Диссертация (Устойчивость равновесных состояний оболочечных элементов конструкций к силовым возмущениям), страница 12

отсутствием критерияустойчивости.Если сжатие оболочки происходит при постоянном внешнем давлении p, товпервые корень, равный нулю появляется, согласно (2.42), при выполненииусловия22 n   l  2TВ ( p)  min  hmn  pR   .m ,n R   m  (2.48)Получаемое на основании (2.48) значение сжимающих усилий TВ ( p)является критическим.

Оно определяет, как и соотношение (2.45), достаточныеусловия неустойчивости цилиндрической оболочки при комбинированномнагружении ее внешним давлением и сжимающими усилиями.На Рис. 2.23 кривая 1 построена с использованием соотношения (2.48). Вплоскости параметров внешнего давления kp и осевого сжатия kс она представляетсобою ломаную линию, обращенную выпуклостью от начала координат, сточками излома этой линии P и Q. Данная кривая отделяет прилегающую кначалукоординатнеустойчивости.областьКривуюустойчивости1хорошооболочкиBаппроксимируетотобластипрямаяеелинияkс + kp = 1 (линия 2), что полностью согласуется с известной теоремой78И.Ф.Папковича, доказанной им в рамках качественной теории устойчивостиоболочек [104].Рис. 2.23. Зона устойчивости цилиндрической оболочки  B  0   Апри комбинированном нагружении внешним давлением и осевым сжатиемВ области устойчивости оболочки  B существует ряд значений параметроввнешнего давления kp и осевого сжатия kс, при которых имеет место перехлестчастотных кривых.

Приближенное значение параметра осевого сжатия k c , прикотором равны парциальные частоты i-ой и j-ой мод колебаний с равным числомволн в окружном направлении n определяется согласно (2.42) из равенства i n j nh   kcTB    k p p B R   h nj2  kcTB    k p p B R  . l R l R22222niВ результате приходим к соотношениюk cTB  T110 Tijnn2,i  n2, j  l  2 h 2  .i  j2  (2.49)Следует отметить, что величина k c не зависят от величины давления p.Рассмотримхарактерустойчивостицилиндрическихоболочек,характеризуемых параметрами L/R=2, R/h=250,   0,3 , нагруженных в области79Bвнешним давлением p  k p p B и сжатыми усилиями T110  kcTB .

Введемследующие обозначения: k n  min Tijn / TB ;k 0  min k n ;k ВP  TВ ( p) / TB ;k ВC  p В (T110 ) / p B .i, jОбластьnустойчивостиоболочекBразделяетсяпрямойkc  k0(линия 3 на Рис. 2.23) на две зоны,  A и  0 . Величина параметра k 0определяется по соотношению (2.36).Еслизначенияпараметровkcиkpпринадлежатобласти А { 0  kc  k0 ; 0  k p  k ВС }, то перехлестов частотных кривых у оболочек нет.Это означает, что колебательная неустойчивость невозможна. Следовательно, вобласти  A равновесные состояния замкнутых круговых цилиндрическихоболочек в случае комбинированного нагружения равномерным осевым сжатием идавлением, устойчивы.

Усилия сжатия TA  k0TB определяют одну из границобласти  A .В области  0 { k0  kc 1; 0  k p  k ВС } существуют значения параметровk c и k p , при которых имеет место перехлест частотных кривых. Присутствиемалых силовых воздействий при этих значениях параметров k c и k p способновызвать колебательную неустойчивость. Это означает, что в этом случаесуществует вероятность «скачка» и исчерпания несущей способности оболочки.Таким образом, область  0 является зоной относительной устойчивости.Если при значениях параметров k c и k p , принадлежащих области  A ,оболочка безусловно устойчива к силовым возмущениям, а при значениях,лежащих вне области устойчивости  B – безусловно неустойчива, то призначениях параметровустойчивости0kcисуществуетk p , принадлежащих области относительнойвероятностьвозникновенияколебательнойнеустойчивости, способной вызвать резкий переход оболочки к новомуравновесному состоянию.80Вероятностьпотериоболочкойустойчивостиp(k c , k p )прирассматриваемых значениях параметров осевого сжатия k c и внешнего давленияk p может быть найдена по формуле полной вероятности [83]Np(k с , k p )   p(n) pn k c  ,(2.50)n 0где p(n) – вероятность гипотезы, согласно которой при потере устойчивостиоболочки образуется n волн в окружном направлении;pn ( k c )– вероятность потери устойчивости оболочки при условииобразования n волн в окружном направлении.Будем считать, чтоkс  k n ;0,pn (k с )  1,kс  k n ;k с [0, k ВР ] ,(2.51)а величина вероятности p(n) обратно пропорциональна частоте собственныхnm , соответствующей параметруколебаний оболочкиПоследнеедопущениеобусловленотем,чтоболееkn ,p(n)  / nm.низкимчастотамсоответствуют более высокие амплитуды колебаний, и, следовательно, болеевысокой частоте колебаний должна соответствовать меньшая вероятность скачкаоболочки к новому равновесному состоянию.

