Диссертация (Некоторые задачи эволюции движения деформируемого спутника в центральном гравитационном поле сил), страница 9

Поскольку от i зависят только члены12 (ω× (r +u))2  dxи (ω× (r +u))u  dxL   (ω× (r +u))2  dx  (ω× (r +u))u  dx . i i i13Запишем выражение первого члена формулы в двух эквивалентныхвидах12 (ω× (r +u))2  dx  1 (G  G , J 1(G  G ))  1 (ω, Jω) ,uu22где G – вращательный момент шара;J  J [u]– тензор инерциидеформированного шара в системе координат Сx1x2 x3 ; G u   (r + u)  u  dx .Справедливо равенствоG  ωT   (r + u) [ω  (r + u)  u ] dx  Jω  G u .Используя приведённые формулы, получим выражение функционалаРауса2R  MR  12 (ω, Jω)  12  u 2  dx   M  12  3 [(r +u)2  3(R 0, O(r +u))2 ] dx  E[u].R2R2Выражение MR   M представляет собой функцию Гамильтона задачи оR2движении точки в поле притягивающего центра, поэтому в переменных2 3 2 MДелоне MR    M2 , и функционал Рауса записывается в видеR22L8023R    M2  12 (G  G u , J 1(G  G u ))  12  u 2  dx 2L+12 R3 [(r + u)2  3(R 0 ,O(r + u))2 ] dx  E[u] .(3.2)Вектор G и матрица O выражаются через переменные АндуайеG  ( I 22  I12 sin1, I 22  I12 cos1, I1) ,O(t )   3 (3 ) 1(1) 3 (2 ) 1( 2 ) 3 (1) ,cos 3( )   sin  0 sin  0cos 0 ,011 1( )  00(3.3)00 cos  sin   .

.sin  cos Кроме того,(G  Gu, J 1(G  Gu ))  (ω, J [u]ω)  ( J 0ω, ω)  ( J1[u]ω, ω)  ( J 2[u]ω, ω) .Поскольку справедливо равенство( J 0ω, ω)   (ω  r) d    [( x23  x32 )2  ( x31  x13 )2  ( x12  x21 )2 ] dx 2 32 (x22 x12 ) dx  22  ( x32  x12 ) dx  12  ( x32  x22 ) d  A(12  22  32 ) ,A   ( x22  x12 ) dx   ( x32  x12 ) dx   ( x32  x22 ) dx ,то J 0 запишется в виде:J 0  diag( A, A, A),81где A – момент инерции недеформированного шара относительно егодиаметра. Аналогично вычислим( J1,)  2  (r  ω)(u  ω) dx  2  32 ( x2u2  x1u1)  dx  22 ( x3u3  x1u1)  dx  12 ( x3u3  x2u2 )  dx  23  ( x3u2  x2u3 ) dx  31  ( x1u3  x3u1)  dx  12  ( x2u1  x1u2 )  dx  ,откуда следуетJ1[u]  ( J ij(1) ), J 2[u]  ( J ij(2) ),J ii(1)  2  (ru  xi ui ) dx, J ij(1)    ( xi u j  x j ui ) dx, i  j.Наконец, вычислим последнее слагаемое( J 2[u]ω, ω)   (u  ω)2  dx  32  (u22  u12 )  dx 22  (u32  u12 )  dx 12  (u32  u22 )  dx 223  u2u3 dx  212  u1u2  dx,и потому,J ii(2)   (u2  ui2 ) dx, J ij(2)    uiu j  dx, i  j.82§ 3.2.

Уравнения движенияУравнения Рауса, определяющие движение шара, запишутся в видесистемыL  l R ;    g R ; H   h R ;(3.4)l   L R ; g   R ; h   H R ;Ii  i R ; i   I R ; i  1,2,3;(3.5) d ( R ) u R  D  λ  u  λ rot  u dx  0 .uu12 dt (3.6)iУравнение (3.6), представляет собой выражение принципа Даламбера –Лагранжа [12,13] и содержит два неопределённых множителя Лагранжа λ1 иλ 2 .

