Диссертация (Некоторые задачи эволюции движения деформируемого спутника в центральном гравитационном поле сил), страница 11

Из системы (4.10) видно, что угол 1 не эволюционирует, углы gи h быстро меняются, а эволюция остальных переменных происходит медленно(они пропорциональны малому параметру χ). Это позволяет усреднить систему(4.10) еще раз по углу g, вследствие чего она приобретет вид:II1  1 I2 ;I22222I  nk  n 1 A1(1  e 2 )3/2  (e)  I 2  I 3  I 2  3I3 sin 2 i   I3  (e)cos i  ;2124I2 2I2 I2101I3   nk  n 1 A1I 3 (1  e 2 )3/2 1(e) 1  12 sin 2 i    2 (e)cos i ;1  0;(4.11)L  nk  n 1 A1I 3 2 (e)cos i  (1  e 2 )3/2  3 (e) ;  nk  n1 A1I 3 (1  e 2 )3/2 1 (e)cos i   2 (e) ;H  I3  H 0  const. 0Найдем стационарное решение системы (4.11).

Из условия выведем, чтоn 1 A1I3  2 (e)(1  e 2 )3/2 1 (e)cos i(4.12)Подставляя (4.12) в уравнение L  0 , получим  22 (e)  1(e) 3 (e)  0 , откудаследует, что L  0 при e  0 , что в свою очередь означает, что L   . Этоозначает, что орбита центра масс шара в стационарном движении становитсякруговой. Из (4.12) также следует I 3 A1 cos i  n , а это означает, что угловаяскорость вращения шара совпадает с его орбитальной угловой скоростью, авектор собственного кинетического момента шара ортогонален плоскостиорбиты.Заметим,чтоэффектыдолгопериодическойэволюциинепосредственно связаны именно с диссипацией энергии в вязкоупругомматериалешара,чтоотражаетсявналичиикоэффициентахарактеризующего вязкость в правых частях уравнений (4.10).χ,102ГЛАВА 5.

О ЧАСТОТАХ ЛУННО-СОЛНЕЧНЫХ ПРИЛИВОВДЕФОРМИРУЕМОЙ ЗЕМЛИ§ 5.1. Постановка задачиСтавится задача определения деформаций Земли под влияниемгравитационных полей Солнца и Луны. Земля рассматривается каквязкоупругое тело, имеющее твердое ядро. Орбита барицентра системыЗемля – Луна предполагается медленно эволюционирующей. На основеприближенных дифференциальных уравнений оказывается возможнымполучить выражение для вектора перемещений. Анализ вида вектораперемещений позволяет определить набор частот приливных деформацийЗемли в рамках рассматриваемой модели. В иностранной литературе вбольшинстве случаев используются модели численного компьютерногомоделирования на базе наблюдений МСВЗ [58]. В данной главе делаетсяпопытка построения численно-аналитической модели деформируемой Земли.Поскольку в настоящее время требуются высокие точности координатновременного обеспечения, то учет приливных деформаций Земли можетявляться важным в задачах такого типа [2,44].Для упрощения постановки задачи Луна и Солнце рассматриваются какматериальные точки, Земля – как тело, состоящее из осесимметричноготвердого ядра и вязкоупругой осесимметричной (в недеформированномсостоянии) оболочки, подчиняющейся модели Кельвина – Фойгта (рис.

6).103Рис 6. Модель Земли состоящей из твёрдого ядра и вязкоупругой мантии104На внутренней границе оболочки перемещения отсутствуют, а внешняяграница свободна. Предполагается, что процесс деформаций Земли можносчитать квазистационарным. Начало инерциальной системы координатO1 2 3 помещается в притягивающий центр (Солнце), с барицентром Cсвязываем оси Кёнига O1' 2' 3' . С ядром Земли жестко связываютсяосиC1 x1 x2 x3 , направленные по главным центральным осям инерции планеты внедеформированном состоянии, а также принимается, что точка C1 совпадаетс центром масс Земли в недеформированном состоянии (рис. 7).

