Диссертация (Устойчивость равновесных состояний оболочечных элементов конструкций к силовым возмущениям), страница 8

Определенные на ее основе значения критических усилий сжатияреальных оболочек оказываются в два-три и более раз больше значений,полученных при испытаниях таких оболочек. Поэтому единственное значение,46которое можно придавать указанной формуле, - это формула для довольно грубойоценки критической нагрузки сверху.Проследим за эволюцией динамических характеристик при осевом сжатиишарнирно опертой цилиндрической оболочки относительной толщины R/h=100 иотносительной длины z  l 4 1   2 / Rh  20 , у которой в процессе эволюциипервое появление в спектре частоты, равной нулю, происходит при числе волн вокружном направлении n=9.

При расчетах применяем устойчивый высокоточныйметод численного интегрирования, реализованный в программе [49] и учитываемнелинейную зависимость параметров напряженно-деформированного состоянияоболочки от параметра осевого сжатия k. Результаты вычислений квадратовчастот первых четырех мод колебаний, имеющих девять волн в окружномнаправлении, 92,m  92,m (k ) представлены на Рис. 2.1.Рис.

2.1. Зависимость квадратов собственных частот цилиндрическойоболочки 9,m (рад/с) от параметра осевого сжатияСледует отметить, что квадраты частот колебаний цилиндрической оболочки92,m  92,m (k ) являются линейными функциями параметра осевого сжатия k вдиапазоне значений от нуля до 0,72. Характерно, что более высоким номерам модколебаний m отвечают более высокие скорости их убывания.

Это приводит кперехлесту частотных кривых.47На Рис. 2.2 показана эволюция форм собственных колебаний оболочки,соответствующая изменениям значений параметра k.Форма собственных колебаний, отвечающая наименьшей частоте придевяти волнах в окружном направлении 9,1 (0) , не имеет перемен знака, у второйформы колебаний, отвечающей частоте 9, 2 (0) – точно одна перемена знака, а участоты 9,3 (0) – две перемены знака (Рис. 2.2, а).

Эти формы обладаютортогональностью.При значении параметра сжатия k1(,92)  k *  0,496 первые две частотыпрактически равны: 9, 2 (k * )  9,1 (k * )  1. Формы колебаний, соответствующиеэтим частотам оболочки, показанные на Рис. 2.1, б, имеют равное число перемензнака. Следует отметить, что эти формы не обладают свойством ортогональности.При значении параметра сжатия k *  0,645 практически равны вторая итретья частоты.

Формы колебаний, соответствующие этим частотам оболочки,показанные на Рис. 2.1, в, имеют равное число перемен знака и не являютсяортогональными.Три первые формы колебаний при n=9 и параметре k = 0,690 показаны наРис. 2.1, г. Форме колебаний, имеющей одну перемену знака, соответствуетнаименьшая частота, следующая частота имеет форму колебаний с двумяпеременами знака, а у третьей частоты форма колебаний не имеет узловых точек.Смена порядка чередования узлов у форм колебаний и сохранениескоростей убывания квадратов частот у форм колебаний, имеющих равное числоузловых точек, свидетельствует о перехлесте частотных кривых.48а) три первые формы свободных колебаний при n=9 и параметре k = 0б) три первые формы колебаний при n=9 и параметре k = 0,499в) три первые формы колебаний при n=9 и параметре k = 0,645г) три первые формы колебаний при n=9 и параметре k = 0,690Рис.

2.2. Эволюция форм колебаний цилиндрической оболочкипри осевом сжатии (R/h=100, z=20)49Рис. 2.3. Характерная зависимость квадрата минимальной частотыцилиндрической оболочки от параметра осевого сжатия kНа Рис. 2.3 показана характерная расчетная зависимость квадратаминимальной частоты колебаний оболочки от параметра осевого сжатия. Вотличие от зависимости квадрата минимальной частоты прямолинейного стержня,которая линейно зависит от параметра сжатия, как расчетные, так иэкспериментальные кривые квадрата минимальной частоты цилиндрическойоболочки резко снижаются при больших значениях осевой силы [37].

