Диссертация (Устойчивость равновесных состояний оболочечных элементов конструкций к силовым возмущениям), страница 6

По первоначальному замыслуаналитической механики все назначение дифференциальных уравнений движениясостояло в том, чтобы установить в результате их интегрирования закон движенияв виде функционального выражения координат через время и через произвольныепостоянные интегрирования, которые в свою очередь определяются начальнымиусловиями движения.Однако дифференциальные уравнения реальных механических системобычно бывают нелинейными.

В отсутствие замкнутых аналитических решенийдля исследования устойчивости проводят линеаризацию нелинейных уравненийвозмущенного движения в предположении, что возмущения координат искоростей во все время движения остаются малыми, что позволяет удерживать вдифференциальных уравнениях только члены первого порядка малости. Врезультате линеаризации получают уравнения возмущенного движения, линейныеотносительно возмущений координат и скоростей – уравнения первогоприближения.Вопрос о выборе метода исследования устойчивости механической системытребует классификации действующих на неё сил.

При рассмотрении систем сконечным числом степеней свободы их подробная классификация предложена Г.Циглером [129]. Силы, явно зависящие от времени, и циркуляционные силысогласно этой классификации являются неконсервативными.Циркуляционные силы вида R  Pq называют также позиционныминеконсервативными силами. Матрица коэффициентов этих сил P  pij является30кососимметричной, так что pij   p ji . Работа циркуляционных сил за любойпромежуток времени может быть как положительной, так и отрицательной. Этозависит от параметров системы и пути следования этих сил [132].В механике при исследовании устойчивости равновесных состоянийзначительное место занимает теория малых колебаний.

Линеаризованныеуравнения колебаний механических систем с конечным числом степеней свободыв матричной форме записываются в видеd 2q (1.2)M 2  Kq  QdtЗдесь Q - вектор обобщенных сил, М и К - симметричные матрицы масс ижесткостей.Если вектор обобщенных сил Q равен нулю, то механическая системаявляетсяконсервативной.Анализчастотколебанийсамосопряженнойконсервативной системыd 2qM 2  Kq  0dtпозволяет определить область ее устойчивости: на границе устойчивости системывпервые одна из ее частот становится равной нулю.При наличии в системе позиционных неконсервативных сил и присутствиисил, явно зависящих от времени, выражение для обобщенных сил может бытьзаписано в виде ~Q  Q(t )  Pq .(1.3)Уравнения (1.2) с учетом выражений (1.3) принимают видd 2q ~M 2  ( K  P)q  Q (t ) .dtВажно отметить, что при наличии циркуляционных сил(1.4)матрицакоэффициентов (К+Р) в уравнениях (1.4) не является симметричной, а самиуравнения являются несамосопряженными [7].

Для механических систем,31возмущенноедвижениеуравнениями,помимоустойчивости,возможенкоторыхописываетсядивергентноготакжеинесамосопряженными(бифуркационного)колебательныйтипапотери(флаттерный)типнеустойчивости.Основнымметодомциркуляционныхсистеманализаслужитустойчивостидинамическийметод,неконсервативныхоснованныйнаисследовании частот колебаний системы вблизи её положения равновесия.Большое значение при этом имеет анализ парного взаимодействия степенейсвободыqi , q j [7, 113]. Это взаимодействие при отсутствии внешнихвозмущающих сил может быть описано системой уравненийd 2 qi aii qi (t )  aij q j (t ),dt 2d 2q j aij qi (t )  a jj q j (t ).dt 2(1.5)Существуют теоремы об устойчивости движения линейных автономныхсистем типа (1.5), возмущенное движение которой описывается линейнымидифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами [97]:- если среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы один,вещественная часть которого положительна, то невозмущенное движениенеустойчиво.-есливсекорнихарактеристическогоуравненияимеютнулевыевещественные, то:а) невозмущенное движение будет устойчивым, если корням с нулевойвещественной частью отвечают простые элементарные делители;б) невозмущенное движение будет неустойчивым, если хотя бы одинкорень с нулевой вещественной частью является кратным корнемсоответствующего элементарного делителя.Путем введения новых переменныхx1  qi ;x2  q j ;x3  dqi / dt;x4  dq j / dt32приведем систему дифференциальных уравнений (1.5) к нормальной формеdx Ax .dt(1.6)Характеристическую  -матрицу системы (1.6)0A  E aii0aij10010a jia jj0с помощью элементарных преобразований приведем к нормальной диагональнойформе0aii0aij10a jia jj0a ji1001000000aijaii  200a jj  210010000aij0001000100010000000010aii  2 aija jj  2a ji00aii  2aij a ji  (aii  2 )(a jj  2 )000aij a ji  (aii  2 )(a jj  2 )1001000033Очевидно,чтоееединственныйинвариантныймножительравенE4 ( )  aij a ji  ( aii  2 )(a jj  2 ) .