Точкой C2на рисунке обозначена Луна. Далее, пусть RC  RC0 RC , RC  p (1  e cos ) 1 радиус-вектор барицентра, p и e –фокальный параметр и эксцентриситет егоорбиты,  - истинная аномалия. Аналогично представим вектор R21  R210 R21 от Луны к Земле, причем cos w1 cos 1  sin w1 sin 1 cos i R210   cos w1 sin 1  sin w1 cos 1 cos i  , w1  1  1 .sin w1 sin i1Потенциальную энергию Земли представим в виде  S  M ,fM dx ,[(O 1 RC  O 1 R1  r  u)2 ]1/2 S  fm2 dx ,2 1/2[(ORru)]21 M  1(5.1)105Рис 7. Барицентр системы Земли – Луна, движущийся по эллиптическойорбите вокруг Солнца106где  S - потенциальная энергия в гравитационном поле Солнца,  M потенциальная энергия в гравитационном поле Луны, Ω - область,занимаемая недеформированной Землей в осях C1 x1 x2 x3 , M – масса Солнца,m2 - масса Луны, O 1 (t ) - матрица перехода отm1 - масса Земли,инерциальной системы координат с началом в центре масс Земли, к системекоординат C1 x1 x2 x3 , жестко связанной с твердым ядром.

Матрица O 1 (t )представляется в видеO(t )  1 23 ,где cos1   sin 0 sincos00010  ,  2   0 cos 0 sin 1 0 cos  sin   , 3   sin  0cos  sin  0 cos  0  ,01 причем φ,ψ,θ – углы Эйлера. ТогдаO 1 (t )  31 2111 .Уравнения, определяющие деформации следуют из вариационного принципаДаламбера – Лагранжа: (O1  O 1 R  u  ε  ( r  u)  ω  (ω  (r  u))  2ω  u )  udx RC1 (E[ u],  u)  (D[ u ],  u)  ([u], u)  0(5.2)Здесь ω и ε – векторы угловой скорости и ускорения, соответственно; E[u] функционал энергии упругих деформаций, D[u ]   bE[u ] - диссипативныйфункционал.107§ 5.2. Вычисление деформаций в мантии ЗемлиВоспользовавшись модальным подходом, разложим вектор u в ряд пособственным формам (модам) колебаний аналогично [4,5]:u( r , t )  qkm(t )Vkm  pkm (t )Wkm  ,k ,m 0ивыбирая u  Vij или u  Wij ,получимбесконечнуюсистемуобыкновенных дифференциальных уравнений для модальных переменныхqkm и pkm .

Заметим, что справедливы равенства22(E ,Vkm )   kmqkm , (E ,Wkm )   kmpkm ,(5.3)а также22(D,Vkm )   b kmqkm , (D,Wkm )   b kmp km .(5.4)В нашем случае, для получения качественного эффекта, ограничимся толькодвумя модальными переменными q20 и p20 , которые описывают колебанияна формах V20 и W20 , которые достаточно хорошо моделируют приливныегорбы Земли. Кроме того, отбросим инерционные слагаемые, учитываяквазистационарностьдеформаций.Привычисленииградиентагравитационного потенциала примем, что выполняются соотношенияэквивалентностиrr~ ~ 1 ,R21 Ru~ 12 ,rR  RC  R1, 1 - малый параметр,R1 - вектор, направленный из барицентра в центр масс Земли.ограничиваясь членами порядка не выше 12 , и с учетом соотношенийТогда,108 rV20 dx   rW20  dx  0, (O10R21)(O 1 R210  r )V20  dx   1 2 (b2021  b2012 ), (O100R21)(O 1 R21 r )W20  dx  c2011 12  c2022 22 ,b2021   V202 x1  dx, b2012   V201 x2  dx,c2011   W201 x1 dx, c2022   W202 x2  dx,где V20i и W20i - проекции векторов V20 и W20 на оси xi декартовой системыкоординат x1 x2 x3 , получим( M ,V20 )  3 fm2( 1 2 )(b2021  b2012 ),3R21( M ,W20 )  3 fm2(c2011 12  c2022 22 ),3R21( S ,V20 )  3 fM(1 2 )(b2021  b2012 ),R3(5.5)и аналогично( S ,W20 )  (5.6)3 fM(c201112  c2022 22 ).3R0Здесь обозначено O 1 R21 ( 1 ,  2 ,  3 )T , O 1 R 0  (1 ,  2 , 3 )T .Учитывая слагаемые с центробежным ускорением за счет полярного сжатия вфигуре Земли, уравнения для модальных переменных запишем в виде109 202 q20   b 202 q20  2 203 p 20 3 fm2( 1 2 )( b2021  b2012 ) R213 202 p20   b 202 p 20  2 203q20 3 fM( 1 2 )(b2021  b2012 ),R33 fm2( c2011 12  c2022 22 ) 3R21Опускаямалые(5.7)слагаемые,3 fM(c2011 12  c2022 22 ).3Rвозникающиевследствиекориолисовогоускорения, перепишем уравнения (5.7) в векторном виде 202 p   b 202 p  F .(5.8)Здесь обозначеноp  (q20 , p20 )T ,3 fM 3 fm2 R 3 ( 1 2 )(b2021  b2012 )  R3 (1 2 )(b2021  b2012 ) 21.F 3fM 3 fm22222 R 3 (c2011 1  c2022 2 )  R3 (c20111  c2022 2 )  21Решение уравнения (5.8) может быть найдено в виде n p0p   (   b),t nn 0n(5.9)2где p0 - решение уравнения  202 p0  F , то есть p0   20F.Ограничиваясь первым приближением в (5.9), запишемp  p0   bp 0(5.10)110§ 5.3.

