Диссертация (Некоторые задачи эволюции движения деформируемого спутника в центральном гравитационном поле сил), страница 5

n ,i , j nm ji 2 uu   u u1amnij  m  n   i  jm.n ,i , j 4 xn xm   x j xi 2dx  E[u] ,то есть, совершенно корректно можно писать E  E[ u] . То же самое, конечно,справедливо и для диссипативного функционала.Потенциальная энергия гравитационного поля запишется в видеU  [(R  O(r  u)) ]2 1/2dx ,(2.2)Ωгде -гравитационная постоянная притягивающего центра, О=О(t)матрица перехода от осей Сx1x2 x3 к осям Кёнига C123 .–37§ 2.2. Функционал потенциальной энергиигравитационного поляПреобразуем выражение (2.2) для функционала потенциальной энергиигравитационного поля, разложив его в ряд по степеням малого параметра~u/r .Кроме того, поскольку можно считать u  r  R будем считатьсправедливыми следующие соотношения эквивалентностиrRu~,R~2 .Имеемdx [R(Or)(u) 2( R,Or )  2( R, Ou)  2(Or, Ou)]1/ 2ΩU =222= 22ru( R , Or )( R0 , Ou)(Or, Ou) 1/ 222]Ω R[1  2  2  2RRRRR2202=     [1  r 2  u 2  2 ( RΩRRRdx 0, Or )( R0 , Ou)(Or, Ou) 1/ 222] dxRRR2Отбрасывая члены порядка  4 и выше получим2U    R 1  12 r 2  (r, u2 )  (OR1 0RR , r ) (O 1 R0 , u)RR(2.3)21 ( 3 )  2r( r , u)(O 1 R0 , r )(O 1R 0 , u) 222 2 2 2 2  ... dx 2!  RRRR M 1   1 02rdxrudxOR,rdx(O 1 R0 , u)  dx 3322R2R ΩR ΩR Ω R Ω21 0221 021 01 03   4(O R , r ) 4r (O R , r )(O R , r )(O R , u) 8  dx238 R RRR238Упростим выражение для гравитационного потенциала (2.3).

Для этогозаметим, что первое слагаемое не зависит от параметров вращения спутника,и следовательно, даст нуль при дифференцировании в уравнениях Рауса,поэтому его можно сразу отбросить. Второе слагаемое дает1 1 r2  dx ( x 2  x22  x32 ) dx 2 R3 Ω2 R3 Ω 11   111222222(xx)dx(xx)dx(xx)dx232 R3  2 Ω 12 Ω 12 Ω 2 31  111  1  C C  B  A   A .332 R 222  2R 2Здесь введены обозначения для моментов инерции недеформированногоспутника: С – момент инерции относительно оси симметрии C x3 и А=B –моменты инерции относительно осей C x1 и C x2 . Это слагаемое может бытьотброшено по тем же соображениям, что и первое. Четвертое слагаемоеравняется нулю, поскольку r  dx 0 .

Пятое слагаемое также обращается вΩнуль, так как u dx   (u  uC ) dx   u dx   uC  dx  MuC  uC M  0.ΩВычислим предпоследний член3 3 r 2 (O 1 R0 , r )  dx  (O 1 R0 ,  r 2 r  dx ).4 42R Ω2R(2.4)39Далее x13  x1 x22  x1 x32  x1 2222 232rrdx(xxx)xdxxxxxx 1 2 3  2 1 2 2 2 3   dx  0.x  2 x1 x3  x22 x3  x33  3При вычислении интеграла использован факт, что нечетная функция даетнуль при интегрировании по симметричной области.

Отсюда следует, чтопредпоследнийчлентакжеравеннулю.Витогеполучаемдлягравитационного потенциала выражение3U    R 3  [3(O 1 R0 , r )(O 1 R0 , u)  ( r , u)] 2 dx   R 3  (O 1 R 0 , r ) 2  dx.2ΩΩ(2.5)2§ 2.3. Уравнения для модальных переменныхПринципДаламбера–Лагранжадляопределенияупругихперемещений запишем в виде  R  ω  (r  u)  ω [ω  (r  u)]  2ω  u  u  u dx  (O 1U [ R  O( r  u)], u)  (E[u]  D[u ],  u)  0,  u.(2.6)Далее, введем некоторые физические предположения, позволяющие перейтик квазистатической постановке задачи вычисления упругих перемещений.Используем метод разделения движений, предложенный Вильке [18,12,13].Будем предполагать, что наинизшая частота свободных упругих колебаний40намного превосходит как угловую скорость орбитального движенияспутника, так и угловую скорость его вращения относительно центра масс.Кроме того, будем считать, что вследствие вязкого трения свободныеколебания затухли.