Для учёта сил вязкого трения в материале в это уравнение добавленградиент диссипативного функционала u D . Согласно модели Кельвина –Фойгта предполагается, что D[u ]   E[u ] , где χ – коэффициент внутреннеговязкого трения. Уравнение (3.6) с учётом (3.2) преобразуется так:d1(G  G )   u dx  u u dx (GG,Juu  dt u   d u (G  G u , J 1(G  G u )   u dx dt   3 [(r + u)  3(R 0,O(r + u))O1R 0 ]  λ1   u dx  R(3.7)83  (u E[u] u D[u ]) udx   λ 2  n   ud   0 ,где слагаемое с λ 2 (в предположении его независимости от координатx1, x2 , x3 )преобразовано(  rot Adx  n Ad )поформулеОстроградского–Гаусса λ 2rot udx λ 2  n  ud   (n  u)λ 2d   (λ 2  n) ud ,а также вычислены выражения12  ,  u   1     2( x u  x u  x u )  u 2  u 2  u 2  , u    (r  u,  u), u (ru)2 23 3123 3 2 R3  u  1 12  R3R2 30 , O( r  u)) 2  ,  u   3    (O 1 R0 ,[r  u] ,  u   3  (O 1R 0 , r  u)O 1R0 ,  u  u (Ru3 2 R3 2 R3R3( R0 , O (r  u))O 1R0 ,  u .3RСистему уравнений (3.4), (3.5), (3.7) будем решать приближённо,учитывая то, что если жёсткость шара устремить к бесконечности, тополучим абсолютно твёрдый шар, центр масс которого движется понеизменяющейся эллиптической орбите, а сам шар вращается равномерновокруг одного из диаметров.

Такое движение будем считать невозмущённым.Изменения этого движения ввиду конечной жёсткости шара будутпроисходить вследствие действия малых возмущающих сил и моментов,поэтому можно вначале пренебречь изменением орбиты шара и найти егодеформации, предполагая их квазистационарными (т. е. упругие свободные84колебания затухшими), а затем, подставив полученный вектор перемещенийв уравнения поступательно-вращательного движения (3.4) и (3.5), решать ихнезависимо от (3.7). Для этого упростим уравнение (3.7), отбросивинерционный член, а также учтя равенствоJ 1[u]  ( J 0  J1[u]  J 2[u])1  J01  J 01J1[u]J 01  ... ,гдеJ 01  A1E , E  diag{1,1,1}; J1[u]  dJ [u] | 0 .dУпростим уравнение (3.7) преобразовав выраженияdu (G  Gu, J 1(G  Gu )   u dx , dtdu (G  Gu, J 1(G  Gu )   u dx . dtВычислив, получимdd  11  dt u (G  G u , J (G  G u )   u dx    dt  J0 G  r   udx ,  u (G  Gu , J1(G  Gu )   u dx A2  G [G  r]  udx .Уравнение (3.7) в результате преобразований примет видd1G  r    A2 [ dt  J0G [G  r]  u E[u]  u D[u ]  r3  3(R 0 , Or )O1R 0  λ1] udx   (λ 2  n) ud  0 .3RR(3.8)85Покажем теперь, что оба множителя Лагранжа равны нулю.

Положим,что виртуальное перемещение  u   α  (r  u) – поворот тела как твёрдого.Тогда, поскольку при невозмущённом движении G = const , получимd1G  r   udx  0 . dt  J0При вращении шара как твёрдого тела работа упругих и диссипативных силравна нулю, поэтому слагаемые с упругим и диссипативным функционаламив (3.8) также исчезают. Поскольку (3.8) должно выполняться и при u = 0,следовательноr  udx  r  α  rdx  0 , 33 R R3 (R 0 , Оr)(О 1R 0 , α  r)dx  0 ,3 R22 A G [G r]  ( α r)dx   A  α  G,r)(G  r   dx  0 , λ1( α  r)dx  0,отсюда (λ 2  n) ud  0 , что приводит к выражению (λ 2  n) ud  λ 2  [ α(n,r)  r(n, α)]d  (λ 2 , α)  rd  λ 2  rr1(r, α)dВ последнем равенстве учтено, что n  r / r . Вычислим интегралы.

Найдемd 1  z x2  z y2 dxdy  1 x2  y 2dxdy,r02  x 2  y 2.86 rd 22x  y z2x2  y21  2 2 2 dxdy  2r02r0  x  y2r0 d 001  rdr  4 r03,2 2r0  rгде для удобства обозначено x  x1, y  x2 , z  x3 , r0 – радиус шара, и затемсделан переход в полярные координаты r λ2 rr1(r ,  α ) d  x 2  y 2 , .Далее запишем1( x  2 y y  2 z z)( x x  y y  z z )d .r 2xТак как все слагаемые, имеющие сомножители вида xy,xz,yz дают нуль приинтегрировании по сфере, и имеет место очевидное равенствоx2y2z2dd r r r dто интеграл преобразуется к видуx2( λ2 , δα)  d ,r2 r0x2x2d2 r r 2  r 2 dxdy  2 000r 2    4  r03 .cos2  rdrd2 23r0  rВ итоге, получим2 rd  4 r0 ,откудаλ2 rr1(r,  α)d 43  r02 (λ 2 , α) ,2 (λ 2  n) ud  83  r0 (λ 2 , α)  0 , и следовательно, λ 2  0 .Покажем теперь, что и λ1  0 .

