Диссертация (Некоторые задачи эволюции движения деформируемого спутника в центральном гравитационном поле сил), страница 6

,b021  2 V0r drdz .*и еще(ω  r,W1)   2 (b123  b132 ) ,(ω  r,W2 )  0 ,(2.20)(ω  r,Wk )  0, k  3,4,... .Далее(r,Vk )  ( x1Vk1  x2Vk 2  x3Vk 3 )dx 0, k  0,1,2,... ,2и(r,Wk )   ( x1Wk1  x2Wk 2  x3Wk 3 )dx 0, k  0,1,2,... ,2(2.21)49откуда получаем(r,Wk )  0, k  1,2,3,...(2.22)Вычислим теперь((O 1R0 , r ), (O 1R0 ,Vk )) ,обозначивO 1R0  ( 1, 2 , 3 ).Перепишем интеграл в виде:((O 1R0 , r ), (O 1R0 ,Vk ))   [ 1x1   2 x2   3 x3 ][ 1Vk1   2Vk 2   3Vk 3 ] dx ,2и после выполнения интегрирования получаем((O 1R0 , r ), (O 1R0 ,V0 ))  0 ,((O 1R0 , r ), (O 1R0 ,V1 ))   3 2 (b123  b132 ) ,((O 1R0 , r ), (O 1R0 ,V2 ))  2 1 2b212 ,(2.23)((O 1R0 , r ), (O 1R0 ,Vk ))  0, k  3,4,...Точно также выведем((O 1R0 , r ), (O 1R0 ,W1))   1 3 (b123  b132 ) ,((O 1R0 , r ), (O 1R0 ,W2 ))  ( 12   22 )b212 ,((O 1R0 , r ), (O 1R0 ,Wk ))  0, k  3,4,...

.(2.24)50Из формул (2.11) и (2.17)-(2.24) получаем систему уравнений длямодальных переменных: 02 q0   b 02q0  23b021 ,12 q1   b12q1  [b123  b132 ](23  3 R 3 2 3 )  1[b123  b132 ] ,12 p1   b12 p1  [b123  b132 ](13   R 3 1 3 )  2 [b123  b132 ] , 22 q2   b 22q2  2(12  3 R 3 1 2 )b212 ,(2.25) 22 p2   b 22 p 2  [12  22  3 R 3( 12   22 )]b212 , k2qk   b k2qk  0, k  3 , k2 pk   b k2 p k  0, k  3 .Из системы уравнений (2.25) видно, что деформации появляютсятолько по формам с номерами k=0,1,2, остальные модальные переменныеостаются равными нулю, т.е.qk  pk  0, k  3 .Известно, что решение дифференциального уравнения 2 q   b 2q  Aможет быть найдено в виде ряда [12,13]:nq   (  b)n  nq ,k 0tгде функция q определяется из уравнения 2 q  A .51Будем решать данным способом систему (2.25), ограничившись первымидвумя членами ряда.

В результате получимq0  q00   bq00 , q00  2 023b021 ,p0  0 ,q1  q10   bq10 , q10  12 [ [b123  b132 ](23  3 R 3 2 3 )  1[b123  b132 ]] ,p1  p10   bp10 , p10   12 [[b123  b132 ](13   R 3 1 3 )   2 [b123  b132 ]] ,(2.26)q2  q20   bq20 , q20  2 22 (12  3 R 3 1 2 )b212 ,p2  p20   bp 20 , p20   22 [12  22  3 R 3 ( 12   22 )]b212 .§ 2.4. Переменные Андуайе и уравнения РаусаДля изучения эволюции вращательного движения спутника как целоговоспользуемся уравнениями Рауса.

Уравнения Рауса для части переменных(в нашем случае – перемещений) имеют форму уравнений Лагранжа, а длядругой части (канонических переменных) –уравнений Гамильтона.Уравнения для перемещений нами уже были получены в §2.3, поэтому нужнополучить только уравнения для канонических переменных. В качествеканоническихпеременныхиспользуемпеременныеАндуайе[12,13]I1, I2 , I3 ,1,2 ,3 (рис.

