Лекции #4 по Мат.Физ. 1 (Электронные лекции)

Уравнение поперечных колебаний тонкой упругой струны и продольныхколебаний упругого стержня.Будем считать, что колебания струны происходят в одной плоскости, то есть, еесмещение от положения равновесия можно описать одной функцией u(x,t) , где x пространственная координата вдоль невозмущенной струны, t – время, u – декартовакоордината в той же плоскости, ортогональная x . Струна рассматривается как гибкаяупругая нить. Математически выражение свойствагибкости заключается в том, чтонапряжения, возникающие в струне, направлены всегда по касательной к профилювозмущенной струны в каждый момент времени (струна не сопротивляется изгибу).Величина натяжения в струне, возникающего за счет ее упругости, вычисляется по законуГука.

Будем рассматривать малые поперечные колебания струны, что означает, что можнопренебречь величиной ux по сравнению с единицей.uTxxx + xРассмотрим силы, действующие на малый участок струныx. Внешние силы,действующие на струну, также как и силы инерции, направлены в поперечномнаправлении, вдоль оси u . Проекция сил натяжения на ось x равна T(x + x)cos( x +x ) – T(x)cos(x), а на вертикальную ось:T(x + x)sin( x + x ) – T(x)sin(x). Выразим cos и sin через тангенс: cos=11  tg 21=1  u x ( x, t )2 1, так как, (ux)2 мало по сравнению с единицей, и,следовательно, можно считать, что проекция сил натяжения T(x + x) – T(x) на ось x независит от переменной t. Сумма проекций всех сил, действующих на участок струны, наось x должна быть равна нулю (колебания имеют поперечный характер), то есть, T(x +x) – T(x) = 0.

Так как приращение x произвольно , то отсюда следует, что T(x + x)= T(x) = T 0 , - сила натяжения не зависит также и от x. Аналогично, sin ==u x ( x, t )1  u x ( x, t )2tg1  tg 2 ux . Следовательно, проекция сил натяжения на ось u равнаT0 (ux (x + x , t ) – ux ( x, t))  T0 ux x x, если использовать формулу конечныхприращений. Сила инерции вдоль оси u равна произведению ускорения на массу участкаструны, то есть(x)x ut t , где (x) - погонная плотность струны. Она направленапротивоположно сумме сил натяжения и внешних сил, распределенных с плотностью p(x,t) .

Следовательно, полный баланс сил вдоль оси u равен[T 0 ux x + p(x, t) – (x) ut t ]уравнение в частных производныхx = 0. В силу произвольности x , отсюда следуетut t = a2 ux x + g(x, t).(1)Здесь a = T0 / (x), g(x, t) = p(x, t) / (x).2Замечание. Если упругие свойства струны меняются от точки к точке, что соответствуетпеременному модулю упругости k(x) в законе Гука, то баланс сил натяжения,действующих на участок струны следует писать в виде k(x + x)ux (x + x , t ) –k(x)ux ( x, t)) (x)ut t =u ( x ,t )( k(x)), и уравнение (1) примет более общий видxxu ( x ,t )( k(x)). + p (x, t).xx(2)Рассмотрим теперь упругий стержень постоянного поперечного сеченияSсплотностью (x).xx+ xxУпругие продольные колебания материала стержня описываются функциейu(x,t),характеризующей продольное отклонение малого слоя стержня [x , x+ x] от положенияравновесия.

По формуле конечных приращений, u( x+ x,t) u(x,t) + ux(x,t)  x .Следовательно, относительное удлинение стержня в каждой точке описывается величинойux(x,t) . Но тогда, по закону Гука, напряжение T в каждой точке (сила натяжения) равнаESux(x,t), гдеE - модуль упругости Юнга. Равнодействующая сил натяжения,действующая на участок стержня [x , x+ x] : T(x + x) – T(x) = ES[ux(x+  x ,t) –ux(x ,t)]  ES uxx (x ,t)  x . В стержне действуют также внешние силы, распределенныес плотностью p(x, t), так что на рассматриваемый участок действует суммарная силаS  x p(x, t). Двум этим силам противодействует, по принципу Даламбера, сила инерции– (x)ut t S x .

Общий баланс сил для выбранного участка стержня имеет вид– (x)ut t S x + ES uxx (x ,t)  x + S  x p(x, t) = 0 .Сократив в (3) объемный множитель S(3) x , получим уравнение продольных колебанийупругого стержня в видеE uxx (x ,t) + p(x, t) = (x)ut t .Если(x) = const, то уравнение принимает видut t = a2 uxx + g(x, t).2Здесь a = E /(4) , g(x, t) = p(x, t) /  .Замечание. Если, как и в случае струны, модуль Юнга E является переменной величиной:E = k(x), то уравнение (3) приобретает вид (2).Краевые условия.На краях струны или упругого стержня, если их длина ограничена и равна l, должнысоблюдаться свои условия, соответствующие состоянию этих точек, которое, вообщеговоря, отличается от состояния внутренних точек.

Так, например, простейшие условия,соответствующие жесткому закреплению краев, если x [0, l] , требуют пребыванияэтих точек в невозмущенном состоянии во все моменты времени. Математически, этосоответствует краевым условиям первого рода:u(0,t) = 0; u(l, t) = 0.(5)Наоборот, если края свободны (не закреплены), то в точке x = 0 отсутствует силанатяжения, и баланс сил на отрезке [0, x] запишется в видеES ux(  x ,t) + S  x p(x, t) – (x)ut t S  x = 0.(6)Устремляя в равенстве (6)  x к нулю, получим краевое условие второго родаux( 0 ,t) = 0. Точно также, на правом конце получим аналогичное условие второго родаux(l ,t) = 0, если  x 0 в балансе сил для отрезка [ l –  x, l]:– ES ux( l – x ,t) + S  x p(x , t) – (x)ut t S  x = 0.Итак, условие незакрепленныхкраев соответствует краевым условиям второго родаux( 0 ,t) = 0, ux(l ,t) = 0.(7)Замечание.

Краевые условия второго рода (7) физически применимы, в основном, кслучаюпродольных колебанийнезакрепленныйупругихкрай означает отсутствиестержней,таккакнатяжения струнывислучаеструныневозможностьпоперечных колебаний.Рассмотрим теперь наиболее общий случай краевых условий, - упругое закреплениекраев (например, с помощью пружины). В этом случае в балансе сил появляетсядополнительное слагаемое – ku(0,t), или – ku(l,t), - упругое противодействиеотклонению от положения равновесия. Общие балансы сил на правом и левом концебудут иметь видES ux(  x ,t) + S  x p(x, t) – (x)ut t S  x – ku(0,t) = 0.– ES ux( l –  x ,t) + S x p(x , t) – (x)ut t S  x – ku(l,t), = 0.Устремляя  x к нулю, получим краевые условия третьего родаux( 0 ,t) – hu(0,t) = 0; ux( l ,t) + hu(l ,t) =0 ,где h = k/ ES.(8)Начальные условия.Поскольку по временной координате t уравнения (2), (4) имеют второй порядок, длявыделения единственного решения, как будет доказано в последствии, необходимопоставить два начальных условия.

В общем случае они сводятся к заданному отклонениюот положения равновесия в начальный момент времени t = 0 , и заданному значениюскорости (импульса) отклонения в этот момент. Математически это выражается в видедвух равенствu(x, 0) = (x), ut(x, 0) = (x),где(x) и (x), - заданные функции.(9).