Это делаетневозможнымнепосредственноеопределениекритическихнагрузокпорезультатам вибрационных испытаний.Расчетами установлено, что значения параметров k *  ki(,nj) , при которыхсближаются частоты i-ой и j-ой мод колебаний, приближенно могут бытьполучены путем определения условий, при которых имеет место равенствопарциальных частот уравнений (2.19), описывающих возмущенное движениеоболочки.В том случае, когда учитывается нелинейная зависимость параметровравновесного напряженно-деформированного состояния оболочки от параметра(n )осевого сжатия k , элементы матрицы aimв системе ОДУ (2.19) могут бытьвычислены согласно50aii   ni2  k i2TB / h  (m  k 2 i ) 2 Tii   iФii [m(1  )(m  k 2 i )  2 i2 ]  H ii [ i  i k 2  m i (1  3 ) / 2  k 2 i2 (1  ) / 2]   i  i Gii ;aij  Фij {m 2 j (1  ) / 2  m[k 2 i (1  ) / 2   j (1   )( i   j )]   j  2j }  iФ ji [   m(1  )(m  k 2 j ) / 2]  H ij [ j  j   i (1  )(k 2 j  m) / 2 (2.22)2j (k 2   j m)]   i  j Gij  (m  k 2 i )(m  k 2 j )Tij ;m  nk 2 .(i  j )Здесь um   m cos  m x , vm  m sin  m x , wm  sin  m x ,  m  m l ,2B l 0Фij 1 sin  i x cos  j xdx;hl 0H ij 2 B dsin  i x sin  j xdx;hl 0 dx01l2 l 0Tij T22 sin  i x sin  j xdx;hl 0Gij 2 B dcos  i x cos  j xdx.hl 0 dxl(2.23)010Положив величины окружного усилия Т 22и угла поворота нормали 10 вэтих соотношениях равными нулю, получаем приближенные зависимостиквадратов парциальных частотpnm  ammс числом волн в окружномнаправлении, равном n, от параметра осевого сжатия kh pnm  h  m kTB  .l22nm (2.24)Известно, что верхней критической нагрузке цилиндрической оболочки,соответствует первое появление в ее спектре собственной частоты, равной нулю.Этому событию отвечает то значение параметра сжатия k, которое обеспечивает всоответствии с (2.24) выполнение условия22  l  kTB  min  hnm  .n ,m  m  (2.25)Если величину квадрата собственной частоты свободных изгибныхколебаний цилиндрической оболочки определять согласно [112] по соотношениюhD2nm (  212 22)14 40mnEh4 2;;;,120lR(1  22 ) 2DR 2(2.26)51то на основании условия (2.25) можно получить известную формулу ЛоренцаТимошенко (2.21).

Следовательно, если напряженно-деформированное состояниеоболочки считается безмоментным, то первое появление в спектре сжимаемойцилиндрической оболочки собственной частоты, равной нулю, происходит призначении параметра осевого сжатия k  1.Необходимоотметить,чтопервомупоявлениюнулевойчастотыпредшествует ряд значений параметра k  kij(n ) , при которых имеет месторавенство собственных частот оболочки с одинаковым числом волн n в окружномнаправлении.Зафиксируем при каждом из значений параметра волнообразования nмножество  n  kij( n)  1 , включающее все те значения параметров осевого сжатияоболочкиk,прикоторыхимеетместоравенствособственныхчастот,соответствующих i-ой и j-ой модам колебаний. Для изотропных цилиндрическихоболочек перехлесты частотных кривых при значениях параметра k<1 существуютдля всех n  [0, N ] , где величина N определяется соотношением2 2R5  R  2N  a int3(1   )    . h2 l  (2.27)Здесь aint(x) – функция, обрезающая вещественную величину x в сторонунуля до целой части.

Для указанной выше оболочки объединенное множество   0  1  ...   N показано на Рис. 2.4.Рис. 2.4. Множество   kij( n)  1 цилиндрической оболочки при R/h=100 и z  2052Точная нижняя грань каждого из множеств  n существует и равна k n .Множества  n были определены при значениях параметра R/h=125, 250, 500 в томслучае, когда   0,3 и L / R  2 .

Полученные зависимости величин k n  k n (n)представлены на Рис. 2.5. С увеличением параметра относительной толщины R / hчисло элементов множеств  быстро возрастает.Исследуемреакциюцилиндрическойоболочки,характеризуемойбезразмерными параметрами R / h  250, l / R  1,3 и сжатой усилиями T110  kTB , наf (t )  { f1(14) (t )  sin( p0t ), 0,...,0} вдействие малого силового возмущения)*(14)окрестности особых значений параметров k1*  k1(,142  0,55 и k 2  k1,3  0,72 .Рис. 2.5. Зависимости точных нижних граней k n множеств  n от параметраволнообразования n при различных относительных толщинах оболочкиПри указанных значения параметров осевого сжатия имеют местовнутренние резонансы 14,1 (k1* )  14, 2 (k1* ) и 14,1 (k 2* )  14,3 (k 2* ) . Положим вуравнениях возмущенного движения (2.19) величины M=8 и n=14. Считаем, чтона торцах оболочки выполняются граничные условия Навье.Полученная система ОДУ после приведения к нормальной форме dx / dt  Ax  f интегрировалась численно методом Кутта-Мерсона четвертогопорядка точности на интервале времени от нуля до 0,1 секунды, после чего приразличных значениях параметра осевого сжатия k определялись значения величин53Ai  max qi(14) (t ) (i=1, 2, …,8).

Результаты вычислений значений A1 и A3 ,нормированные по отношению к максимальному из их значений, представленына Рис. 2.6. Нормированные значения величин Ai (i  2, 4 8) не превысили 0,01.В результате установлено, что резонансному пику величины А1 вокрестности параметра осевого сжатия k1*  0,55 сопутствует резонансный пиквеличины А3, а резонансному пику величины А3 в окрестности параметра осевогосжатияk 2*  0,72сопутствует резонансный пик величины А1.