Эти предположения позволяют отбросить члены с R, u, u вуравнении (2.6): ω  (r  u)  ω [ω  (r  u)]  u dx  (O1U [ R  O( r  u)],  u) (E[u]  D[u ],  u)  0,  u.(2.7)Решение уравнения (2.7) будем искать в соответствии с § 4 главы 1 ввиде ряда по собственным формам свободных упругих колебаний:u( r, t ) k ,m 0Подставимвыражение(2.8)[qkm (t )Vkm (r )  pkm (t )Wkm (r )].(2.8)вуравнение(2.7),учитываяусловияортонормированности форм и соотношения:22 21E[Vkm ]   kmVkm ,  21E[Wkm ]   kmWkm ,а также подставляя в качестве  u поочередно формы Vkm и Wkm .Кроме того, разложим в ряд выражение для градиента гравитационногопотенциала [O 1R  r  u]   [ R*2 ]3/2 R*dx U  R*U [ R* ]   R*    2 dxdx, 11/ 22 3/ 2  [ R* ]ограничившись слагаемыми порядка не выше ε: [(OR  r  u) ]41(U , u)   1 0r2(O 1R0 , r ) [ORr]12RR2R23/ 2 udx   1 0  3  O 1 R0 , (O 1R0 , r ) u dx   OR,udxr u 2dx 22 23 R  R3  R 223  1 0O R ,  (O 1R0 , r ) u2dx   3  r u2dx .3R  R 2Слагаемое 2  O 1R0 ,   u2dx   0 , посколькуR 222  u2dx    22u 2dx   0 , согласноформуле (2.4).С учетом вышесказанного, уравнение (2.7) преобразуется к виду3 ω  (r  u)  ω  [ω  (r  u)]  R3 r  R3 (O1 R0 )(O 1R0 , r )   u dx (E[u]  D[u ],  u)  0,  u,(2.9)и далее к системе уравнений для модальных переменных qkm (t ), pkm (t ) :22 kmqkm   b kmqkm  (ω [ω  r ],Vkm )  (ω  r ,Vkm )  3 (r ,Vkm )  33 ((O 1 R0 ,Vkm )(O 1 R0 , r ))  0,RR22 kmpkm   b kmp km  (ω [ω  r ],Wkm )  (ω  r ,Wkm )  3 (r ,Wkm )  33 ((O 1 R0 ,Wkm )(O 1 R0 , r ))  0,RRk,m=0,1,2,…Длядальнейшегоупрощенияуравненийиспользовать явный вид собственных форм.(2.10)(2.10)необходимо42Рэлейв[51]указалвидсобственныхформдлятонкойполусферической оболочки, закрепленной в полюсе (рис.

2):Vk  wk er  vk e  uk e  Ak tg k 2 ((k  cos )cos k ,sin  sin k ,sin  cos k ),Wk  Ak tg k 2 ((k  cos )sin k ,  sin  cos k ,sin sin k ),k  0,1,2,...(2.11)Формы (2.11) заданы в сферических координатах r, , (см. рис. 2). Онизависят только от двух углов  , и не зависят от r . По этой причине второйиндекс m у форм отсутствует. Мы также опустим далее второй индекс вуравнениях (2.10) и перепишем их в виде: k2 qk   b k2 qk  (ω [ω  r ],Vk )  (ω  r ,Vk )  3 (r ,Vk )  33 ((O 1 R0 ,Vk )(O 1 R0 , r ))  0,RR k2 pk   b k2 p k  (ω [ω  r ],Wk )  (ω  r ,W k )  3 (r ,Wk )  33 ((O 1 R0 ,Wk )(O 1R0 , r ))  0.RRk=0,1,2,…(2.12)Получим выражения для компонент форм в цилиндрической системекоординат (рис.