4), где I2 - модуль кинетического момента G спутникаотносительно центра масс, I1 - его проекция на ось симметрии спутника и I3 его проекция на нормаль к плоскости орбиты. Запишем уравнения движениядля канонических переменных в форме уравнений Рауса:Ii  i R ,i   I R , i  1,2,3.i(2.27)52Рис 4. Переменные Андуайе53ВыпишемвявномвидевыражениеR  R [ Ii ,i , u, u ] . Обозначим черездляфункционалаРаусаL функционал Лагранжа, тогда поопределению функционала Рауса33R   Iii  L  L i  L,i 1i 1L  T  U  E[u] ,iгде T – кинетическая энергия, имеющая видT  1  (ω× (r +u)  u )2  dx  1  (ω× (r +u))2  dx   (ω× (r +u))u  dx  12222 u  dx .22Так какLT 1T U  E  (ω× (r + u))2  dx   (ω× (r + u))u  dx  ,i ii i  2  2то по теореме Эйлера об однородных функциях (первое слагаемое в скобках– функция второй степени, а второе – первой) получим:3R   L i  L  2 12  (ω× (r + u))2  dx   (ω× (r + u))u  dx  T U  E[u] i 112i (ω× (r +u))2  dx  12 2u 2 dx U  E[u] .2Кинетический момент спутника относительно центра масс записывается как:G  ωT   (r + u) [ω  (r + u)  u ] dx  Jω  G u ,(2.28)G u   (r + u)  u  dx ,(2.29)где54а J  J [u] - тензор инерции.

Используя формулы (2.28), (2.29) выражение дляфункционала Рауса преобразуем к виду:R  12 ((G -G ), J 1(G -G ))  12  u 2 dx U  E[u] .uu(2.30)2Вектор кинетического момента в переменных Андуайе записывается какI 22  I12 sin 1, I 22  I12 cos 1, I1 )T ,G((2.31)а матрица O(t) в видеO(t )   3 (3 ) 1(1) 3 (2 ) 1( 2 ) 3 (1) ,(2.32)гдеcos 3( )   sin  0 sin  0cos 0 ;011 1( )  0000 cos  sin   .sin  cos Кроме того, справедливо равенство(G  Gu, J 1(G  Gu ))  (ω, J [u]ω)  ( J 0ω, ω)  ( J1[u]ω, ω)  ...

,где J 0 - тензор инерции недеформированного спутника, J1[u] - линейная по uкомпонента тензора инерции. Заметим, что вообще компоненты тензоровинерции спутника относительно центра масс С и центра масс внедеформированном состоянии C отличаются друг от друга на членывторого порядка малости по u. ПосколькуJ [u]  J 0  J1[u]  ... ,то следовательноJ 1[u]  ( J 0  J1[u]  ...) 1  ( J 0 ( E  J 01J1[u]  ...))1 .55Для любых квадратных невырожденных матриц S и P справедливо( SP)1  P 1S 1 ,а потомуJ 1[u]  ( J 0 ( E  J 01 J1[u]  ...))1  ( E  J 01 J1[u]  ...) 1 J 01  ( E  J 01J1[u]  ...) J 01  J 01  J 01 J1[u]J 01 ,J 01  diag ( A1, A1,C 1) .Здесь A и C – экваториальный и осевой моменты инерции спутника внедеформированномраскладываяврядсостоянии.НайдемвыражениекомпонентыJ [u]дляиоставляяJ1[u]  J ij1 ,слагаемыепропорциональные первой степени координат вектора u:J ii1  2  (ru  xi ui ) 2dx, J ij1    ( xi u j  x j ui ) 2dx, i  j ,22или более подробно1  2 ( x u  x u ) dx,J11 22 33 2J 122  2  ( x1u1  x3u3 )2dx,1  2 ( x u  x u ) dx,J 33 11 22 21  J 1   ( x u  x u ) dx,J1221 12 21 22221  J 1   ( x u  x u ) dx,J1331 13 31 22(2.33)21  J 1   ( x u  x u ) dx,J 2332 23 32 22Мы считаем, что упругая часть спутника обладает достаточно большойжесткостью.

