Диссертация (Некоторые задачи эволюции движения деформируемого спутника в центральном гравитационном поле сил), страница 8

2(xu)dx 2 21212 2 i 1i 1 1 126822 (  ) 3 b 2 b  b  2 [ R 3  ].  .(2 3 ( x3u2  x2u3 ))dx 21  123132 2 3 ii 2 3 Здесь вместо знаков равенств использованы стрелки, чтобы показать на какиевыражения были заменены первоначальные слагаемые при отбрасывании недиссипативных членов.В результате уравнение (2.50) перепишется в виде.Ii  3 b R32 31 [ R3 (1 3 )].32 [ R3 (12   22 )].

 (  ) (1 3 )2 3  [ R 3 ( 2 3 )]ii . (  )  (12   22 )1 2   , k  2,3 . 4[ R31 2 )]ii  (2.57)Здесь введены обозначения21 12 b123  b132   0, 2  2  0Уравнения (2.57) все еще слишком сложны, поэтому усредним их по быстройпеременной  20  20t (угол 2 описывает прецессию оси симметрии спутникавокруг вектора кинетического момента G). Для этого воспользуемсяследующими равенствами: 32  3 0, 2 2 1 ,2 2 2  1,2( 1 3 )  2 2 ,2( 1 2 )20 32  sin 2 sin2 1 ,3 0,( 2 3 )  1 3, 2 22 2 0.2069После весьма громоздких вычислений получим:I2  9  b 2 R 6 2 20 sin 4 1 sin 2  cos2  ( 1  42 )  sin 2   1 sin 2 1 cos2 1  42 (cos4 1  1)   4 2   sin 2 1 sin 2  (4 2  1)  4 2  cos 1  42 (2.58)I3  9  b 2 R 6 2  R 1R sin 2 1 sin2 3sin2 1 cos2  ( 2  1) 3sin 2   1 1  cos2 1( 2  1)  220 cos 1 sin 2 1 sin2  (42  1)  42   4sin4 1 sin2  (2  1)  cos2 1(42  1)  1 .Уравнения (2.58) описывают эволюцию вращений спутника на минимальномпромежутке времени порядка одного оборота центра масс спутника поорбите.

Эти уравнения сложны для анализа, поэтому для выделения главныхэффектов медленной диссипативнойэволюции, проведем еще одноусреднение уравнений (2.58) по переменной   0t . При усреднении следуетиметь в виду равенстваdt  01d ,d.pR   1 e cos  p  a 1 e2  .1  e2 3/ 21  e cos 2d ,pesin   ,(1  e cos )270ВычислимR 6 cos2  sin 2 R6 sin 2 R624 p 61(e), 1(e)  1 (1  e2 )3/2  1  3e  e (5  2sin 2 23 ) ,42 32224 2 (e)  1 (1  e2 )3/2  1  3e (1 2sin 2 3 )  e (1  4sin 2 3 )  ,44162 p6 2 (e),3 (e)  (1  e2 )3/2 1  3e2  3 e4  , p63 (e),R6 sin2 8(2.59) 0 p 6 4 (e), 4 (e)  1  15 e2 (1  2sin2  3 )  15 e4 (1  4sin 2 3 )  5 e6 (1  6sin 2 3 ),2R6816 0 p 65 (e),R 7 R sin 2 cos2 R7 R sin 2 0 p6 6 (e), 0 p 67 (e),R 7 sin 2  cos2 1285 (e)  1  15 e2  45 e4  5 e6 ,2816 66 6 (e)  1 5  e2  e4  e  cos23   5 e4  e  cos43  ,48  16 8 6 7 (e)  5  e2  e4  e  cos23 ,4 16  0 p68 (e),68 (e)  1  1  15 e2  15 e4 (5  2sin 2 23 )  e (7  6sin 2 23)  ,4  2 43264Используя (2.58) выпишем результирующие усредненные уравненияI2  k  I 2 sin 4 1( 1  42 )1 (e)  [1 sin 2 1 cos2 1  42 cos4 1 1 ]2 (e) 42 3(e)  C0 cos1 sin 2 1(42  1) 4 (e)  42 5 (e)  ,(2.60)71I3  k C0 sin 2 1 3sin 2 1 ( 2  1) 6 (e)   3  1 1  cos2 1( 2  1)  0 (1  3sin 2 1)  7 (e)  2 I2 cos1 sin 2 1(42  1) 2 (e)  423(e)  C0 4sin4 1( 2  1)8 (e)  [cos2 1(42  1)  1] 7 (e) ,где обозначеноk  9  b 2 p 6 2C 1 .Уравнения (2.60) позволяют изучать эволюцию вращений на временахпорядка периода прецессии вектора G вокруг нормали к плоскости орбитыцентра масс.Получим из уравнений невозмущенного движения (2.35) уравнение дляугла 3 .