Допустим,  u  a – произвольныйвектор. Тогда опять сумма работ упругих и диссипативных сил равна нулюпри перемещении тела как твёрдого. Далее вычислим87 radx  0 (R0 , Or)(O1R 0 , a)  dx  O 1R 0 r dx  (O1R0 , a) 0 G [G  r]adx  (G [G   r dx],a)  0откуда следует λ1adx  0,а поэтому и λ1  0 .Перепишем (3.8) таким образом: A2 G [G  r]   u E[u]  u D[u ]  r3  3(R0 , Or)O1R 0  0 .3RR(3.9)Будем искать решение (3.9) в виде ряда по малому параметру   E 1 (E– модуль Юнга материала шара)u   u1   2u2  ...

,(3.10)ограничившись первым членом. Воспользовавшись соотношением r  3 (O1R0 , r)O1R0   2 r  3 [O 1R0 [O1R0  r]]R3R3R3R3и равенством (3.10), преобразуем уравнение (3.9) к видуE[u1]  E[u1]  A2 I22  e2 [e2  r]    2 r3  3[O1R 0 [O1R0  r]]3RRE[u1]  [u1 1 grad div u ] 11 2(1  )(1  2 )(3.11)Граничные условия функции u1 записываются в виде  n  0 вобласти  , где  – тензор напряжений. Уравнение (3.11) –линейно,поэтому его решение можно представить как сумму частных решений88u1(r, t )  u11(r)  u12 (r, t )  u13(r, t) ,удовлетворяющих уравнениямE[u11]  A2  I 22[e2 [e2  r]],E[u12 ]  E[u 12 ]   23 r ,R(3.12)E[u13 ]  E[u13]   3[O 1R0 [O1R0  r]] .3RРешения (3.12) приведены в работе [12]:u11(r )   I 22 A2 3 (1) 1( 2 )u*( 1( 2 ) 3 (1)r) ,u12 (r , t)  2 R 3 (1 )(1 2 ) r 2  3  r02  1   3 R l r;R l 1   10(1  ) u13 (r , t )   (  )nn0 n u130 (r , t),t nu130 (r , t)  3 R 3O11(t)u*(O1(t )r ) 1  3 R l ,R l O1(t )  0 13 ()1(i)3 (h)O(t ) , 01 0 1 00 0 1 ,1 0 0u*(r)  [( B1r,r )B2  ( B3r,r)B4  B5]r, B1  diag{b1, b2 , b3},B2  diag{1,1,0}, B3  diag{a1, a2, a3}, B4  diag{0,0,1},B5  diag{c1, c2 , c3}, b1  (4  3  5 2 ) ( ),(3.13)89b2  (9  8  5 2 ) ( ), a1  2(3  ) ( ), a2  (1  3 ) ( ), ( ) 2231 , c1  r02 12  8 12 2 , c2  r02 3  18  3 102 .5(1  )(5  7)35 10  2535  10  25Функция u11(r ) описывает осесимметричную деформацию вследствиедействияцентробежныхсилинерции;функциясферически-симметричную деформацию, аu13 (r , t )u12 (r , t )описывает- нестационарнуюдеформацию (вследствие гравитации).Исследуем вначале влияние частного решения u11(r ) на эволюциюдвижения шара.

Подставим u(r, t ) ~  u1(r, t) в выражение (3.2) функционалаРауса и сохраним слагаемые, содержащие ε в степени не выше первой. Вчастности,1  (r  u)2  dx  3  A   r u  dx ,12 R3 4 R3 R3 33A021010 3  (R , O(r  u))  dx   3   2  (O R , r)(O R ,u1)  dx  ,2R 2R 21 (G  G , J 1(G  G ))  I 22  A2 (G, J [u ]G)  A1 (G, G' ) .uuu1 122A2В последней формуле второе слагаемое преобразуем2 A  (G, J1[u1]G)   A2  [r  G][u1  G] dx ,2после чего функционал Рауса запишется как2M 3 I 2R 2  A2  [r  G ][u1 G ] dx  A1  G(r  u 1)  dx 22A2L90 3  [3(O1R 0 , r)(O1R 0 , u1)  (r, u1)] dx .R (3.14)Уравнения Рауса для углов g и h (или эквивалентно – для ω и Ω)получим, приняв u1  u11 .