Диссертация (Некоторые задачи эволюции движения деформируемого спутника в центральном гравитационном поле сил), страница 3

Деформации будемзадавать линейным отображениемdR  Jdr , J  J ij , J ij   ij  uij ,uij   ui / x jгде(i , j  1, 2,3),(1.4)R  r  u, r  ( x1 , x2 , x3 ),  ij - тензор Кронекера. Отображение (1.4)преобразует окрестность точки r при деформациях.17Лемма. [12,13,22]. Оператор J представим в виде:J  O1O2 , O1 , O2  SO(3),   i ij , i  0.Здесь O1 , O2 - ортогональные операторы, принадлежащие группе вращенийSO(3)трехмерногоевклидовогопространстваE3 .Приконечныхдеформациях частицы среды преобразование, описываемое оператором J,состоит из вращения ее как твердого тела, задаваемого матрицей O2 ,растяжения-сжатия(собственнодеформации)потремвзаимноортогональным направлениям (матрица  ) и вращения как твердого тела(деформированной частицы), задаваемого матрицей O1 .Тензор C  J  J Tносит название тензора Коши-Грина, а тензорEˆ  1 2 (C  I ) - тензора конечных деформаций (или Коши).

Через I обозначенединичный тензор  ij .В теории упругости удельный потенциал упругих деформаций в общемслучае неоднородной неизотропной среды задается в виде:E  E (r , O, 1 , 2 , 3 ), r , O  SO(3),(1.5)где r – лагранжевы координаты частицы среды (в задачах теории упругости,как правило, требуется найти смещения индивидуальных частиц среды,например, изменение формы внешних границ твердого тела и поэтомуиспользуются переменные Лагранжа), O(r ) - ориентация репера, связанногос частицей, по отношению к инерциальным осям, i (i  1, 2,3) - главныеудлинения при деформации частицы.18Собственные числа i выражаются через инвариантыI , II  , III тензора конечных деформаций3Eˆ   ij ,  ij  12 (uij  u ji   ukiukj ),k 13 3I  tr  ij    ti  12   i2  3  ,t 1 t 1(1.6)3 3 2 2II    ( ii jj   )    i  j  2 i2 3  ,t ji j i j32ij14III  det  ij  18  12  1 22  1 32  1 .Из (1.6) следует, что для удельного потенциала упругих деформацийсправедливоEˆ  Eˆ (r , O, I  , II , III  )  0,Причем равенство нулю достигается только при I  II   III  0, то естькогда оператор J принадлежит группе вращений трёхмерного пространства.Потенциальная энергия упругих деформаций среды представляет собойфункционал видаE[u]   E (r, O,uij )dx, dx  dx1dx2dx3 .(1.7)Здесь учтено, что d    dx, где  (r ) - плотность тела в естественномсостоянии, dx – объём элемента среды.19Далее будем рассматривать только однородные изотропные среды, длякоторых исключается зависимость удельной потенциальной энергии оториентации репера и явное вхождение в ее выражение координат точексреды.

Тогда (1.7) представится в виде [12,13]:E[u]   E (uij ) dx.Сила взаимодействия между двумя частицами в классической механикеимеет вид F  F(|r|,(r, r ))r , где r - взаимный радиус-вектор частиц. В случаеупругих сил отсутствует второй аргумент функции F . При рассмотрениинапряжений в сплошной среде, возникающих при движении одних элементовсреды относительно других (называемых вязкими напряжениями, илинапряжениями вязкого трения) остается зависимость только от второгоаргумента.

Из определения тензора конечных деформаций(dR,dR )  ((2 E  I )dr, dr),и далее ,dR )  (E dr , dr ),(dRТо есть диссипация энергии зависит от тензора скоростей деформации E ,точнее от его инвариантов [6,12,13]203I   ii 312i 1 (mi umi )umi ,i , m13II    (ii jj  ij2 ), III  det ij ,i j3ij  1 2 [uij  u ji   (umiumj  umjumi )].m1В случае однородного изотропного тела диссипативный функционал будетиметь вид:D[u, u ]   d (iij , uij )dx(1.8)Функционал(1.8)неотрицателен,инвариантенотносительногруппывращений-перемещений трехмерного пространства и обращается в нультолько тогда, когда деформированный объем среды перемещается впространстве как твердое тело.§ 1.3.

Малые деформации. Функционал потенциальнойэнергии малых деформацийРассмотрим модель линейной теории упругости малых деформаций(около недеформированного состояния). Если вектор перемещений u  u(r , t )незначительно меняется при изменении r, то частные производные uij малы иговорят, что имеют место малые деформации. Предполагается, что величиныuij порядка малого параметра ε, а uijumn порядка  2 , поэтому ij  12 (uij  u ji )  O ( 2 ).21Тензор ij  12 (uij  u ji )называетсялинеаризованнымтензоромдеформаций.

Функционал потенциальной энергии упругих деформацийпринимает вид3E[u]  aijmn ij mn dx,(1.9) i , j , m, nПричём имеет место неравенство:3E (uij )  c1   ij2 , c1  0.i , j 1Аналогично выписывается диссипативный функционалD[u ]  3dijmnijmn dx, i , j , m ,nij  12 (uij  u ji ).(1.10)В случае однородной изотропной среды в формулах (1.9) и (1.10)коэффициенты aijmn иdijmn постоянны, симметричны по первым двум ипоследним двум индексам, а также поих парам. Соответствующиеквадратичные формы положительно определены по переменным  ij и ij .Тогда (1.9) можно переписать так23 3E[u]   Edx, E (uij )   /2    ii      ii2 , i 1 i 1(1.11)где  ,  - коэффициенты Ламе. Аналогично можно представить и (1.10)22Линеаризованные постановки составляют основу теории упругости врамках малых деформаций.