Подставляя выражение для  3 и дифференцируя, имеем3  3 R3( A  C ) I 21 cos1 sin 2  .Усредняя по переменной   0t , получаем приближенное уравнения для 3 :3  3  p 3(1  e2 )3/2 ( A  C ) I 21 cos1 .2Из выражения для производной угла 11 I2 I 3  I3 I 2I 22 1  I 32 I 22(2.61)72и формул (2.60), (2.61) видно, что она пропорциональна, в отличие от 3 ,малому параметру χ, то есть угол 1 изменяется значительно медленнее угла3 .

Кроме того, из формул (2.59) видно, что в течение одного оборотавектора G вокруг нормали к плоскости орбиты, угол 1 совершает колебанияс частотами 23 и 43 относительно некоторого среднего значения 1 . Будемрассматривать эволюцию вращений на временах существенно превышающихпериод прецессии вектора G, для чего усредним уравнения (2.60) по углу 3на периоде π . Имеем1(e)4 1 (1 e2 )3/ 2 1  3e2  3e  ,8 3 8 2 ( e)3 4 1(e) 4 ( e) 5 ( e)6 (e) 8 ( e)3, 3(e)  8 1(e) ,33 1 1  15 e2  45 e4  5 e6  ,3 2 2816 3 2 4 ( e) ,33  7 ( e) 0,3(2.62) 1  4 ( e) .3 43С учетом (2.62) усредненные уравнения (2.60) запишутся в видеI2  k I21(e)  1(1  2 x 2  3x 4 )  4 2 (3  2 x2  3x4 )  C0 4 (e) x 42 (1  x 2 )  1(1  x 2 )  ,I3  k 4 I 21(e) x (42  1)(1  x2 )  82  73 C0 4 (e) ( 2  1)(1  x 2 )2  2 (4 2  1) x 2  1    ,(2.63)x  cos1 .Заметим, что у нас выполняется предположение о том, что орбитальнаяугловая скорость много меньше угловой скорости вращения спутника1 C0 1,I2то естьC0  1I 2 .С учетом вышесказанного получим еще уравнение для x:.x  (cos1).I  xI 2 ( I3 / I 2 )  3I2,откуда следуетx  k 41 x[42 (1  x 2  2)  1(1  x 2 )] 1 x[42 (3  2 x2  3x 4 )  1(1  2 x2  3x 4 )] 1 4 (1  x2 )2 ( 2  1 )  2  x 2 (42  1 )  1   (2.64)1 4 x 2 42 ( x 2  1)  1(1  x 2 ) .Функция f ( x)  1  2 x2  3x4 имеет корни 1,-1 и положительна при -1<x<1 афункция f1( x)  3  2 x2  3x4  0 всегда.

Поэтому I2  0 и I 2 убывает – осевоевращение спутника замедляется. Из уравнения (2.64) следует, что знак xопределяется двумя первыми слагаемыми (2.64). Перепишем их в виде1 x[42 (1  2 x 2  3x4 )  31(1  x 2 )2 ] .74Выражение в квадратных скобках положительно при -1<x<1, поэтому знаквыражения определяется знаком x. Если x>0, следовательно, x  0 , и cos1убывает, то есть угол 1 растет, значит растет угол между G и нормалью кплоскости орбиты, вектор G наклоняется к плоскости орбиты. Если же x<0,то x  0 , следовательно, cos1 возрастает и угол 1 уменьшается. Посколькуугол 1 - тупой, то при убывании угла происходит переворот из обратноговращения в прямое. Определим стационарные значения угла 1 , обозначивего через 10 .

