Диссертация (Устойчивость равновесных состояний оболочечных элементов конструкций к силовым возмущениям), страница 10

В этом случае имеет место взаимодействие двух мод изгибныхколебаний wi( n ) ( x) и w(jn ) ( x) и, как минимум, двойной резонанс (Рис. 2.6). Поопределению это означает, что оболочка неустойчива по отношению к силовымвозмущающим факторам (2.27). В работах А.М. Ляпунова и И.Г. Малкина [95, 96]доказано, что при наличии пары чисто мнимых корней члены более высокихпорядков малости могут упрочнять неустойчивость первого приближения,существующую за счет вековых членов в решении уравнений возмущенногодвижения.При условиихарактеристическоеaij a ji  0уравнениеи равенстве парциальных частот(2.30)имеетприблизительноpni  pnjравныедействительные корни 1  2 , 3  4 . Как уже ранее отмечалось, характер62возмущенного движения при критически близких частотах ni  nj напряженнодеформированной оболочки с одинаковым числом волн в окружном направленииопределяется в основном двумя соответствующими модами колебаний.В этом случае при колебаниях оболочки формируются две различныесоответствующие одному и тому же волновому параметру формы изгибныхколебаний – непосредственно возбуждаемой и так называемой «дополнительновозбуждаемой формы», причем переходы от одной изгибной формы к другойсопровождаются скачками амплитуд колебаний [23].

При этих условияхсоздаются предпосылки для радикального перераспределения энергии междуразличными обобщенными координатами оболочки, вследствие чего могутвозбуждатьсяинтенсивныеколебанияпотемформам,покоторымнепосредственно не действуют внешние возмущающие силы. Такая перекачкаэнергииспособнавызватьопаснуюинепредсказуемуюдинамическуюнеустойчивость конструкции.В теории нелинейных колебаний процесс взаимодействия двух изгибныхформ колебаний с близкими частотами исследовался Р.Ф. Ганиевым иП.С. Ковальчуком [23]. Ими установлено, что в рассматриваемом случаевозможно существование частотной области, где движение оболочки непредставляет собой установившиеся колебания, т.е. ни одно из возможныхстационарных решений не является устойчивым. Эти вибрации способныспровоцировать потерю несущей способности оболочки прежде, чем усилиясжатия достигнут значения, определяемого по формуле Лоренца – Тимошенко(2.21), а минимальная собственная частота оболочки станет равной нулю.Экспериментальное подтверждение того, что при сжатии цилиндрическиеоболочки теряют устойчивость прежде, чем минимальная частота приблизится кнулю,содержится,например,(Рис.

2.15) и Зингера [37] (Рис. 2.16).вработахПонсфорда[127]63Рис. 2.15. Изменение резонансной частоты от осевой нагрузкидля круговой цилиндрической оболочки при осевомсжатии [127]. По оси абсцисс отложена нагрузка, пооси ординат – квадрат частотыРис. 2.16. Зависимость квадрата частоты цилиндрической оболочкиот величины осевой нагрузки [37]Полученныерезультатыпозволяютобъяснитьвозникновениеэпизодических вибрационных процессов, зафиксированных перед потерейустойчивости при сжатии цилиндрических оболочек в экспериментальныхисследованиях [31, 36, 142], действием малых силовых возмущений, присутствиекоторых способно вызывать у них колебательную неустойчивость всякий раз,когда парциальные частоты оболочек с одинаковым числом волн в окружномнаправлении равны между собою.64В работах Амиро И.Я., Гузь А.Н., Заруцкого В.А.

и др [31, 36] сообщалосьобэпизодическихзатухающихколебаниях,зафиксированныхвходеэкспериментов при сжатии цилиндрических оболочек. Отмечено, что болеевысокомууровнюнагрузкисоответствовалиболеевысокиеамплитудыколебаний.В работе [142, Evensen D.A.] динамический процесс потери оболочкамиустойчивости от момента возникновения на их первоначально гладкойповерхности первых вмятин до его окончания фиксировался кинокамерами,работавшими со скоростью до 2250 кадров в секунду. При просмотре на экранефильмовбылообнаруженоналичиезначительныхвибрацийоболочек,предшествовавших началу процесса потери ими устойчивости. Сам процессначинался локально с образования на первоначально гладкой поверхностиоболочки одной или двух вмятин, которые сначала распространялись в окружномнаправлении, а затем трансформировались в ромбовидные или эллиптическойформы вмятины.Таким образом, угроза потери устойчивости нагруженной оболочкивозникает всякий раз, когда в ее спектре, эволюционирующем при изменениинагрузки, возникают равные или критически близкие частоты с равными числамиволн в окружном направлении.2.2.2Прогнозированиеграницыустойчивостиоболочек к силовым возмущениям при осевом сжатииРасчетамиустановлено,чтоусжатыхвцилиндрическихосевомнаправлениицилиндрических оболочек абсолютный минимум функции k n  k n (n) , равный k 0 ,имеет место при числе волн в окружном направлении n=0.