Он может быть разложен на множителиE4 ( )  (  1 )...(  4 ) ,где1 , 2 , 3 , 4–корнихарактеристическогоуравнения4  (aii  a jj )2  aii a jj  aij a ji  0 ,(1.7)равныеk  aii  a jj2Уравнение1  2   pi ;(aii  a jj ) 2(1.7)4 aij a ji .имеетдва(1.8)двукратныхвещественныхкорня3  4   pi , если одна из величин aij или a ji равна нулю ипарциальные частоты системы (1.5) pi  aii и p j  a jj равны между собою.Очевидно, что в случае, когда выполняются условияpi  p j ,aij a ji  0 ,aij  a ji ,(1.9)кратным корням уравнения (1.7) соответствуют непростые элементарныеделители: ( pi   ) 2 и ( pi   ) 2 .

В этом случае в общем интеграле системы (1.5)присутствуют вековые члены, содержащие временные множители t вне знакагармонических функций, что является признаком колебательной неустойчивостисистемы.Выражение под внутренним радикалом (1.5) может принимать отрицательныезначения всякий раз при выполнении условийaij a ji  0,(aii  a jj ) 2  4 aij a ji .(1.10)Корни уравнения (1.7) при этом являются комплексными и записываются вследующем виде1    i ; 2    i ;3    i ;4    i .34Комплекснымзначениямкорнейсоответствуетколебательныйтипнеустойчивости, при котором колебания характеризуются одной частотой  иамплитудами, возрастающими со временем по закону exp( t ) [113].Условие (1.10) безусловно выполняется при pi  p j и, следовательно,равенство парциальных частот неконсервативной системы с двумя степенямисвободы является необходимым условием ее динамической неустойчивости.~Очевидно, что при отсутствии возмущающих сил Q (t ) механическаясистема остается в равновесном состоянии, так как решение уравнений (1.5) вэтом случае при нулевых начальных условиях тождественно равно нулю.Следовательно,состояниесистемынеобходимохарактеризоватькакотносительно устойчивое.~При появлении активных возмущающих сил Q (t ) механическая система,находившаяся перед этим в равновесном состоянии, приходит в движение,котороевпервомприближенииможетбытьописанолинейнымидифференциальными уравнениями (1.5) с нулевыми начальными условиями.~ ~Активные возмущающие силы Qi , Q j вызывают рост тех амплитудколебаний обобщенных координат qi , q j , для которых выполнены необходимыеусловия возникновения колебательной неустойчивости - pi  p j .

Амплитудыколебаний этих обобщенных координат в случае динамической неустойчивостисистемы перестают быть малыми, что требует для их описания более высокихприближений.Следовательно,достаточныеусловиянеустойчивостимеханической системы к силовым возмущениям могут быть определены толькона основе анализа возмущенного движения механической системы в нелинейнойпостановке. Если помимо необходимых условий неустойчивости системы ксиловым возмущениям будут выполнены и достаточные условия неустойчивости,то в этом случае возможен переход от одной равновесной конфигурации к другой.В противном случае после прекращения действия возмущающих сил колебания с35повышенной амплитудой убывают, и система возвращается к исходномуравновесному состоянию.Эти положения полностью соответствуют «теории катастроф» [5], согласнокоторой механическая система, находящаяся под постоянным воздействиеммалых зависящих от времени возмущающих сил, способна при определенныхусловиях утратить устойчивость исходного равновесного состояния.

При этомвозможны два варианта:«А. Из положения равновесия рождается предельный цикл. Устойчивостьравновесия переходит к циклу, само же равновесие становится неустойчивым.Установившийся колебательный режим мало отличается от состояния равновесия.Б. В положении равновесия область притяжения положения равновесияуменьшается и всегда присутствующие случайные возмущения выбрасываютсистему из этой области».Известно, что процесс резкого перехода оболочек от исходного к конечномуравновесному состоянию при потере ими устойчивости весьма кратковременен.Анализ результатов скоростной киносъемки показал, что в испытанных образцахон продолжался в среднем 0,005 секунды [151]. При детальном теоретическомисследовании явления “скачка” требуется:-достаточноточноописать напряженно-деформированное состояниеоболочки перед потерей ею устойчивости;- выявить необходимые условия перехода оболочки к ее новым равновеснымсостояниям;- исследовать при выполнении необходимых и достаточных условийнеустойчивости оболочки переход ее к новому равновесному состоянию;- исследовать равновесные состояния оболочки после потери устойчивости.Знание картины закритического состояния оболочки, равно как исобственно процесса перехода ее к этому состоянию, для расчета инженерныхконструкций не является необходимым, ибо при этом оболочка уже не работает врасчетном режиме.36Определение параметров напряженно-деформированной оболочки невызывает принципиальных трудностей: они получаются с любой степеньюточности путем решения нелинейных краевых задач методом последовательныхприближений Ньютона-Канторовича в сочетании с использованием численногоинтегрирования последовательностей задач Коши и применением методаортогональнойпрогонкиС.К.Годунова,обеспечивающимчисленнуюустойчивость решений.