3):Vk  ukr er  uk e  ukz ez ,ukr  uk cos  wk sin    Ak tg k 2 k sin  cos k ,uk  vk  Ak tg k 2 sin  sin k ,ukz  uk sin   wk cos  Ak tg k 2 (1  k ) sin  sin k .43Рис 2: Компоненты собственной формы полусферы44Форма Wk , ортогональная Vk , получается из Vk подстановкой вместо угла φугла   2k :Wk  Ak tg k 2  k sin sin k ,  sin  cos k ,(1  k cos )sin k  .Заметим, что если формы переобозначить и взятьVk  Wk , W k  Vk ,то новые формы Vk ,W k будут иметь вид, аналогичный собственным формамосесимметричного упругого тела (глава 5). Опуская знак волны над формами,окончательно запишем их в виде:Vk  Ak tg k 2  k sin sin k ,sin  cos k , (1  k cos )sin k  ,Wk  Ak tg k 2 k sin cos k ,  sin  sin k , (1 k cos )cos k  .(2.13)Если ввести обозначенияUk ( )  Ak tg k 2 k sin  , Vk ( )  Ak tg k 2 sin  , Wk ( )   Ak tg k 2 (1  k cos ) ,(2.14)то равенства (2.13) перепишутся в более компактной формеVk  Uk sin k ,Vk cos k ,Wk sin k  ,Wk  Uk cos k , Vk sin k ,Wk cos k  .Из (2.14) видно, что при(2.15)k=0 коэффициент U k  0 , а сами формы (2.15)запишутся в видеV0  0,V0 ,0 ,V0  A0 sin ,W0  0,0,W0  ,W0   A0.45Рис 3: Преобразование координат собственных формк цилиндрическим координаты46Форма V0 будет при этом описывать крутильные деформации полусферы, аформа W0 - перемещения полусферы как целого вдоль ее оси симметрии.

Поэтой причине формуW0 следует исключить из ряда (2.10), Это можносделать, принявp0  0 .Кроме того, вместо формул (2.15) иногда удобно использовать проекциивекторов Vk , Wk на оси декартовой системы координатO1 y1 y2 y3 :Vk 1  U k sin k cos   Vk cos k sin  ,Vk 2  U k sin k sin   Vk cos k cos  ,Vk 3  Wk sin k ,(2.16)Wk1  U k cos k cos  Vk sin k sin  ,Wk 2  U k cos k sin   Vk sin k cos  ,Wk 3  Wk cos k .Заметим, что в системе координат C x1x2 x3 , получающейся из O1 y1 y2 y3сдвигом вдоль оси O1 y3 общий вид форм (2.15) или (2.16) не изменится, хотяизменятся сами коэффициенты U k ,Vk ,Wk .Обратимсяк вычислениючленов уравнения(2.10),используяполученные выше формулы (2.16). Имеем(ω [ω  r ],Vk )  (ω(ω, r )  r 2 ,Vk ) 2222 ([12 x2  13 x3  (2  3 ) x1]Vk1 [12 x1  23x3  (1  3 ) x2 ]Vk 2 2[13 x1  23 x2  (12  22 ) x3 ]Vk 3 )dx, dx  dx1dx2dx3 .47Переходя к цилиндрическим координатам r,φ,z, и интегрируя по углу φ от 0до 2π, найдем:(ω [ω  r ],V0 )  0,(ω [ω  r ],V1)  23 (b123  b132 ),(2.17)(ω [ω  r ],V2 )  212b212 ,(ω [ω  r ],Vk )  0, k  3,4,...

,bkij  Vki x j dx ,ckij 2b123   Wki x j dx ,2 (U1 V1 ) zrdrdz ,b132  *Здесь*-область, W1r2drdz ,b212 *полученная(U  V )r 2drdz .2  2 2*пересечением2полуплоскостью,проходящей через ось симметрии твердой части спутника.Аналогично, получим(ω [ω  r ],Wk )  (ω(ω, r )  r 2 ,Wk ) 2222 ([12 x2  13x3  (2  3 ) x1]Wk1 [12 x1  23 x3  (1  3 ) x2 ]Wk 2 2[13 x1  23 x2  (12  22 ) x3 ]Wk 3 )dx.И далее, не забывая о том, что форма W0 отсутствует(ω [ω  r ],W1)  13 (b123  b132 ),(ω [ω  r ],W2 )  (12  22 )b212 ,(ω [ω  r ],Wk )  0, k  3,4,...(2.18)48Вычислим выражение(ω  r,Vk )   [( 2 x3  3 x2 )Vk1  (3 x1  1 x3 )Vk 2  (1 x2   2 x1 )Vk 3 ]dx .2Аналогично предыдущим выражениям, найдем(ω  r,V0 )  23b021 ,(ω  r,V1)  1(b132  b123 ) ,(ω  r,V2 )  0 ,(2.19)(ω  r,Vk )  0, k  3,4,...