Если жесткость устремить к бесконечности, то спутник становитсяабсолютно твердым телом, упругие перемещения u=0 , а следовательно, и56u = 0 . Уравнения Рауса (2.27) в этом случае описывают вращение абсолютнотвердого спутника. Получим уравнения (2.27) для этого случая.Функция Рауса приобретает вид:R  12 (G , J 01G )  U ,где гравитационный потенциал3U    R 3  (O 1 R0 , r )2  dx.2ΩПреобразуем выражение гравитационного потенциала:33U    R 3  ( 1 x1   2 x2   3 x3 )2  dx    R 3  ( 12 x12   22 x22   32 x32 )  dx.22ΩΩНо вследствие осевой симметрии212221 x1  dx   x2  dx  2  ( x1  x2 ) dx  2 C.ΩΩΩКроме того22221 x3  dx   ( x3  x2 ) dx   x2  dx  A  2 C .ΩΩΩИспользуя полученные формулы, выведем3CU    R 3    32 ( A  C )  ,22при этом мы можем опустить константу С/2 в квадратных скобках, так какона не повлияет на вид уравнений Рауса, после чего выражение для U ещеупростится:573U    R 3 ( A  C ) 32 .2Далее, первый член функционала Рауса запишется в виде12(G , J 01G )  12 ( A1 ( I 22  I12 )  C 1I12 ) ,и, таким образом, функционал Рауса станетR  12 ( A1( I 22  I12 )  C 1I12 )  32  R 3( A  C ) 32 ,(2.34)а уравнения Рауса приобретут вид:RIi   3 R 3 ( A  C ) 3 3 , i  1,2,3,iiR 1  10  3 R3 ( A  C ) 3 3 ,I1I1R 2  20  3 R 3 ( A  C ) 3 3 ,I 2I 210  I1 A1C 1( A  C ),20  A1 I 2 ,(2.35)R3  3 R 3( A  C ) 3 3 .I 3I 3Уравнения (2.35) описывают движение твердого спутника относительноцентра масс как прецессию оси симметрии вокруг вектора кинетическогомомента G, в свою очередь прецессирующего вокруг нормали к плоскостиорбиты [6].

Такое движение выберем в качестве невозмущенного.Возмущающая часть потенциальной энергии гравитации будет иметьвид:U    R 3  [3(O 1 R0 , r )(O 1 R0 , u)  ( r, u)] 2 dx.Ω2(2.36)58Вычислимтеперьвозмущающуючастькинетическойвращения. Для этого вначале преобразуем выражениеэнергии1(G  Gu , J 1(G  Gu )) :21(G  Gu, J 1(G  Gu ))  1 (G  Gu ,( J 01  J 01 J1J 01 )(G  G u )) 22 1 {(G, J 01G  J 01 J1 J 01G  J 01Gu  J 01J 1J 01G u ) 2(Gu , J 01G  J 01 J1 J 01G  J 01Gu  J 01J1 J 01Gu )}  1 {(G, J 01G)  (G, J 01 J1 J 01G)  (G, J 01Gu )  (G, J 01 J1J 01Gu ) 2(Gu , J 01G)  (Gu , J 01 J1 J 01G)  (Gu , J 01Gu )  (Gu , J 01J 1J 01Gu )}  1 {(G, J 01G)  (G, J 01 J1 J 01G)  2(G, J 01G u )} .2Здесь в конце были опущены члены более высокого чем первый порядкамалости по u. Первый член в правой части равенства соответствуетневозмущенному движению и не должен входить в возмущающую частькинетической энергии.