Диссертация (Некоторые задачи эволюции движения деформируемого спутника в центральном гравитационном поле сил), страница 10

Первые два члена (3.14) не влияют на уравнение.РассмотримQ1   3(O1R 0 , r)(O1R 0 , u11)  dx 3R   3 I22 A2  (O1R 0 , r)(O1R 0 ,  3 (1) 1( 2 )u* (r ''))  dx ,3Rгде r ''   3 ( 2 ) 1(1)r . Пусть координаты вектора 1( 2 ) 3(1)O1R0 равны(1, 2 ,3 ) , а R0  (0,0,1) в орбитальной системе координат. Кроме того,O1   3 (1) 1( 2 ) 3 (2 )1(1) 3(3) 3 (h) 1(i) 3 () 0 ,0 0 10  1 0 0 .0 1 0Использовав эти формулы, вычислим координаты(1, 2 ,3 ) , вчастности3   sin1[cos(h  3 )cosi sin  sin(h  3)cos]  cos1 sin i sin ,тогдаQ1  3 R3  2 I 22 A2 [D1  32 D2 ];D1  b1 f1  b1 f 2  b2 f 2  c1 f 3; D2  (a2  b1) f1  (2a1  b1  b2 ) f 2  (c2  c1) f 3 ;91f1   x4dx   y 4dx   z 4dx ; f 2   x2 y 2dx   y 2 z 2dx   z 2 x 2dx ;f 3   x 2dx   y 2dx   z 2dx .Продолжив расчёты подобным образом, получим, что четвёртый членобнулится, а A2  [r  G][u11  G] dx  2 2 A4 I24 D1 , R 3  (r, u11)dx  2 I22 A2R 3 D0 ,D0  [(2b1  a2 ) f1  (2b2  b1  2a1) f 2  (c1  c2  c3 ) f3 ] .§ 3.3.

Быстрая эволюция долготы восходящего узла иаргумента широты перигеяУравнение Рауса для угла gg   [3 2 I 22 R3 ( D1 32 D2 )], D1  D1  D0 / 3- имеет весьма громоздкий вид и неудобно для анализа, однако послеусреднения по быстрым углам l и 3 упрощаетсяg  3 2 I22 A2 1(1  e2 )3/2 p3[6D1  D2 ( 32 (3  4sin 2 i)  4sin 2 i 1)] .92Механический смысл этого уравнения в том, что деформации приводятк вращению перицентра орбиты шара. Поскольку члены, определяющиескорость изменения перицентра, не зависят от диссипативных сил, то этуэволюцию можно трактовать как быструю.Уравнение для угла h имеет видh   [3 2 I22 R3 [ D1  32 D2 ] ,Hи после усреднения по углам l и 3 также упрощаетсяh  32  2 I 22 A2 1(1  e2 )3/2 p3 D2 cos i[2  3sin 2 1] .Данное уравнение показывает, что влияние деформаций обуславливаюттакже быструю прецессию плоскости орбиты шара.Таким образом, можно сделать вывод о том, что в пространственномварианте задачи при осесимметричных упругих деформациях тела плоскость (Ω – долгота восходящего узла), аего орбиты прецессирует со скоростью сама орбита, не изменяя своей формы, поворачивается в собственнойплоскости – это скорость движения перицентра  орбиты.

Известно, чтотакой эффект наблюдается при движении искусственных спутников Земли.Интересно заметить, что такое жевлияниена эволюцию орбитыискусственного спутника оказывает сжатие Земли [3]. Вторая зональнаягармоникагеопотенциалаобуславливаетвозникновениевозмущенийэлементов орбиты ИСЗ, при этом о вековых неравенствах можно говоритьтолько применительно к угловым элементам – долготе восходящего узла Ω,аргументу широты перигея ω и средней аномалии.93§ 3.4.

Эволюция остальных переменныхВ дополнение к полученным в § 3 уравнениям, выпишем усредненныепо l уравнения и для остальных переменных (с ненулевыми правымичастями):2 3l   M KD21{6 D1  D2[3sin 2 1 sin 2 (h  3)  (cos1 sin i  sin 1 cos(h 3)cos i)]3L[4(cos1 sin i  sin 1 cos(h  3)cos i)  cosec i cos 1] ,(3.15)3  KD2 I21{cos1[cos2 i  cos2 (h 3 )sin 2 i]  1 cos(h 3 )sin 2i cos 2i cosec 1} .2Формулы (3.15) можно интерпретировать как изменение орбитального исобственного кинетического моментов шара в противофазе друг другу, атакже прецессию оси вращения шара.Далее, рассмотрим влияние на движение члена u12 (r ) .

