Лекции #6 по Мат.Физ (Электронные лекции)

Распространение тепла в пространстве и уравнение диффузии.Физической основой для вывода уравнения распространения тепла в некотором объемевещества является закон Фурье для случая распространения тепла в однородном тонкомстержне, температуру в любом поперечном сечении которого можно считать постоянной:Количество тепла Q , проходящее через площадку S за время t в направлении вдольx:Q =  k(x, u)u ( x , t )S t.x(1)Здесь  / x– производная по нормали к площадке в направлении передачи тепла, u(x, t), температура,k(x, u) – коэффициент теплопроводности. Знак минус присутствует (1) ввиду того, чтотепло переходит от более нагретого объема к менее нагретому. В общем трехмерном случаеu и k являются функциями всех трех переменных x, y, z .

Выделим параллелепипед свершиной в точке (x, y, z), и ребрами величины (x,y,  z). Тогда, общий баланс тепла,прошедшего через две противоположные грани, ортогональные оси x , есть k(x+ x, y, z , u) u ( x , y, z, t )u ( x  x , y , z , t )y z  t + k(x , y, z , u)y z  t..xxАналогичные балансы потоков тепла могут быть записаны относительно оставшихся двухпар противоположных граней: k(x, y+ y, z , u) u ( x , y, z, t )u( x , y   y , z , t )x z  t + k(x , y, z , u)x z  t;yy k(x, y, z + z , u) u ( x , y, z, t )u ( x , y , z   z , t )xy  t + k(x , y, z , u)xy t.zzПри достаточно малых величинах граней (x,y,  z).

все три выражения могут быть сдостаточной степенью точности переписаны с помощью формулы конечных приращений ввидеu( x , y , z , t )u( x , y , z , t )k(x, y, z , u)x y z  t; k(x, y, z , u)x y z t;xyxyu( x , y , z , t )k(x, y, z , u)x y z  t.zzСумма всех трех слагаемых дает поток теплаQ1, уходящего через поверхностьпараллелепипеда за время  t, и равна, очевидно, выражениюQ1 =  div{ k(x, y, z , u)gradu(x, y, z)} x y z  t.С другой стороны, то же приращение тепла(2)Q в объеме параллелепипеда может бытьподчитано с помощью формулы, определяющей количество теплаQ2, которое нужнопередать однородному телу, чтобы повысить его температуру на величинуu запромежуток времени  t:Q2 = cx y z ut  t.(3)Здесь c – удельная теплоемкость материала; - его плотность; xy z –объем.В рассматриваемом объеме могут также действовать сторонние источники тепла,воздействие которых можно описать плотностью распределения источников F(x, y, z, t).Суммарное выделение тепла в рассматриваемом объеме за время  t определится какQF = F(x, y, z, t) x y z  t.(4)Общий баланс тепловых потоков записывается какQF  Q1 = Q2 , что приводит кравенствуF(x, y, z, t) x y z  t + div{ k(x, y, z , u)gradu(x, y, z)} x y z  t.

= cx yz ut  t.(5)В силу произвольности величин x, y, z,  t, из равенства (5) следует уравнениеF(x, y, z, t) + div{ k(x, y, z , u)gradu(x, y, z)} = c ut .(6)В достаточно узком температурном интервале, когда коэффициент теплопроводности k независит от температуры u, уравнение (6) становится линейным. В наиболее простом случае,когда все величины c, , k являются константами, уравнение приобретает наиболее простойвидut = a2 u + f(x, y, z, t),где a = k / c , f(x, y, z, t) = F(x, y, z, t) / c .2Краевые и начальные условия.(7)Так как уравнения (6), (7) по временной переменной t , - д.

у. первого порядка, то ставитсяодно начальное условие: u(x, y, z, 0) =(x, y, z). Краевые условия могут быть несколькихтипов:1. На границе S тела поддерживается заданная температураu|S = (t).2. На границе тела задан тепловой поток. Исходя из закона Фурье, имеемkunS= q, илиunS= q / k = h.В случае теплоизолированной границы3. На границе S поддерживается теплообмен по закону Ньютона q S =unS= 0.(u1  u)S, где - коэффициент теплообмена; u1 - температура внешней среды вне границы S . Если тотже тепловой поток q S записать через закон Фурье q S = kпримет вид (unS, то краевое условиеu+ hu) =(t), где h =  / k; (t) = h u1 (t).nЗамечание. В одномерном случае, когда распространение тепла происходит вдольдостаточно тонкого стержня длины l, задача приобретает вид уравнения теплопроводностиF(x, t) +{ k(x,u)u(x)} = c ut ; с краевыми условиями одного из трех типов:xxu(0,t) = (t), u(l,t) =  (t); ux (0,t) = 1 (t), ux (l,t) = 1 (t); ((u+ hu)nx lu+ hu)nx 0= (t),=  (t).Уравнение диффузии.Еслинекоторыйобъемзаполненгазообразнымвеществомснеравномернойконцентрацией, то происходит диффузия этого вещества из мест с более высокойконцентрацией, в места с более низкой концентрацией.

Будем рассматривать процессдиффузии в объеме, заполненном пористым веществом, считая, что концентрация газа (илираствора) внутри описывается функцией u(x,y,z,t). Вывод уравнения диффузии вполнеаналогичен выводу уравнения теплопроводности (6), за исключением физического смыславходящих функций и констант. Основной закон, описывающий массу газа, протекающегочерез площадку S за промежуток времени  tQ =  D(x, y ,z ,t)u ( x , y , z , t )S tn(8)носит название закона Нернста. Здесь D(x, y ,z ,t) - коэффициент диффузии. Аналогичнопредыдущему, для малого параллелепипеда имеем поток вещества в видеQ = div{ D(x, y,z,t) gradu(x, y, z, t)} x y z  t.Кроме того, есть еще два потока вещества:вещества за счет источников, и(9)Q1 = F(x, y, z, t) x y z  t., - притокQ2 =  quxyzt., - убыль вещества за счетпоглощения в среде пропорционально коэффициенту поглощения q. Сумма этих потоковможет быть приравнена изменению количества вещества в рассматриваемом объеме заотрезокt, пропорционально скорости ut изменения концентрации, свременикоэффициентом пропорциональностипористости:(x, y, z, t), который носит название коэффициентQ + Q1 + Q2 = (x, y, z, t) ut xyzt.

В результате, приходим куравнению диффузии ut = div{ Dgradu} qu + F.(10)В общем случае все величины, входящие в уравнение (10), зависят отx, y, z, t. Водномерном случае, когда рассматривается диффузия вещества внутри тонкой полой трубки,и все коэффициенты пропорциональности являются константами, уравнение приобретаетвидut = a2 uxx  u + f(x, y, z, t),где a = D / ,2(11) = q / , f(x, y, z, t) = F /  .Единственное начальное условие имеет вид u(M, 0) =(M), - заданной начальнойконцентрации.

Краевые условия могут быть также трех типов: 1) u|S = u0 ,- на границеподдерживается заданная концентрация; 2)границу; 3) DunпроницаемостиS= (u1  u)SunS= 0, - вещество не диффундирует через, - через границу идет диффузия с коэффициентом, а u0 и u1 - заданные функции времени..