Диссертация (Некоторые задачи эволюции движения деформируемого спутника в центральном гравитационном поле сил), страница 4

Уравнения Лагранжа, Гамильтона и РаусаКроме вариационных принципов (1.1), (1.2) возможно также применениеметода Лагранжа для получения уравнений движения механической системы.Пусть голономные связи заданы соотношениями [12]:F [r , t ]  0, F [r , t ]: Y  R1  K , K  X .(1.21)Здесь Y – область определения отображения (1.21), K – функциональноепространство. В сплошных средах (1.21) может иметь смысл граничныхусловий (заданы перемещения некоторых подмножеств области Ω), а такжеусловий сохранения объемов (площадей, длин) при движении среды.27Связи (1.21) могут,вообщеговоряговоря,определятьклассдопустимых функций, описывающих движение системы.

Отображение (1.21)дифференцируемо и задает конфигурационное пространство системы(конфигурационное многообразие)M  {r : r  Y , F [r, t ]  0}.(1.22)Возможные перемещения есть векторы из касательного пространства Tr M : r  Tr M  { r :  r  Y , ( r F [r, t ],  r )  0}.Структурадифференцируемогомногообразияпредполагает(1.23)наличиелокальных координат на M [28]:q(r0 )  B, r  M , r  r ( q, t ).(1.24)Здесь B – линейное функциональное пространство, а отображение (1.24) ипереводит область в B в открытое множество на M. Функции q  B играютроль независимых лагранжевых координат на M.Полагая q  q(r0 , t ) и выполняя известные преобразования, представимпринцип Даламбера – Лагранжа и уравнения Лагранжа второго рода в виде[12,53]:d  dt (qT )  qT  Q  qd   0,d(q T )   qT  Q , Q  f qr.dt(1.25)28Здесь  qT , qT обозначают градиенты функционала кинетической энергииT [q, q, t ] по соответствующим аргументам, Q – обобщенные силы.

Первоесоотношение (1.25) понимается в смысле распределений (обобщенныхфункций) на отрезке времени [0,T], а второе – в смысле распределений наотрезке времени [0,T], со значениями в В' – пространстве, сопряженном к B.Соотношения (1.25) справедливы для идеальных связей, для которых верноравенствоT  R rd dt 0 .(1.26)0Заметим, что реакции связей понимаются как обобщенные функции на отрезкевремени [0,T] со значениями в Y'. Определение идеальных связей (1.25)годится для случая активных сил, имеющих характер ударной нагрузки.Замечание1.Функционалкинетическойэнергиипредставляется в формеT [ q , q, t ]  T2 [q, q, t ]  T1[ q , q, t ]  T0 [q, t ] ,гдеT2 [q , q, t ] 21qr ( q, t )  q  d  ,2T1[q , q, t ]     qr ( q, t )  q 2rT0 [q, t ]     d  ,t rd ,tT [q, q, t ]29где Tn , n=0,1,2 есть однородные функционалы степени n относительнообобщенных скоростей q .Замечание 2.

В случае, если существует функционал потенциальнойэнергии [ q, t ] , то функционал Лагранжа определяется формулойL[q , q, t ]  T [q , q, t ]  [q, t ] ,(1.27)и уравнения Лагранжа записываются в видеd(q L)   q L  0.dt(1.28)Определяя обобщенные импульсы p c помощью преобразования Лежандраr p  q T  ( qr )T  qr  q   .t Из(1.29)можноA[q, t ]  ( qr )T ( qr )выразитьqчерезp,(1.29)поскольку операторположительно определен, самосопряжен и имеетобратный оператор.Функционал Гамильтона и канонические уравнения Гамильтонапредставятся в виде [12,53]:   T    |q q ( p,q,t ) ,H [ p, q, t ]    pqdp   q H  Q* ,q   p H ,Q*  Q(q , q, t ) |q q ( p ,q ,t )(1.30)30Первое уравнение в (1.30) понимается в смысле распределений на [0,T]со значениями в B’, а второе – в смысле распределений на [0,T] со значениямив Tq B .

В зависимости от свойств массовых сил функционал потенциальнойэнергии [ q, t ] или обобщенные силы Q* могут равняться нулю.Канонические уравнения Гамильтона (1.30) при Q*  0 являютсяэкстремалями функционалаTpqdH[p,q,t] dt ,  0 при условии, что вариации  p (0)   p(T)   q(0)   q(T)  0 (принципнаименьшего действия в форме Пуанкаре).Функционал Рауса и уравнения Рауса являются соответствующимиобобщениями из классической механики. Они удобны для применения вслучае,когда,например,механическаясистемаимееткоординаты,определяющие ее движение как целого, и деформируемую часть, положениеточек которой требует нахождения упругих перемещений u.

