Диссертация (Некоторые задачи эволюции движения деформируемого спутника в центральном гравитационном поле сил)

2ОглавлениеВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………..4ГЛАВА 1. Необходимые сведения из механики деформируемых твёрдыхтел………………………………………........................................................14§ 1.1. Вариационный принцип Даламбера - Лагранжа…………………..14§ 1.2. Функционалы внутренних упругих и диссипативных сил……….16§ 1.3. Малые деформации. Функционалы потенциальной энергии малыхдеформаций…………………………………………………………………20§ 1.4. Модальный подход…………………………………………………..24§ 1.5. Уравнения Лагранжа, Гамильтона и Рауса………………………...26ГЛАВА 2. Эволюция вращения спутника c полусферической антенной,движущегося по эллиптической орбите………………………………….32§ 2.1.

Постановка задачи…………………………………………………...32§ 2.2. Функционал потенциальной энергии гравитационного поля…….37§ 2.3. Уравнения для модальных переменных……………………………49§ 2.4. Переменные Андуайе и уравнения Рауса………………………….51§ 2.5. Быстрая эволюция вращательного движения спутников…….…...59§ 2.6.

Медленная диссипативная эволюция………………………………633ГЛАВА 3. Быстрые эволюционные процессы в задаче о поступательновращательном движении деформируемого спутника……………………75§ 3.1. Постановка задачи…………………………………………………...75§ 3.2. Уравнения движения………………………………………………...82§ 3.3. Быстрая эволюция долготы восходящего узла и аргумента широтыперигея………………………………………………………………………91§ 3.4. Эволюция остальных переменных………………………………….93ГЛАВА 4.

Медленная эволюция в задаче о поступательно-вращательномдвижении деформируемого спутника………………………………….....94§ 4.1. Гравитационные приливы…………………………………………..94§ 4.2. Усреднённые уравнения поступательно - вращательногодвижения……………………………………………………………………98ГЛАВА 5. О частотах лунно-солнечных приливов деформируемойЗемли……………………………………………………………………….102§ 5.1. Постановка задачи………………………………………………….102§ 5.2. Вычисление деформаций в мантии Земли ..……………………...107§ 5.3. Вычисление частот приливов Лунно-Солнечных….………… ...110Заключение………………………………………………………………...113Список литературы………………………………………………………..1154ВВЕДЕНИЕВ диссертации изучаются задачи механики, рассматривающие вопросыэволюциивращательногоипоступательно-вращательногодвижениядеформируемого спутника, а также изучающие деформации Земли поддействием приливных сил со стороны Луны и Солнца.Первая глава является вспомогательной. В ней содержатся сведения,использующиеся в последующих главах.

В §1.1 на основе работ [5,1113,15,26,31] излагается обобщение вариационных принципов ГамильтонаОстроградского и Даламбера-Лагранжа на механику деформируемого тела.Принцип Даламбера – Лагранжа применяется для получения уравнений дляупругих перемещений в большинстве задач данной диссертации. В §1.2изложен подход к построению функционалов внутренних упругих идиссипативных сил в деформируемых телах. В §1.3 рассматривается модельлинейной теории малых деформаций, а также модель линейной теориивязкоупругости. Здесь же кратко рассмотрен вопрос выбора связаннойсистемы координат. §1.4 посвящен модальному подходу при полученииуравнений динамики. §1.5 касается обобщения классических уравненийЛагранжа, Гамильтона и Рауса на механику деформируемых систем.Уравнения Рауса далее применяются в главах 2, 3 и 4 диссертации.Втораяглавапосвященаисследованиюзадачиобэволюциивращательных движений относительно центра масс спутника, движущегосяпо неизменяющейся эллиптической орбите вокруг притягивающего центра.Спутник предполагается осесимметричным, состоящим из абсолютнотвердой и вязкоупругой частей.

Вязкоупругая часть представляет собой5полусферическую антенну, с осью симметрии внедеформированномсостоянии, совпадающей с осью симметрии твердой части. В §2.1 даетсяпостановка задачи. В §2.2 получено приближенное выражение длягравитационного потенциала, далее использующееся в данной главе. В §2.3на основе метода разделения движений В.Г.Вильке [18] из вариационногопринципа Даламбера – Лагранжа выводятся уравнения для модальныхпеременных.

Там же приводится приближенное решение этой системыуравнений. В §2.4 для получения уравнений вращения спутника как целогоприменяются уравнения Рауса и канонические переменные Андуайе. Этиуравнения рассматриваются как возмущенные по отношению к уравнениямдвижения абсолютно твердого тела (когда перемещения u=0). Возмущающиечлены функционала Рауса появляются из-за деформаций, вызванных силамиинерции, а также приливных деформаций, вызванных силами гравитациипритягивающего центра. При первоначально быстром вращении спутникасилы инерции оказываются существенно больше сил гравитации, чтопозволяет разбить эволюцию вращений на два этапа.