При значенияхпараметра осевого сжатия k , меньших k 0 , все частоты цилиндрических оболочекявляются различными и, следовательно, при любых значениях параметраволнообразования n общие решения однородных уравнений выражаются черезгармонические функции и не возрастают во времени. Это означает устойчивость65оболочек по отношению ко всем принятым к рассмотрению здесь малым силовымвозмущениям.Величина параметра k 0 для шарнирно опертой оболочки может бытьопределена аналитически.Равенство квадратов парциальных частот смежных мод колебаний сжатой восевом направлении цилиндрической оболочки позволяет с учетом соотношения(2.24) определить соответствующее этому событию величину усилия сжатиясогласно выражениюn2,m1  n2,m  l  2kTB  Tnm  h  .2m  1   (2.33)При определении величины параметра k 0 с использованием выражения(2.33) квадрат собственной частоты m-й моды свободных осесимметричныхизгибных колебаний цилиндрической оболочки 02,m вычислялся по соотношению m2 h 2 m2 h 2 22 R 2 (1   2 ) 2 0,m  1   m  ( )  [1   m  ( ) ]  4 2 m ,E12 R12 RmR 2m  () .l(2.34)В результате после некоторых преобразований удалось определитьзначения параметров осевого сжатия k 0,m , при которых имеет место равенствопарциальных частот смежных мод колебаний сжатой цилиндрической оболочкиk 0 ,mh12 2 R 22, F (m)   m1   m   . m1 m h 24 3(1   2 ) RF (m)(2.35)К выражению (2.36), определяющему параметр k 0 как абсолютныйминимум функции k n  k n (n) , приходим в результате отыскания минимумафункции k 0,m66k 0  k 0,m (m0 ),1,m0   6a int  l 12 3  R , Rh  0  3h R 3( )R l(2.36) 0На Рис.

2.17 представлены кривые зависимости параметраотk0относительной длины оболочки при граничных условиях шарнирного опирания(кривая Г1) и защемления (кривая Г2). При построении кривой Г2 дляопределения частот колебаний оболочки в окрестности ее равновесного состоянияиспользовалсяметодчисленногоинтегрированияиреализующаяегоразработанная автором диссертации программа [64].Кроме того, на этом рисунке представлены данные работы [144],характеризующие границы экспериментально определенных коэффициентовснижения критической нагрузки при 99%-ном уровне вероятности попаданияэкспериментальных точек в вышележащую от неё область для оболочек сотносительными толщинами R / h  500 и R / h  2000 . Зависимость критическихусилий сжатия свободно опертой безмоментной круговой цилиндрическойоболочки от ее относительной длиныzв рамках концепции Эйлераисследовалась Флюгге [126].

Полученная им зависимость показана на Рис. 2.17.Расчётные значения параметра k 0 цилиндрической оболочки, как приграничных условиях Навье, так и при условиях защемления ее торцов, лежат ниженижней границы области экспериментально определенных значений параметровосевого сжатия. Усилия сжатия TA  k0TB обеспечивают надёжную оценкукритических усилий сжатия цилиндрических оболочек снизу.Представленные на Рис. 2.17 данные показывают, что как нижние границыэкспериментально определенных коэффициентов снижения критических усилийсжатия цилиндрических оболочек, так и результаты расчетов величин параметровk 0 , при значениях параметра z  30 практически не зависят от относительныхдлин оболочек.67Рис.

2.17. Границы значений коэффициентов устойчивости сжатыхцилиндрических оболочки с относительными толщинами R / h  500 и R / h  2000при 99%-ном уровне вероятности попадания экспериментальных точек ввышележащую от неё область и расчетные значения коэффициентов k 0 дляграничных условий Навье (Г1) и условия заделки (Г2) при R / h  100Для оболочек постоянной относительной толщины R / h величина m0 в(2.36) тем больше, чем длиннее оболочка. Для достаточно больших величин m0можно считать, что  m   m1 .

В этом случае соотношения (2.35) принимают видk 0 ,m h12 2 R 2(2 m  2 2 ).m h4 3(1   2 ) RПри m0 1l 6 12 3 R находим, чтоRh2 mh1  2/3612 1   24 3(1   2 ) R1/ 3h R,h 12 2 R 23 2 / 3  h  224 3(1   2 ) R  m h12 2 / 3 1   2  R 1/ 31.В результате получаем, что для длинных оболочек величина параметра k 0зависиттолькоотзначенийкоэффициентаПуассонаипараметраотносительной толщины R / h и может быть вычислена по соотношению6813 2/3  h k0  ( 6) 12 12 2 / 3 1   2  R 1/ 3 2/3  h   .2 R1   1/ 3(2.37)Из соотношений (2.36) также следует, что при граничных условиях Навьевеличина параметра критического усилия сжатия k 0 замкнутой круговойцилиндрической оболочки при значениях параметра относительной длины z<7, атакже тогда, когда коэффициент Пуассона равен нулю, может быть вычислена посоотношению5 2k0 .4 3z 2(2.38)В этом случае величина критического усилия сжатия определяется посоотношению TA 5 2 D, что соответствует величине эйлеровой критическойl2силы применительно к полоске, вырезанной из оболочки в направленииобразующей и имеющей длину, равную l0  l / 5 .Какправило,экспериментальныеисследованияустойчивостицилиндрических оболочек при осевом сжатии проводились в условияхзащемления её торцов.

Для оболочек средней длины, 7  z  35 , сопоставлениерасчётных значений параметра k 0 с нижней границей области экспериментальныхзначений коэффициентов устойчивости показало, что расчет их значений с учетомреальныхграничныхколичественнуюусловийоценкуобеспечиваетположениякакнижнегокачественную,пределатакиустойчивостицилиндрических оболочек при осевом сжатии в зависимости от ее относительнойдлины.Для установления зависимости нижних границ экспериментальных данныхпо критическим напряжениям сжатия цилиндрических оболочек  с от ихотносительных толщин R / h в работе [144] была применена формула Батдорфа с  K c  2 E /12(1   2 ) (h 2 / l 2 ) при пересчете всех представленных в работеэкспериментальных значений с целью приведения их к единой относительной69длине z  100 , после чего была проведена статистическая обработка полученныхрезультатов.