Презентация сем 8 9 (Семинары)

ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫЦиклические полугруппы и группы• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 8.1.В полугруппе (A, ∗) n -я степень элемента a есть элементn1nn−1|a ∗ a ∗{z. . . ∗ a} , обозначаемый a , причем a = a и a = a ∗ a ,n разn = 2, 3, . . .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 8.1.В полугруппе (A, ∗) n -я степень элемента a есть элементn1nn−1|a ∗ a ∗{z. .

. ∗ a} , обозначаемый a , причем a = a и a = a ∗ a ,n разn = 2, 3, . . .Если (A, ∗, 1) — моноид, то вводят нулевую степень a0 = 1 .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 8.1.В полугруппе (A, ∗) n -я степень элемента a есть элементn1nn−1|a ∗ a ∗{z. . . ∗ a} , обозначаемый a , причем a = a и a = a ∗ a ,n разn = 2, 3, . . .Если (A, ∗, 1) — моноид, то вводят нулевую степень a0 = 1 .Если (A, ∗, 1) — группа, то для любого элемента a вводят отрицательную степень согласно равенству: a−n = (a−1)n , n = 1, 2, . .

.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 8.1.В полугруппе (A, ∗) n -я степень элемента a есть элементn1nn−1|a ∗ a ∗{z. . . ∗ a} , обозначаемый a , причем a = a и a = a ∗ a ,n разn = 2, 3, . . .Если (A, ∗, 1) — моноид, то вводят нулевую степень a0 = 1 .Если (A, ∗, 1) — группа, то для любого элемента a вводят отрицательную степень согласно равенству: a−n = (a−1)n , n = 1, 2, .

. .(Отрицательная степень элемента a группы есть положительная степень элемента, обратного к a .)• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 8.1.В полугруппе (A, ∗) n -я степень элемента a есть элементn1nn−1|a ∗ a ∗{z. . . ∗ a} , обозначаемый a , причем a = a и a = a ∗ a ,n разn = 2, 3, . . .Если (A, ∗, 1) — моноид, то вводят нулевую степень a0 = 1 .Если (A, ∗, 1) — группа, то для любого элемента a вводят отрицательную степень согласно равенству: a−n = (a−1)n , n = 1, 2, .

. .(Отрицательная степень элемента a группы есть положительная степень элемента, обратного к a .)Свойства степеней• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 8.1.В полугруппе (A, ∗) n -я степень элемента a есть элементn1nn−1|a ∗ a ∗{z. . . ∗ a} , обозначаемый a , причем a = a и a = a ∗ a ,n разn = 2, 3, .

. .Если (A, ∗, 1) — моноид, то вводят нулевую степень a0 = 1 .Если (A, ∗, 1) — группа, то для любого элемента a вводят отрицательную степень согласно равенству: a−n = (a−1)n , n = 1, 2, . . .(Отрицательная степень элемента a группы есть положительная степень элемента, обратного к a .)Свойства степенейУтверждение 8.1.1) Для любой полугруппы am ∗ an = am+n ; (am)n = amn (m, n ∈ N) ;• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 8.1.В полугруппе (A, ∗) n -я степень элемента a есть элементn1nn−1|a ∗ a ∗{z. . .

∗ a} , обозначаемый a , причем a = a и a = a ∗ a ,n разn = 2, 3, . . .Если (A, ∗, 1) — моноид, то вводят нулевую степень a0 = 1 .Если (A, ∗, 1) — группа, то для любого элемента a вводят отрицательную степень согласно равенству: a−n = (a−1)n , n = 1, 2, . . .(Отрицательная степень элемента a группы есть положительная степень элемента, обратного к a .)Свойства степенейУтверждение 8.1.1) Для любой полугруппы am ∗ an = am+n ; (am)n = amn (m, n ∈ N) ;2) для любой группы a−n = (an)−1 (n ∈ N) , am ∗ an = am+n(m, n ∈ Z) .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 8.2. Полугруппу (группу) (A, ∗) называют циклической, если существует такой элемент a , что любой элемент xполугруппы (группы) является некоторой (целой) степенью элементаa.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 8.2. Полугруппу (группу) (A, ∗) называют циклической, если существует такой элемент a , что любой элемент xполугруппы (группы) является некоторой (целой) степенью элементаa .

