Диссертация (Устойчивость равновесных состояний оболочечных элементов конструкций к силовым возмущениям), страница 11

При пересчете исходной информации коэффициент устойчивостипринимался равным K c  (4 3 /  2 )Z (Z  z 2 ) .Рис. 2.18. Зависимости коэффициентов устойчивости оболочек от параметра R / hпри 99%-ном уровне вероятности попадания в вышележащую область ирасчетных значениях k 0 для случая защемленных по торцов оболочек (Г2)Полученная таким путем кривая зависимости границы экспериментальноопределенных коэффициентов снижения критических нагрузок оболочек при99%-номуровневероятностипопаданияэкспериментальныхточекввышележащую от неё область от их относительных толщин R / h представлена наРис. 2.18.

Там же представлена зависимость параметра k 0 от величины этогоотношения. При расчетах торцы оболочек считались полностью защемленными, аих относительная длина была принята равной z  30 .При анализе результатов экспериментов снижение величин критическихпараметров осевого сжатия по мере роста параметра R/h отмечается какхарактерное.Результатывычисленийнапряжений,соответствующихнеобходимым условиям неустойчивости сжатых цилиндрических оболочек,близки к их нижней границе экспериментально определённых критическихнапряжений во всём диапазоне безразмерных параметров подобия.Условиепревышенияпараметромосевогосжатияkизотропныхцилиндрических оболочек значения k 0 не являются критерием, а тольконеобходимым условием возникновения у нее колебательной неустойчивости при70воздействии силовых возмущений, зависящих явным образом от времени.Полученные результаты следует трактовать следующим образом.По мере возрастания параметра осевого сжатия от нуля до значения,равного k 0 , никакие принятые к рассмотрению в работе малые возмущения неспособны вызвать потери её устойчивости.При значениях k  k0 в окрестности тех параметров осевого сжатияоболочки, у которых парциальные частоты, имеющие равное число волн вокружномнаправлении,равнымеждусобой,существуетвероятностьвозникновения колебательной неустойчивости, способной вызватьскачокоболочки к новому равновесному состоянию.

Пусть, например, при t  [0, T ]силовое возмущение определено соотношениемmxcos(n ) .lОчевидно, что при числе волн в окружном направлении n=1 такоеf ( x, , t )  f m( n ) (t ) sinвозмущение способно вызвать лишь колебания оболочки как балки, а при n=2 –возникают колебания, при которых её поперечные сечения имеют форму овала.Рис. 2.19. Коэффициенты устойчивости оболочки k1 , k 2 ( пунктирные кривые)и уровни 99 % и 90 % вероятности попадания критических усилий сжатияв вышележащую от них область [26, 144].Зависимости параметров k1и k 2 для указанных значений параметраволнообразования от относительной толщины оболочек R/h в том случае, когда  0,3 и L/R=2, представлены на Рис. 2.19 пунктирными линиями.

Эти линии71близки к кривым 1 и 2, которым соответствуют 99 % и 90 % вероятностипопадания критических усилий сжатия в вышележащую от них область[26, 144]. В рамках данной математической модели потеря устойчивостицилиндрической оболочки при значениях параметра осевого сжатия k0 ≤k< k1может быть вызвана только осесимметричными силовыми воздействиями. Призначениях k1 ≤k< k2 дополнительной причиной потери устойчивости становятсявозмущения, возбуждающие балочные формы колебаний оболочки.

Силовыевозмущения, приводящие к овализация сечений оболочки, способны приводить кпотере её устойчивости при значениях параметра осевого сжатия k> k2. Такимобразом, возмущения, возбуждающие балочные формы колебаний оболочки,способны вызвать потерю оболочкой устойчивости прежде, чем силовыевозмущения, приводящие к овализация ее сечений. Этот результат находится вполном соответствии с выводами работы [138], в которой на основе анализарезультатов влияния характера начальных несовершенств цилиндрическихоболочек на их устойчивость при осевом сжатии показано, что искривления внаправлении оси цилиндрической оболочки являются наиболее опасными.Как правило, все эмпирические зависимости, рекомендованные в [25] дляопределениянижнейграницыэкспериментальныхзначенийкритическихнагрузок, получены в предположении о независимости их от относительнойдлины оболочки.