Вычисленияпоказывают, что член функционала РаусаQ2  3 R3  (O1R0 , r)(O1R0 , u12 )dxдает вклад только в уравнение для переменной g, а остальные членыповлияют на уравнения для 2 , lи g. Таким образом, сферически-симметричная деформация окажет влияние на угловую скорость вращенияперицентра орбиты в ее плоскости.94ГЛАВА 4. МЕДЛЕННАЯ ЭВОЛЮЦИЯ В ЗАДАЧЕО ПОСТУПАТЕЛЬНО-ВРАЩАТЕЛЬНОМДВИЖЕНИИ ДЕФОРМИРУЕМОГО СПУТНИКА§ 4.1. Гравитационные приливыВ рамках постановки задачи главы 3 §3.1 продолжим исследованиевлияния частных решений (3.11), (3.12) на эволюцию движения шара.Рассмотрим влияние слагаемого u13 (r , t ) .

Вычислим вклад в уравнениядвижения членаQ3  3 R 3  (O 1R 0 , r)(O1R 0 , u13 ) dx .(4.1)Интеграл (4.1), а точнее, производные от него по каноническим переменнымДелоне и Андуайе, удобнее вычислять в орбитальной системе координатCxyz, так как в ней u13 (r , t ) имеет наиболее простой вид. Ось Cz направленана притягивающий центр, ось Cx – по касательной к орбите, ось Cyортогональна к плоскости орбиты. Ограничимся в ряде для u13 (r , t ) первымидвумя членами, и перейдем в интеграле (4.1) к орбитальным осям.

Тогда, вновых осях, u13 примет вид:3 R  u13 (r , t )  3 R 3u* (r ) 1  l   3 R 3 {[( B1r , r )( SB2  B2 S ) R l  ( B3r , r )( SB4  B4 S )  r02 ( SB5  B5S )]r   2[( B1S r , r ) B2  ( B3S r , r ) B4 ]r }S  O O 1  O (O 1)1 1114.2)95Здесь кососимметрическая матрица S определяет угловую скорость шараотносительно системы координат Cxyz. Выражение (4.1) перепишется в видеQ3  3 R 3  (O1O 1R 0 , r)(O1O 1R 0 , u13 (r, t ))dx ,(4.3)гдеO1O 1R 0  e z  ( 1,  2 ,  3 )T ,  1   2  0,  3  1.(4.4)Воспользовавшись выражениями для матриц O1 , O из (3.13),(3.3), вычислимматрицу S: 0S   s12  s13s120 s23s13 s23  ;0 s12  sin  [2 sin 1 cos(h  3 )cos i  2 cos 1 sin i]  2 cos sin 1 sin( h  3 );s13  2 cos 1 cos i  2 sin 1 cos( h  3 )sin i  ;s23  2 sin  sin 1 sin(h  3 )  2 cos[sin 1 cos( h  3 )cos i  cos 1 sin i]С помощью формул (4.2) и (4.5) получим b1 x 3  b1 y 2 x  b2 z 2 x  c1x 3 R    2u13 ( r , t )   1  l   b1 x y  b1 y 3  b2 z 2 y  c1 y  R l   2 a1 x z  a1 y 2 z  a2 z 3  c2 z  (b1  b2 )( s13 x 2 z  s23 xyz ) (c2  c1 ) s13 z  2  (b  b )( s xyz  s y 2 z )   (c2  c1 ) s23 z 1 2 1323 (c  c )( s x  s y ) 023  2 1 13(4.5)96(b1x 2  b1 y 2  b2 z 2 ) s13 z  (a1x 2  a1 y 2  a2 z 2 )s13 z (b1x 2  b1 y 2  b2 z 2 ) s23 z  (a1x 2  a1 y 2  a2 z 2 )s23 z (b1 x 2  b1 y 2  b2 z 2 )(s13 x  s23 y )  (a1x 2  a1 y 2  a2 z 2 )( s13 x  s23 y ) (4.6)02 0 (a  a )(s xz 2  s yz 2 ) 23 1 2 13Здесь введено обозначение  = -3 R 3 .