Элемент a называют образующим элементом полугруппы(группы).• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 8.2. Полугруппу (группу) (A, ∗) называют циклической, если существует такой элемент a , что любой элемент xполугруппы (группы) является некоторой (целой) степенью элементаa . Элемент a называют образующим элементом полугруппы(группы).Замечание. При аддитивной форме записи вместо an пишут n · a .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 8.2. Полугруппу (группу) (A, ∗) называют циклической, если существует такой элемент a , что любой элемент xполугруппы (группы) является некоторой (целой) степенью элементаa .

Элемент a называют образующим элементом полугруппы(группы).Замечание. При аддитивной форме записи вместо an пишут n · a .Пример 1. а) Полугруппа (N, +, 0) — циклическая, с образующимэлементом 1 .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 8.2. Полугруппу (группу) (A, ∗) называют циклической, если существует такой элемент a , что любой элемент xполугруппы (группы) является некоторой (целой) степенью элементаa .

Элемент a называют образующим элементом полугруппы(группы).Замечание. При аддитивной форме записи вместо an пишут n · a .Пример 1. а) Полугруппа (N, +, 0) — циклическая, с образующимэлементом 1 .Следуя определению 8.1, получим 0 · 1 = 0 .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 8.2. Полугруппу (группу) (A, ∗) называют циклической, если существует такой элемент a , что любой элемент xполугруппы (группы) является некоторой (целой) степенью элементаa . Элемент a называют образующим элементом полугруппы(группы).Замечание. При аддитивной форме записи вместо an пишут n · a .Пример 1. а) Полугруппа (N, +, 0) — циклическая, с образующимэлементом 1 .Следуя определению 8.1, получим 0 · 1 = 0 .Далее 1 · 1 = 1 ,• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 8.2.

Полугруппу (группу) (A, ∗) называют циклической, если существует такой элемент a , что любой элемент xполугруппы (группы) является некоторой (целой) степенью элементаa . Элемент a называют образующим элементом полугруппы(группы).Замечание. При аддитивной форме записи вместо an пишут n · a .Пример 1. а) Полугруппа (N, +, 0) — циклическая, с образующимэлементом 1 .Следуя определению 8.1, получим 0 · 1 = 0 .Далее 1 · 1 = 1 , 2 · 1 = 1 + 1 = 2 и т.д.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 8.2. Полугруппу (группу) (A, ∗) называют циклической, если существует такой элемент a , что любой элемент xполугруппы (группы) является некоторой (целой) степенью элементаa . Элемент a называют образующим элементом полугруппы(группы).Замечание.

При аддитивной форме записи вместо an пишут n · a .Пример 1. а) Полугруппа (N, +, 0) — циклическая, с образующимэлементом 1 .Следуя определению 8.1, получим 0 · 1 = 0 .Далее 1 · 1 = 1 , 2 · 1 = 1 + 1 = 2 и т.д.Для произвольного n имеемn · 1 = 1| + .{z. . + 1} = n.n раз• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 8.2. Полугруппу (группу) (A, ∗) называют циклической, если существует такой элемент a , что любой элемент xполугруппы (группы) является некоторой (целой) степенью элементаa .

Элемент a называют образующим элементом полугруппы(группы).Замечание. При аддитивной форме записи вместо an пишут n · a .Пример 1. а) Полугруппа (N, +, 0) — циклическая, с образующимэлементом 1 .Следуя определению 8.1, получим 0 · 1 = 0 .Далее 1 · 1 = 1 , 2 · 1 = 1 + 1 = 2 и т.д.Для произвольного n имеемn · 1 = 1| + .{z. . + 1} = n.n разб) Группа (Z5, 5, 1) — циклическая с образующим элементом 2.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 8.2.

Полугруппу (группу) (A, ∗) называют циклической, если существует такой элемент a , что любой элемент xполугруппы (группы) является некоторой (целой) степенью элементаa . Элемент a называют образующим элементом полугруппы(группы).Замечание. При аддитивной форме записи вместо an пишут n · a .Пример 1. а) Полугруппа (N, +, 0) — циклическая, с образующимэлементом 1 .Следуя определению 8.1, получим 0 · 1 = 0 .Далее 1 · 1 = 1 , 2 · 1 = 1 + 1 = 2 и т.д.Для произвольного n имеемn · 1 = 1| + .{z. . + 1} = n.n разб) Группа (Z5, 5, 1) — циклическая с образующим элементом 2.Действительно, для 2 имеем 20 = 1 ,• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 8.2.