ), u)  dx} .i2(2.39)Заметим, что деформации упругой части, описываемые формулами (2.25),вызываются двумя основными причинами – силами инерции вращения исилами гравитации.

Силы инерции при быстром вращении спутника будутзначительно превосходить силы гравитации и будут вызывать быструюэволюцию вращательного движения, в отличие от медленной гравитационнойэволюции. Поэтому разобьем эволюцию на два этапа: быструю под действиемсил инерции вращения и медленную под действием гравитации.§ 2.5. Быстрая эволюция вращательного движения спутниковИз формул (2.37), (2.38) следует, что уравнения для I 2 , I3 будутI2  0,то есть переменные I 2 , I3 не эволюционируют.I3  060Получим уравнение для I1 . Будем искать решения уравнений длямодальных переменных, опустив члены с гравитацией и приняв ω  J 01G .Найдемω  ( A1 I 22  I12 sin 1, A1 I 22  I12 sin 1, C 1I1 )T ,  ( A1 I 22  I12 cos1 10 ,  A1 I 22  I12 sin 1 10 ,0)T .ω(2.40)Из формул (2.26) определимq00  0 ,p00  0 ,q10  12 ([b123  b132 ] A1C 1I1 I 22  I12 cos1  [b123  b132 ] A1 I 22  I12 cos1 10 ) ,(2.41)p10  12 ([b123  b132 ] A1C 1I1 I 22  I12 sin 1  [b123  b132 ]A1 I 22  I12 sin 1 10 ) ,q20   22b212 A2 ( I 22  I12 ) sin 21 ,p20   22b212 A2 ( I 22  I12 ) cos21.Из формул (2.41) вычислим производные:q00  0 ,p 00  0 ,(2.42)q10  12 ([b123  b132 ] A1C 1I1 I 22  I12 (  sin 1)10  [b123  b132 ]A1 I 22  I12 sin 1 102 ) ,p10  12 ([b123  b132 ] A1C 1I1 I 22  I12 cos1 10  [b123  b132 ]A1 I 22  I12 cos1 102 ) ,q20  2 22b212 A2 ( I 22  I12 ) cos 21 10 ,61p 20  2 22b212 A2 ( I 22  I12 ) cos21 10.Используя равенства (2.41), (2.42) и соотношения1   b10 , cos1  1, sin 1   b10 ,cos1   b sin1  cos1 cos1  sin 1 sin 1  cos(1  1).получаем значения модальных переменных:q0  0 ,p0  0 ,(2.43)q1  12 A2C 1I1 I 22  I12 [Cb123  (2 A  C )b132 ]cos(1  1) ,p1  12 A2C 1I1 I 22  I12 [Cb123  (2 A  C )b132 ]sin(1  1 ) ,q2   22b212 A2 ( I 22  I12 ) sin 2(1  1) ,p 20   22b212 A2 ( I 22  I12 ) cos 2(1  1).Далее находимJ 01J1J 01 1 2J11A1 A2J 211 2J12A1 A2J 221 1 1J 31A C1 1 1J 32A CJ13 A1C 11 A1C 1 ,J 23(2.44)1 2J 33C(G, J 01G u ) = ( J 01G,Gu ) = 1  A2I 22  I12 ( x2u3  x3u2 )sin 1  ( x3u1  x1u3 )cos1  C 1I1( x1u2  x2u1)  2dx .После громоздких вычислений, используя формулы (2.39), (2.40),(2.43), (2.44) получим уравнение для I1 :62I1  A1 I22  I12 2  {( x2u3  x3u2 )cos1  ( x3u1  x1u3 )cos1 2 A1 I 22  I12 ( x2u2  x1u1)sin 21  ( x1u2  x2u1)cos21  (2.45)2C 1I1 ( x2u3  x3u2 )sin 1  ( x1u3  x3u1)cos1 }dxВведем переменную 10  10t (угол 1 описывает вращение вокруг осисимметрии спутника).

Согласно уравнениям (2.35) она является быстройпеременной. Поэтому усредним уравнение (2.45) по переменной 10 .Отметим, что при усреднении все коэффициенты с номером k=0 пропадают,что означает, что деформации по формам с индексом 0 не влияют наэволюцию вращательного движения спутника. Уравнение (2.45) заменится наусредненное:I1   bA5C 12 (C  A) I1( I 22  I12 )[4( I 22  I12 )2  I121],(2.46)где1 12[b123  (2 AC 1 1)b132 ]2  0,22  22b212 0.Знак правой части уравнения (2.46) определяется знаком С–A. Если С>A, топроизводная I1  0 и переменная I1 монотонно возрастает, в случае С<Aпроизводная I1  0 и переменная I1 монотонно убывает.

Стационарнымидвижениями уравнения (2.46) будут I1  I 2 и I1  0 .Уравнение в вариациях для стационарного движения I1  0 будет иметь вид: I1  k 2 I24 I1,63гдеk   bA5C 1 2 (C  A) .Следовательно,стационарноедвижениеI1  0 будет асимптотическиустойчиво при С<A и неустойчиво при С>A.Уравнение в вариациях для стационарного движения I1  I 2 будет I1  2k 1I14 I1.Следовательно, стационарное движениеI1  I 2 будет асимптотическиустойчиво при С>A и неустойчиво при С<A.Таким образом, в результате быстрой эволюции вектор кинетическогомомента спутника G будет либо при С>A стремиться занять положениевдоль оси симметрии Cx3 (при I1  I 2 углы  2  0 , 1  0 - см.