В этом случае I3  xI2  0 , и считаяx0  cos10 ~ 1 , в первомприближении получим:e)[1  2 ]x0  1 (4e()[4,  3 ]1210  arccos( x0 ).1Заметим, что уравнение (2.64) имеет еще два стационарных значенияx1  1, x2  1 . Уравнение в вариациях для первого корня имеет вид x  2k 42[41(e)  14 (e)]  114 (e)  x,x  1   x .Выражение в круглых скобках положительно, следовательно, первоестационарное решение – неустойчиво.

Уравнение в вариациях для второгокорня имеет вид x  2k 42[41(e)  14 (e)]  11 4 (e)  x,x  1  x .Выражение в круглых скобках опять положительно, следовательно, и второестационарное решение – неустойчиво.75ГЛАВА 3. БЫСТРЫЕ ЭВОЛЮЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫВ ЗАДАЧЕ О ПОСТУПАТЕЛЬНО ВРАЩАТЕЛЬНОМДВИЖЕНИИ ДЕФОРМИРУЕМОГО СПУТНИКА§ 3.1. Постановка задачиРассматривается задача о поступательно-вращательном движениивязко-упругого шара в центральном гравитационном поле сил (рис. 5). Шар –однородный и изотропный, представляет собой достаточно жёсткое твёрдоетело, деформации которого малы, а частоты собственных колебаний намногобольше угловой скорости вращения. Отметим, что даже незначительнаяупругая податливость приводит к изменению моментов инерции тела и к«перекосу» центрального эллипсоида инерции относительно связанной стелом системы осей.Пусть недеформированный вязкоупругий шар занимает область Ω винерциальной системе координат.

Движение точек шара задаётся векторнымполем ξ = ξ (r, t)ξ(r,t ) = R(t )+ O(t)(r + u(r, t ));R = 1  ξ  dx;  u  dx =  rotudx = 0;MΩΩΩM=   dx, dx  dx1dx2dx3(3.1)76Рис 5. Инерциальная, Кёнигова и вмороженная системы координат77Соотношения (3.1) однозначно определяют радиус-вектор R (t ) центра массC деформированного шара и систему координат Сx1x2 x3 , относительнокоторой шар в интегральном смысле не вращается. Матрица O(t) определяетпереход от системы координат Сx1x2 x3 , связанной с шаром, к осям КёнигаС123 . Величина u представляет собой вектор упругих перемещений.Предполагается, что величины ui x j малы и деформированное состояниетела можно описывать теорией упругости малых деформаций [26], поэтомуфункционал энергии упругих деформаций представляется в виде [12]E[u]   a(I E2  a1II E )dx, a  0; 0  a1  3;a E(1 ) ; a  2(1 2 ) ,2(1 )(1 2 ) 1 (1 )3ui; II Exi 1 iIE  3  u  ii j  xi u1  i4  x ju jxi2 ,где E и ν – модуль упругости Юнга и коэффициент Пуассона соответственно.Согласно теореме Кёнига кинетическая энергия представляется в виде 2  1 [ω×(r +u)+u 2 ] dx ,T M R22 где ω – вектор угловой скорости шара.78Раскладывая в ряд потенциальную энергию гравитации по степеняммалого параметра 1 , | r / R |~ 1 , | u/R |~ 12 и оставляя члены не выше 12 ,запишем    M  12  3 [(r +u)2  3(R 0 , O(r +u))2 ] dx ,RRгде  – гравитационная постоянная.Дляописанияпоступательно-вращательногодвиженияшаравоспользуемся переменными ДелонеL  M  a ;   M  a(1 e2 );  cos i  H ;l  w  e sin w; g  ; h  ,(где a, e, i,  ,  – обычные кеплеровские элементы орбиты) и Андуайе –I1, I2 , I3 ,1,2 ,3 .

Уравнения движения представим в форме уравнений Рауса[12,41]. Если обозначить через qi , pi обобщённые координаты и импульсы, тофункционал Рауса R[L, ,H,l,g,h,I1, I 2 , I3,1,2 ,3, u,u ] можно представить как3R   pi qi  L   L qi  L  L l L g  L h   L i  (T    E ) ,qil gh i 1 i зависит только от обобщённой скоростигде L – лагранжиан. Заметим, что Rl ,ипотомуL  L  0 .h g 2  L l L g  L h  L l    MR 2,l  MRl ghll  2 Отсюдатаккакследует,2MR2–чтооднородная79функция 2-й степени по l .