Если q, p координаты и импульсы, описывающие движение как целого, то функционалРауса представляется в видеR[ p, q, u , u, t ]    pq  L[ p, q, u , u, t ] |q  q ( p ,q,t ) ,а уравнения Рауса распадаются на две группы - первуюp   q R[ p, q, u , u, t ],q   p R[ p, q, u , u,t ],(1.31)31уравнения которой имеют форму уравнений Гамильтона, иd(u R )  u R  0,dt(1.32)вторую, в которой уравнения (для перемещений) имеют форму уравненийЛагранжа второго рода.32ГЛАВА 2. ЭВОЛЮЦИЯ ВРАЩЕНИЯ СПУТНИКАС ПОЛУСФЕРИЧЕСКОЙ АНТЕННОЙ,ДВИЖУЩЕГОСЯ ПО ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЕ§ 2.1.

Постановка задачиРассматриваетсязадачаобэволюциивращательногодвиженииспутника, несущего полусферическую антенну (рис. 1) и движущегося поэллиптической орбите вокруг притягивающего центра. Спутник состоит изтвёрдой части, соединённой тонкой ножкой с вязкоупругой полусферическойантенной. Предполагается, что твёрдая часть спутника является однороднойи осесимметричной, причем ее ось симметрии совпадает с осью симметрииполусферической антенны (при отсутствии деформаций). Центр массспутника движется по эллиптической орбите вокруг притягивающего центра,причеморбитапредполагаетсянеизменной.Антеннапредполагаетсяоднородной и изотропной, представляющей собой достаточно жёсткоетвёрдое тело, деформации которого малы, а частоты собственных колебанийнамного больше угловой скорости вращения спутника.Пусть твердая часть спутника занимает область 1  E 3 , а вязкоупругаяантенна занимает область 2  E 3 , при этом области1и2имеют общуюграницу ненулевой площади, на которой перемещения точек упругой частиравны нулю.

Весь спутник занимает область   1  2 , его плотностьобозначим через  , при этом   1 , когда точка принадлежит твердой частии    2 , когда принадлежит упругой.33Рис 1: Спутник с полусферической антенной34ВинерциальнойсистемекоординатO123сначаломвпритягивающем центре O орбита центра масс спутника лежит в плоскостиO12 . Движение центра масс С спутника задаётся его радиус-векторомR = R 0 R,R 0 = cos ξ10  sin ξ02 ,2 (1  e cos  )  0,(1  e2 )3/2(2.1)a(1  e 2 )R.1  e cos Здесь обозначено: 0 - среднее движение центра масс спутника, e, a –эксцентриситет и большая полуось орбиты, -истинная аномалия, ξ0i - орт пооси Oi , i  1,2,3 .Пусть точка C - центр масс недеформированного спутника, а осисистемы координат C x1x2 x3 направлены по его главным центральным осяминерции (в недеформированном состоянии) и жестко связаны с твердойчастью.

При этом ось C x3 является осью динамической симметрии исовпадает с осью симметрии антенны. Пусть uC - радиус-вектор центра массС относительно C , а оси Cxi параллельны осям C xi (i=1,2,3). Радиус-векторпроизвольной точки спутника относительно точки C будет равенr  u,а относительно центра масс С будет равенr  u, u  u  uC , uC  M 1   2 udx.235u и uЗдесь M=   dx – масса спутника;-соответственно векторперемещений частицы упругой части спутника относительно системкоординат Cx1 x2 x3 и C x1x2 x3 , занимавшей в недеформированном состоянииTположение r  ( x1 , x2 , x3 ) . Обозначим координаты вектора u в системекоординат Cx1 x2 x3 через u1, u2 , u3 .Будем использовать модель линейной теории вязкоупругости малыхдеформаций.

Функционал потенциальной энергии упругих деформацийпредставим в видеE[ u]  edx, dx  dx1dx2dx3, e 2aeij  12 (uij  u ji ), uij mnij emn eij ,m . n ,i , jui,x jа диссипативный функционал какD[u ]   bE[u ] .Здесь обозначено, e  e(u) – удельная потенциальная энергия упругихдеформаций,представляющаяквадратичнуюКоэффициентыформусобойкомпонентположительнотензорамалыхопределеннуюдеформацийeij .amnij постоянны и симметричны по первым двум ипоследним двум индексам.Заметим,что,вообщеговоря,функционалдеформаций должен зависеть от перемещенийкоординатэнергииупругихu относительно системыC x1x2 x3 , связанной с центром масс недеформированного36спутника, и неподвижной относительно твердой части, то есть E  E [u] . Но,поскольку вектор uC не зависит от координат xi , то следовательноu  ( u  uC ) u,xixixiи можно записатьE[ u]  um un   ui u j 1adx mnij   m4xxxx.