Рис.4 ), либопри С<A стремиться занять положение в экваториальной плоскостиэллипсоида инерции (при I1  0 угол  2   , а угол 1  0 см. Рис. 4).2§ 2.6. Медленная диссипативная эволюцияРассмотрим случай медленной диссипативной эволюции вследствиедействия гравитационных приливов. Будем считать быструю эволюцию (вслучае C>A) закончившейся, и примем I1  I 2 , 1  0 .

Вычислим явнокоординаты вектора O 1 R  ( 1, 2 , 3)T . По формулам (2.32):64  cos  11 2   ( Γ 3 (3 ) Γ 1(1 ) Γ 3 ( 2 ) Γ 1 ( 2 ) Γ 3 (1) )  cos  .  0  3(2.47)Заметим, что Γ 3 (1)  Γ 3 (0)  E , Γ 1 ( 2 )  Γ 1(0)  E , поскольку  2  0 послезавершения быстрой эволюции.

Тогда  1 2    3 cos  cos2 cos  sin 2 sin  cos 1 sin 1 sin Γ 3T (2 ) Γ1T (1) Γ 3T (3 ))1  cos     sin 2 cos  cos2 sin  cos 1  ,0  (2.48)Здесь введен вспомогательной угол α:    3 .**Вследствие справедливости формул R  R  0 , уравнение (2.39) для I 2 , I 3 2  3упрощается и принимает видIi   R3{  3(i (O 1R0 ), r )(O 1R0 , u) 2dx   3(O 1R0 , r )(i (O 1R0 ), u) 2dx}, i  2,3 .Ω2Ω2(2.49)Перепишем еще раз уравнение (2.49), преобразовав его к виду:Ii  3 R 3{ Ω2[ 12 x1u1   22 x2u2 +  32 x3u3 i 1 2 ( x2u1  u2 x1)   1 3 ( x3u1  u1x3 )   2 3 ( x3u2  u2 x3 )]2 dx},i  2,3(2.50)Теперь надо вычислить значения нормальных координат для случаямедленной диссипативной эволюции и подставить их в уравнения (2.50).Будем искать нормальные координаты, используя (2.26) и при их вычислении65имея в виду, что выполняются условия I1  I 2 , 1  0, I 2  const, 1  const .Для кинетического момента G получимG  (0,0,C 1I 2 ), ω  J 01G, ω  0 .(2.51)Из (2.26) выведемq00  0 ,p00  0 ,q10  312 b123  b132   R3 2 3 ,p10  312 b123  b132   R3 1 3 ,(2.52)q20  6 22b212  R 3 1 2 ,p20  3 22b212  R 3 ( 12   22 ) .Уравнения (2.52) позволяют вычислить производные от qi 0 , pi0 :q00  0 ,p 00  0 ,q10  312 b123  b132    R 3 2 3 .p10  312 b123  b132    R3 1 3 .q20  6 22b212   R 3 1 2 p 20  3 22b212   R 3 ( 12   22 )..(2.53)66Отсюда выведем выражения для нормальных координатq0  0p0  0..q1  312 b123  b132    R 3 2 3   b   R 3 2 3 p1  3 12 b123  b132    R3 1 3   b   R3 1 3 q2  6 b22 212  R 3(2.54).

31 2   b   R  1 2  p2  3 22b212   R3 ( 12   22 )   b   R3 ( 12   22 ) ..Подставим формулы (2.53) в уравнения (2.50) и вычислим поотдельности выражения 2   ( 12 x1u1)dx  22i( 12 )[b212 p2 ] i2 2  (12 ) 3b212 22   R3 (12   22 )   b   R 3 ( 12   22 ) i2 ( 2u x )dx  0i 3 3 32 ( 22 x2u2 )dx  2  ( 22 )[b212 p2 ] ii22.  (2.55).  2 2  ( 22 ) 3b212 22   R 3 (12   22 )   b[ R 3 ( 12   22 )]  i672 i ( 1 2( x2u1  x1u2 ))dx  2  ( 1 2 ) 2b212 q2  i2. 2   R 3    b[ R3  ]   2  ( 1 2 ) 12 22b2121 21 2 i2 i (  ( x3u1  x1u3))dx  2 i (  ) b123  b132  p1 1 31 32.

 2  ( 1 3 ) 312 b123  b132 2   R3 1 3   b[ R 31 3 ]  i2 i (  ( x3u2  x2u3))dx  2 i (  ) b123  b132  q1 2 32 32.  2  ( 2 3 ) 312 b123  b132  2   R3 2 3   b[ R 3 2 3 ]   .iПоскольку мы планируем далее усреднить уравнения (2.50), чтобы выявитьэволюционныепроцессы,тоотбросимвравенствах(2.55)всенедиссипативные члены, и вместо равенств (2.55) запишем22222 ( 2 )   b  3b2  2[ R3 ( 2   2 )].

 ,2(  212 22 x2u2 )dx 212 ii 2  (2.56) (  ) 12  b 2b2 [ R3  ].  ,((xuxu))dx2 2121 2 2 i 1 3 i 1 2 2 1 1 2 (  ) 3 b 2 b  b  2 [ R 3  ].  ,((xuxu))dx1  123132 1 3 2 i 1 3 i 1 3 3 1 1 322 ( 2 )( b) 3 2b2 [ R3 ( 2   2 )].