Подставляя (4.6) в (4.3) и учитывая(4.4), выведемQ3   [(   )( D3   32 ( D4  D3 ))   D5 [ 1 3s13   2 3s23 ]] ,(4.7)где обозначеноD3   [b1 ( x 2 + y 2 ) + b2 z 2 + c1 ]x 2d ; D4   [a1 ( x 2 + y 2 ) + a2 z 2 + c2 ]z 2 d ;D5   {[(b1  a1 )( x 2 + y 2 ) + (b2  a2 ) z 2 + c1  c2 ]( x 2  z 2 ) 2(a1  a2  b1  b2 ) x 2 z 2 }d    {[(b1  a1 )( x 2 + y 2 ) + (b2  a2 ) z 2 + c1  c2 ]( y 2  z 2 ) 2(a1  a2  b1  b2 ) y 2 z 2 }d ;Чтобы получить дифференциальные уравнения движения, необходимо будетдифференцировать выражение (4.7) по каноническим переменным, вчастности, потребуются значения производных i, где q j обозначаютq j97каноническиепеременные.Дляэтоговоспользуемсяследующимиформулами 1    e z (O 1R0 )O,21q j   q jq j3  cos cosh  sin  cos i sin h R0   cos  sin h  sin  cos i cos h  .sin  sin i(4.8)Замечая, что величина α, входящая в выражение для Q3 , не зависит отпеременных Андуайе, а компоненты матрицы S не зависят от угла  2 ,приходим к выводу, что усреднение по углу  2 производных от Q3 поканоническим переменным, можно получить просто заменив величиныe zq jусредненными по углу  2 .

Поэтому, после вычисления производных в (4.8),усредним их по углу  2 , и получим следующие выраженияsin 1 cos2 sin i cos(h  3 )  cos2 cos1 cos i   cos2 sin1 cosi cos cos(h  3 )  cos2 sin1 sin sin(h  3)  cos2 cos1 sin i cos ;2 0 cos 1 cos i  sin 1 sin i cos(h  3 )e z  sin 1 sin  sin(h  3 )  sin 1 cos cos i cos( h  3 )  cos 1 cos  sin i  ; 2  20ez1e z3e zI1e zI 322  cos i   cos sin i  ;00  0  ;0  sin i sin( h  3 ) cos i sin( h   )  sin  cos(h   )  ;cos33 I 22  I32 012(4.9)98e zle zhe ze zH222e z d dl21d  0  ; 0  dl e zg21  0  ;0  cos i    cos sin i  ;0  cos i   cos sin i  ;0 0  sin   .2  H 2  0 12§ 4.2.

Усредненные уравнения поступательновращательного движенияИспользуя равенства (4.7), (4.9), (4.8) а также результаты §1 даннойглавы, получим дифференциальные уравнения поступательно-вращательногодвижения шара, учитывая все виды происходящих деформаций. Дляупрощения уравнений усредним их по быстрой переменной l. Кроме того,как видно из (3.15), 3 является быстрой переменной, т.к. перед правойчастью ее уравнения отсутствует в качестве множителя малый параметр χ.Поэтому произведем усреднение и по переменной 3 . В результате получимприближенные уравнения:99II1  1 I2 ;I22222I  nk  n 1 A1 (1  e 2 )3/2  I 2  I 3  (e)  I 2  3I3  (e, g )sin 2 i  2142I2 2I2I3 2 (e)cos i  ;I2I3   nk  n 1 A1I 3 (1  e 2 )3/2 1 (e)   4 (e, g )sin 2 i    2 (e)cos i ;1  0;L  nk  n 1 A1I 3 2 (e)cos i  (1  e 2 )3/2  3 (e) ;(4.10)  nk  n1 A1I 3 (1  e 2 )3/2 1 (e)cos i   2 (e) ;H   I3 ;g  K  1[6 D1  D2 ( 32 (3  4sin 2 i)  4sin 2 i  1)]h K2D2  1 cos i[2  3sin 2 1 ]  k2 A-1 I 3  1 (1  e 2 )3/ 2В уравнениях (4.10) были введены обозначения:212 (1  e cos )4d  1  3e 2  83 e 4  1(e);0212 (1  e cos )065 e 6   (e);d  1  152 e2  45e4  16283 2 1 4e  4e2.1002128 (1  e cos ) d  1  14e235 e8   (e); 105e4  35e 6  1283440212 (1  e cos )4sin 2 (  g)d  12  43 e2 (1  2sin 2 g ) 01 e 4 (1  4sin 2 g )   (e, g ); 164226k  9  D5 p ;K 3 2 I 22 A2 (1  e 2 )3/23p ; 2M 3n.3Седьмое уравнение системы (4.10) может быть проинтегрировано, ивыражает тот факт, что проекция кинетического момента системы на ось 3Кёниговой системы координат С1 23 сохраняется:H  I3  H 0  const.Сохраняется и кинетический момент системыΛ  G  const .Здесь черезΛ обозначен орбитальный кинетический момент, а через G -вращательный.