Вычисление часто приливов Лунно-Солнечных0Далее следует вычислить координаты векторов O 1 R21и O 1 R 0 , иподставитьв(5.10).Дляупрощениявычисленийможнопринятьi  const ,   const, 1  const , то есть считать, что орбита барицентра имеетпостоянными наклонение и долготу восходящего узла, и пренебречьпрецессией оси Земли. РазложимиR21Rв ряды по степенямэксцентриситета и ограничимся слагаемыми не выше первого порядка. Тогдасправа в равенствах (5.10) получим ряды гармонических функций вида ( A cosii Bi sin  i ) ,(5.11)iимеющих аргументами  i комбинации углов  , w, w1 , , w     .

Этикомбинации и будут определять частоты приливных деформаций. Вчастности, имеются комбинации следующего вида2 , 2 w1 ,  ,w1  w   ,2w   ,2w   ,определяющие периоды в половину суток, половину месяца, период нутацииоси Земли (чандлеровский период), два близких к месяцу, два близких кполугодию.Этипериодысогласуютсясизвестнымипериодамиокеанических и твердотельных приливов Земли. Кроме того, имеется такжебольшоеколичествоболеесложныхкомбинаций,периодам, близким к полусуточным, напримерсоответствующих1112  2 w1 , 2   , 2  2 , 2  2 w1   , 2  2 w1  2 ,2  w  w1 , 2  w  w1   , 2  w  w1  2 ,2  2 w, 2   , 2  2 , 2  2 w   , 2  2 w  2 ,2  w1  1 , 2  w1  12  3w1  1 , 2  3w1  w1 ,2  w1  1   , 2  3w1  1   , 2  3w1  1   ,2  w1  1  2 , 2  3w1  1  2 , 2  3w1  1  2 ,2    w1 , 2  2 w    w1 , 2  2 w    w1 ,2  2 w  w1  1   , 2  2 w  w1  1   , 2  2 w  w1  1   , …полумесячным2 w1   , 2 w1  w   , 2 w1  w   , 2 w1  w     , 2 w1  w     ,2 w1  w     , 2 w1  w     ,месячнымw1  2 w  1   , w1  2 w  1   ,и чандлеровским  w1  1 ,   w1  1 ,   w1  1 ,   w1  1 .Имеются также и комбинации с другими периодами, например:3w1  1 , 3w1  1   ,  w  ,   w   .112Хотя уравнения (5.10) позволяют также выписать формулы дляамплитуд приливов, соответствующих различнымпериодам, но этикоэффициенты требуют знания собственных форм колебаний Земли, точнойфигуры Земли, коэффициентов Ламе, диссипативного коэффициента, ипоэтому, более просто, могут определяться из результатов наблюдений.

Какизвестно, фигура Земли в результате приливных деформаций (океаническихи твердотельных приливов) является меняющейся во времени и стремитсяобрести форму реальной поверхности, именуемой геоидом. Гравитационныйпотенциал такой Земли можно приближенно получить из (5.1) замениввектор перемещений u выражением вида (5.11), где углы можно с большойстепенью точности считать известными функциями времени. Заметим также,что повышение порядка разложений R21 и R в ряды по степенямэксцентриситета в (5.10) добавит новые слагаемые в (5.11) и, соответственно,новые частоты.113ЗаключениеПеречислим основные результаты диссертационной работы:1.

В задаче об эволюции вращений спутника относительно центра массбыло показано, что в результате быстрой эволюции вектор кинетическогомомента расположится вдоль оси симметрии спутника (если осевоймомент инерции больше экваториального) и в экваториальной плоскостицентрального эллипсоида инерции, если наоборот.2. Установлено, что в результате медленной диссипативной эволюции поддействием гравитационно-приливных моментов от притягивающегоцентра будет происходить замедление быстрого осевого вращения, авектор кинетического момента будет наклоняться к плоскости орбиты,а в случае обратного вращения переворачиваться в прямое вращение.3.