Исключением из этого правила являются рекомендации,основанные на решении нелинейных задач и экспериментах, посвященныхизучению закритического поведения оболочек и обоснованию нижней границывеличины критической нагрузки k z[25, 152]. Для практической оценкиустойчивости оболочек в этом случае рекомендуется брать минимальнуювеличину нагрузки на кривой первого закритического равновесного их состояния– первую нижнюю критическую нагрузку.

Как отмечается в работе [25], даннаяхарактеристика нечувствительна к начальным неправильностям, а ее зависимостьот относительной длины оболочки находится в соответствии с экспериментом.72Расчетнаяоценказначенияпараметраkzбылаполученапутемсопоставления его величины с расчетными значениями k c , соответствующимилокальному минимуму зависимости k  k n (n) .Для этого на основании соотношений (2.26) и (2.33) после некоторыхпреобразований находим выражение для определения величин параметровk nm  Tnm / TBk nmR 2 n 4 (2m 2  2m  1)  n 2 m 2 (m  1) 2 12 (1  ) 2h[ (m  1) 2  n 2 ]2 [m 2  n 2 ]22 (2m 2  2m  1)  2n 2 ;Расчетами(2.39)  4 R 3(1  2 ) / h;   (R / l ) 2 .установлено,чтопризначениипараметраk  kc ,соответствующего локальному минимуму зависимости k  k n (n) , наблюдаетсяперехлест первой и второй мод колебаний.

Полагая величину m = 1 , находим, чтоминимальное значение k nm в соотношении (2.39) достигается при числе волн вокружном направлении n, определяемом по соотношениюn  entier 3R  60 (1   )  h z2232  R   . 4   l  (2.40)Таким образом, значение параметра осевого сжатия шарнирно опертойоболочки k c , соответствующего локальному минимуму функции k  k n (n) , можетбыть вычислено по соотношению (2.39) при значениях m=1 и n, определенномусогласно (2.40).В случае оболочек средней длины величина k c зависит в основном отзначений параметров относительной длины оболочки z и коэффициента Пуассона и может быть вычислена по соотношению60 2kc 2 33 114,37 1  2  2 .2  22(1  )  z 3z 3(2.41)Зависимость параметров k z и k с цилиндрических оболочек при  =0,3 от ихотносительнойдлиныzпредставленанаРис.2.20.Сопоставление73представленных на Рис.2.20 зависимостей показывает, что параметр осевогосжатия оболочки kc может быть рекомендован для практической оценкиустойчивости цилиндрических оболочек при осевом их сжатии.Рис.

2.20. Рекомендуемые коэффициенты устойчивости сжатых цилиндрическихоболочек: k z – согласно первой нижней критической нагрузке [25, 152];k с – согласно локальному минимуму множества    0  1  ...   NВопрос выбора коэффициента понижения по отношению к даннымклассической теории малых прогибов остается за проектировщиками иизготовителями реальных оболочечных конструкций. Так, например, в начале60-х годов в США при проектировании элементов конструкций ракет «Тор» и«Сатурн» применялась статистическая кривая 99%-ной вероятности, показаннаяна Рис.

2.19, тогда как в СССР в это время при проектировании ракеты «Протон»использовалась другая кривая – 90%-ной вероятности [45].2.3 Устойчивость равновесных состояний замкнутой круговойцилиндрической оболочки при внешнем давлении и осевом сжатииЗадачи об устойчивости цилиндрической оболочки при внешнем боковом игидростатическом давлениях имеют длинную и богатую историю, котораядостаточно подробно отражена в книге Э.И. Григолюка и В.В. Кабанова [25].Основные результаты решения этих задач для оболочек конечной длины были74получены Саутуэллом (1913), Мизесом (1914), Папковичем (1929) и Батдорфом(1947).Рассматривая цилиндр, на который действует осевая нагрузка, боковоедавление p , а также гидростатическое давление, Батдорф показал [127], чторезультаты анализа можно представить в виде зависимости от двух параметров, аименно: параметра давления C p и геометрического параметра ZL,2pRl 2l RCp ; ZL   1  2 .2DR hПолученныеимтеоретическиекривыеиихсравнениесэкспериментальными данными для случая бокового давления приведены наРис.