Для упругого тела перемещения его точекопределяются как функции координат при решении линейных уравнений вобласти недеформированного состояния с линеаризованными граничнымиусловиями. Пусть область  , занятая упругим телом в естественномсостоянии, имеет границу  . Диссипативные силы будем предполагатьотсутствующими. Уравнения движения тела относительно инерциальногопространства можно получить из принципа Даламбера-Лагранжа (1.2) в виде:1   u   E[u]  f   udx   F ud  0(1.12)Далее3 E[u] udx   E[u]    P  u dx ijij i , j 1  (n  P) ud   (  P) udx, Pij   E / u ijЗдесь P  Pij(1.13)- тензор напряжений, n – нормаль к поверхности  .Выражение   P определяет внутреннюю упругую силу (напряжения), f –внешняя массовая сила, F – внешняя поверхностная сила,  u - векторвозможных перемещений.

Из (1.11), (1.12) следует классическое уравнениетеории упругости и естественные граничные условия. Действительно,учитывая произвольность вариации  u в области  , и на границе  , атакже основную лемму вариационного исчисления, получим равенства:u   P  f,n  P  F на (1.14)23Соотношения(1.14)представляютдинамическиеграничныеусловия.собойуравненияВтороеусловиедвижения(1.15)иобычновыполняется на той части границы  , перемещения точек которойпроизвольны. На остальной части границы задаются кинематическиеусловия. Поверхностные силы F могут зависеть от деформированногосостояния тела на границе и от времени.

Описание массовых, поверхностныхсил и граничных условий зависит от конкретной рассматриваемой задачи.Используя соотношение (1.11) найдем  P  (   )div u  u(1.15)что позволяет переписать уравнения и граничные условия (1.14) в виде [15]: u  (   ) div u  u  f ,u div u   k  n   uk n  Fk , (k  1,2,3)xk(1.16)Здесь n  ( 1 ,  2 ,  3 ), Fk - компоненты поля поверхностных сил F.Если упругое тело совершает большие перемещения и повороты какцелое, то деформации отсчитываются в подвижной, связанной со средой,системе координат. При этом к массовым силам добавляются силы инерции.Различные способы выбора подвижной системы координат рассмотрены в[26, 57].

Например, если свободная механическая система может бытьпредставлена состоящей из «несущего» абсолютно твердого тела и«носимых» упругих тел то подвижные оси связываются с твердой частьюсистемы и деформации отсчитываются относительно несущего тела [34]. В24случае отсутствия абсолютно твердого тела, начало и оси связанной системыкоординат определяются из условий (r  u)d   0,  (r  u)d   0(1.17)Условия (1.17) характеризует координатный трехгранник, относительнокоторого тело в среднем (по всем частицам) не перемещается и неповорачивается.

Введенная система координат называется средней. Заметимтакже, что эту систему координат можно получить из условий равенстванулю векторов относительного количества движения и относительногокинетического момента, после их линеаризации и интегрирования повремени [26].§ 1.4. Модальный подходПри изучении линейных колебаний упругих система используетсяметод разложения по собственным формам – метод модального анализа.Полагая в (1.14) f  F  0 получим задачу о свободных колебаниях системы  Au  0,uAu    P(1.18)A – дифференциальный оператор, который в случае однородной изотропнойсреды имеет вид (1.15) или [45]A  (  2  ) grad div   rot rotгде  ,  - константы Ламе.25Если задача о свободных колебаниях обладает осевой симметрией(упругое тело – тело вращения), то величины, задающие деформацию,являются периодическими функциями цилиндрической координаты  [35].Решение однородного уравнения (1.18) ищется методом разделенияпеременных:u  q (t )  U(r)Тогда функции q(t) и U (r ) должны удовлетворить уравнениямq  v 2 q  0,1(1.19)2AU  v U  0Первое уравнение системы (1.19) имеет решение в виде гармоническихфункций времени.

Значения vk , при которых второе уравнение в (1.19) имеетнетривиальноерешение,являютсясобственнымичастотамиупругихколебаний тела. Вектор-функции U k (r ) - решения (1.19), совместные сграничными условиями, являются собственными или главными формамиколебаний. Метод модального анализа требует, чтобы собственные формыU k образовывали полный базис, и заключается в том, что решениенеоднородного уравнения (1.12) (или (1.14)) ищется в виде разложения поформам U k , которые считаются известными функциями координат r :u   qk (t )  Uk (r ) .k 0Отметим, что следуя [12,13,29] и (1.13) и используя для упругой силывыражение Au  E[u ] можно получить261E[U k ]  vk2U k .Метод модального анализа является наиболее строгим методомдискретизации. В различных модификациях векторыU k (r ) являютсянекоторым приближением к собственным формам, но обязательнымусловием остается полнота системы этих базисных функций.Удобнобываетиспользоватьбазисизортонормированныхсобственных форм, подчиняющихся условиям:( U k , U j )   U k U j dx   kj(1.20)где  kj - символ Кронекера.§1.5.