Величина α определяется исходя изусловия нормировкиN p(n)B(k n )  1 . Здесьn 01,B(k n )  0,2 2R5  R   .2N  a int3(1  )    hk n  k BP ;2 l  k n  k BP ;(2.52)Вероятности гипотез p(n) , согласно которым при потере устойчивостиоболочки с параметрами L/R=2, R/h=250, и   0,3 образуется n волн в окружномнаправлении, представлены в Таблице 2.1.81Таблица 2.1.Вероятности гипотез p(n) потери устойчивости оболочкипри осевом сжатии с параметрами L/R=2, R/h=250,   0,3Функция вероятности P(k ) потери устойчивости такой цилиндрическойоболочки при осевом сжатии в отсутствии бокового давления показанана Рис. 2.24.С использованием данной вероятностной модели имеется возможность вобласти относительной устойчивости  0 построения линий равной вероятностидля случая комбинированного нагружения оболочек боковым давлением и осевымсжатием.

Изолинии вероятностей, равных 0,5 и 0,9 для рассмотренных оболочек,показаны на Рис. 2.25 (линии 1 и 2 соответственно).82Рис. 2.24. Функция вероятности P(k ) потери устойчивости цилиндрическойоболочки с параметрами L/R=2, R/h=250 при осевом сжатииРис. 2.25. Линии равной вероятности в случае комбинированного нагруженияоболочки боковым давлением k p и осевым сжатием k c(1 – изолиния вероятности 0,5; 2 – изолиния вероятности 0,9)Принагружениицилиндрическихоболочеквсестороннимвнешнимдавлением практические расчеты зачастую осуществляются с использованиемклассической линейной теории устойчивости исходя из величины, определяемойпо формуле Саутуэлла-Папковича [25].

При этом в расчеты с целью согласованияс экспериментальными данными вводится поправочный коэффициент, который83предполагается зависящим только от отношения R/h [16]. Определить границыправомерностиподобногоподходапозволиланализ,выполненныйсиспользованием динамического критерия устойчивости.В случае всестороннего внешнего давления соотношение (2.45) принимаетвид2p В (T110 ) R R  p В (T110 ) R p В R  2 n0l (2.53)в силу того, что число полуволн в осевом направлении равно единице и2 R p В R  min   h 12nn  n .В плоскости параметров (Т110, pR) область, изображенная на Рис.

2.26, а ипредставляющаясобойпрямоугольнуютрапециюсрасстояниеммеждуоснованиями, равным Т А  k0TB , и боковой стороной в виде отрезка прямой линии,заданной уравнением (2.53), условия равенства парциальных частот с одинаковымчислом волн в окружном направлении у нагруженной оболочки не выполняются.Это означает, что никакие малые силовые возмущения не способны вызватьвозникновения ее колебательной неустойчивости и эта зона представляет собоюзону безусловной устойчивости оболочки при данном виде нагрузки.ТраекториянагруженияоболочкиpR / T110  tg  2 ,соответствующаявсестороннему внешнему давлению (Рис. 2.26 а), при выполнении условияp B (TA ) R / Т A    2 проходит через зону безусловной устойчивости оболочки взону неустойчивости, пересекая ее границу по линии, заданной уравнением (2.53).Необходимые и достаточные условия неустойчивости оболочки в этомслучае совпадают, что является свидетельством существования у рассматриваемойцилиндрической оболочки критерия устойчивости и возможности находитьзначение критической нагрузки p G на основании (2.46) и (2.53) по соотношениюpG  p B 1; 2 6z   l 4 1  2z.Rh(2.54)84Отличие величины критического давления, определенного по соотношению(2.54), от ее величины, определенной по формуле Саутуэлла-Папковича (2.46), непревышает 3 % при относительной длине оболочек z>20.а)б)Рис.

2.26. Траектория нагружения оболочки pR / T110  tg  2 при всестороннемвнешнем давлении: а) p B (TA ) R / Т A    2б) p B (TA ) R / Т A    2При   2 траектория нагружения оболочки pR  2T110 пересекает границуT110  T A зоны ее относительной устойчивости  0 прежде, чем величина давлениядостигнет верхнего критического значения, равного pG (Рис. 2.26 б).