Первый этап – быстройэволюции вследствие деформаций, вызванных силами инерции, второй –медленной вследствие приливных деформаций. Параграф 5 рассматриваетэффекты быстрой эволюции. Сначала в нем выводятся уравнения,получающиеся из уравнений Рауса явной подстановкой выражений дляперемещений. Затем для упрощения уравнений проводится операцияусреднения по быстрой переменной 10 (угол поворота вокруг осисимметрии). В результате оказывается, что быстрая эволюция приводит ктому, что вектор кинетического момента будет стремиться занять положениевдоль оси симметрии спутника (если осевой момент инерции больше6экваториального), либо будет стремиться попасть в экваториальнуюплоскость эллипсоида инерции (если осевой момент инерции меньшеэкваториального). Параграф 6 рассматривает медленную диссипативнуюэволюцию. Здесь предполагается, что быстрая эволюция уже завершилась (вслучае, когда осевой момент инерции больше экваториального).Далеевыводятся уравнения движения для данного случая.

Для упрощенияуравнений последовательно проводится три операции усреднения побыстрым переменным 20 (угол поворота оси симметрии спутника вокругвектора кинетического момента),   0t (орбитальное движение), и 3 (уголпрецессии кинетического момента относительно нормали к орбите).

В итогеполучаем, что осевое вращение замедляется, растет угол 1 между нормальюк орбите (если вначале он острый) и вектором кинетического момента, тоесть вектор кинетического момента наклоняется к плоскости орбиты, если жеугол 1 тупой, то наоборот он уменьшается.Определено стационарноезначение угла 1 .Третьяглава.Здесьрассматриваетсязадачаобэволюциипоступательно-вращательного движения вязкоупругого спутника, имеющегоформу шара и движущегося вокруг притягивающего центра. В первомпараграфедаетсяпостановказадачиивыводитсявыражениедляфункционала Рауса. В следующем параграфе получены уравнения дляупругихперемещенийввидеуравненийвчастныхпроизводных.Используется известное решение этого уравнения [11,12], представляющеевекторупругихосесимметричныхперемещенийвдеформаций,видесуммытрехслагаемыхсферически-симметричныхи7гравитационных приливов.

В §3 данной главы исследуется влияние толькоосесимметричныхдеформаций.Показывается,чтоосесимметричныедеформации приводят к быстрой эволюции – прецессии плоскости орбиты, ив плоскости орбиты – вращению ее перицентра. Кроме того, происходятколебания орбитального и собственного кинетического моментов шара впротивофазе друг другу, а также прецессия оси вращения шара.

Далее, в §3.4устанавливается, что сферически-симметричные деформации дадут вкладтолько в угловую скорость вращения перицентра орбиты.Четвертая глава посвящена продолжению исследования главы 3, вней рассмотрено влияние на эволюцию третьего члена в выражении вектораупругих перемещений, приведенного в главе 3, а именно, отвечающего загравитационные приливы. В первом параграфе главы получены членыфункционала Рауса, получающиеся вследствие гравитационных приливов.

Вследующем параграфе получены уравнения, учитывающие все видыдеформаций. Показано, что стационарным движением будет движение покруговой орбите с угловой скоростью спутника равной орбитальной угловойскорости, при этом вектор кинетического момента будет ортогоналенплоскости орбиты.Пятая глава. Здесь ставится задача о вычислении частот приливов наЗемле вследствие влияния Луны и Солнца. Земля представляется какосесимметричное тело, состоящее из твердого ядра и вязкоупругой мантии. Впервом параграфе приводится постановка задачи. Во втором параграфе наоснове модального подхода выводятся и приближенно решаются уравнениядля модальных переменных.

В параграфе 3 на основе уравнений для8модальныхпеременныхдаетсяанализ,позволяющийприближенноопределить значения частот приливных деформаций. Полученные значениячастот в согласуются с известными, что говорит об адекватностииспользуемой модели.В заключении перечислены основные результаты работы.Актуальностьпоступательногоитемыисследования.вращательногодвиженийВопросыэволюциикосмическогообъектов(естественных и искусственных) под действием гравитационно-приливныхсил ранее исследовались в работах Дарвина [24], Манка и Макдональда [37],Голдрайха и Пила [23], Белецкого [3,4],Вильке [7-9, 11-21], Маркова[1,25,39-41], Маркеева [38] и других авторов [46,53]. Теоретическоеисследование движения сложных механических систем – достаточно труднаяматематическаязадача.Поэтомунаучныйипрактическийинтереспредставляет решение модельных задач, позволяющих понять характерныезакономерности движения сложных многокомпонентных тел и конструкций,т.е.

систем, состоящих из твердых тел, материальных точек, а также звеньев сраспределенными параметрами, для которых процессы деформированияобратимы и существует потенциальная энергия упругих деформаций.Актуальнойнаучно-технической задачей является разработкаисоздание многофункциональной космической солнечной энергостанции(КСЭС) с высокоточной ориентацией, обеспечивающей все возрастающееэнергопотребление на Земле и в космосе.

В крупногабаритных системах,которой является КСЭС имеет место деформируемость ее элементов.Подобная математическая модель рассматривается в данной диссертации.9Цели и задачи диссертационной работы состоят в изученииэволюции вращательного движения вязкоупругого спутника, движущегосяпо эллиптической орбите вокруг притягивающего центра, относительно егоцентра масс, а также эволюции его поступательно-вращательного движения;крометогоиспользующаясявпредыдущихзадачахмодельосесимметричного вязкоупругого спутника применена для исследованияЛунных и Солнечных приливов на Земле.Научная новизна:1.Изученаэволюциивращенийотносительноцентрамассосе-симметричного спутника, состоящего из абсолютно твердой части ивязкоупругой полусферической антенны; показано, что эволюция можетбыть разбита на два этапа – быструю и медленную.