2.21 и для гидростатического давления – на Рис. 2.22.Из графиков видно, что если для случая бокового давления между теорией иэкспериментомсуществуетхорошеесоответствие,тодляслучаягидростатического давления при величинах геометрического параметра Z  100такое соответствие нарушается. С позиций динамического критерия устойчивостиэто расхождение может быть объяснено влиянием осевых сжимающихнапряжений.Рис. 2.21.

Боковое давление: теоретические кривыеи экспериментальные данные [127]75Рис. 2.22. Гидростатическое давление:теория и экспериментальные данные [127]Рассмотрим замкнутую круговую изотропную цилиндрическую оболочку,находящуюся в равновесном состоянии при совместном действии на нее усилийсжатия T110 , равномерно распределенных вдоль дуговых кромок, и внешнегодавления p, равномерно распределенного вдоль боковой поверхности, в условияхприсутствия малых силовых возмущений f ( x, , t ) . На торцах оболочки при x  0и x  l считаются выполненными граничные условия шарнирного опиранияw0 (0)  w0'' (0)  w0 (l )  w0'' (l )  0 .Еслипринятьравновесноенапряженно-деформированноесостояниеоболочки безмоментным, то зависимости квадратов парциальных частот pnm от0величин усилия осевого сжатия Т11и внешнего давления p определяютсясоотношениямиh pnm  h где nm20 mnm  T1122n  pR  . l R(2.42)– частота собственных свободных преимущественно изгибныхколебаний ненагруженной оболочки с образованием m полуволн в осевоми n волн в окружном направлениях.Скорость снижения парциальных частот при постоянном давлении pопределяется как76 pnm1  m  ,0h  l T112(2.43)а при постоянной величине сжимающих усилий T110 как pnmR n  .ph  R 2(2.44)Согласно (2.44) при любом постоянном значении усилия сжатия T110 и одноми том же значении величины n по мере роста бокового внешнего давления pскорости снижения величин собственных частот оболочки  2nm  pnm одинаковы ичастотные кривые не пересекаются.

Когда величина сжимающего усилия T110остается постоянной, а внешнее давление p повышается, появление кратныхкорней невозможно. Следовательно, необходимые и достаточные условия потериустойчивости оболочки в этом случае совпадают, что означает существованиекритерия устойчивости.Соотношение (2.45) определяет условия, при которых у цилиндрическойоболочки при нагружении её внешним давлением и постоянном значениивеличины сжимающего усилия T110 впервые появляется частота, равная нулюp В (T110 ) R22  R 20  m    min   min h mn  T11 .nm  l   n (2.45)Получаемое на основании соотношения (2.45) значение внешнего давленияp В (T110 )являетсякритическим.Оноопределяетдостаточныеусловиянеустойчивости цилиндрической оболочки при комбинированном нагружении еевнешним давлением и сжимающими усилиями.Если на оболочку действует только внешнее давление, а величина квадратасобственной частоты m-й моды свободных изгибных колебаний цилиндрическойоболочки определяется выражением (2.26) то, исходя из соотношения (2.45), приT110  0 можно получить известную формулу Папковича для определениявеличины критического бокового внешнего давления77p В  p В (0) E 69 1 2 0, 75R  h 2,5  .l R(2.46)Форма потери устойчивости оболочки в этом случае характеризуется однойполуволной в осевом и n0 волнами в окружном направлении, причемn0  4 6 2 1   2R4 R.l h(2.47)Хорошее соответствие между классической теорией и экспериментом дляоболочек, нагруженных только внешним давлением, объясняется наличиемкритерия устойчивости, тогда как большое несоответствие между теорией иэкспериментом в задаче о сжатии цилиндра является следствием несовпадениянеобходимых и достаточных условий неустойчивости, т.е.