Диссертация (Устойчивость равновесных состояний оболочечных элементов конструкций к силовым возмущениям), страница 7

В работе для этого использовалась разработанная сучастием автора диссертации программа «Расчет динамических характеристиксоставных оболочечных конструкций при осесимметричном напряженнодеформированном состоянии», документированная и принятая в фонд алгоритмови программ ракетно-космической техники (ФАП РКТ) [49].Упругая оболочка, находящаяся в поле действия консервативных сил иподверженная влиянию малых по сравнению с ними сил, явно зависящих отвремени, должна рассматриваться как неконсервативная система с бесконечнымчислом степеней свободы. Если консервативные силы зависят от параметра, топри некоторых их значениях у нагруженной оболочки существуют как равные,так и критически близкие собственные частоты.

Характер возмущенногодвижения поверхности оболочки в окрестности этих особых равновесныхсостоянийподлежитисследованиюсцельюопределениявозможностивозникновения динамической неустойчивости.Определение условий, необходимых для проявленияколебательнойнеустойчивости оболочечных элементов конструкций, выполнено в настоящейработе на основе динамического критерия устойчивости и анализа особенностейэволюцииихдинамическихквазистатическом нагружении.характеристикприоднопараметрическом37Глава 2 Прогнозирование устойчивости равновесных состоянийцилиндрических оболочек к силовым возмущениям2.1 Постановка задачи об устойчивости равновесных состоянийцилиндрических оболочек к силовым возмущениямРассматривается круговая цилиндрическая оболочка, имеющая длинуобразующей, равную l , радиус R и толщину h.

Исследуется устойчивость ееосесимметричного равновесного состояния. Для описания поведения оболочкипри нагружении используются уравнения Л.А. Шаповалова, предназначенныедля описания конечных перемещений непологих оболочек и построенные наоснове гипотезы Кирхгофа-Лява [131]. Согласно этого простейшего вариантауравнений геометрически нелинейной теории тонких оболочек компонентытангенциальнойдеформациикоординатнойповерхностиприведенияцилиндрической оболочки записываются в виде1E11  1  12 ; (1  2); E12   1   2  1 2 ,2(2.1)где 1  u ;1   w;(...)  2  k 2 w  v; 2   w  k 2 v; (...);x 1  v; 2  u;k 2  1 / A2 ; (...)(...) .RКомпоненты изгибной деформацииK11  1;K 22  2  k 212 / 2;K12  1  k 2 v .(2.2)Соотношения (2.1, 2.2) получены в предположении, что деформации втангенциальной плоскости и поворот элемента оболочки относительно нормалик срединной поверхности являются малыми величинами более высокогопорядка, чем повороты относительно двух других его осей.38Усилия и моменты изотропной оболочки, приведенные к координатнойповерхности, связаны с деформациями соотношениямиT11  B( E11  E22 );M 11  D( K11  K 22 );S  B(1   ) E12 / 2;H  D(1   ) K12 ;B  Eh /(1   2 );D  Bh2 / 12.Соотношенияупругости(2.3),(1  2);(2.3)полученныеЛ.А.Шаповаловымвариационным методом, соответствуют выражениям для деформаций, кривизн икручения (2.1, 2.2), обеспечивая тем самым существование упругого потенциалаи соблюдения теоремы взаимности.

Они обобщают известные зависимостиЛ.И. Балабуха-В.В. Новожилова на случай геометрически нелинейных задачтеории тонких оболочек.В общем случае уравнения равновесия, полученные с использованиемвариационного(2.1-2.3),дляуравненияслучаяЛагранжацилиндрическойисоответствующиеоболочкимогутвыражениямбытьзаписаныследующим образомT11  S  q1  0;T22  S   k 2 (Q22  H )  q2  0;k T  Q  Q  q  0,(2.4)  H  (T11  k2 M 22 )1  S 2 ;Q11  M 11Q22  M 22  H   T22 2  S1.(2.5)2 221122zгдеРассмотрим случай, когда, начиная с некоторого момента времени t  t 0 , наоболочку, находившуюся в равновесном состоянии в условиях сжатия её усилиямиТ110  kТ В , равномерно распределенными вдоль дуговых кромок, начинаютдействовать силы f ( x, , t ) , столь малые, что их влияние на основное напряженнодеформированное состояние несущественно.

Здесь Т В рассчитывается согласноклассической формуле Лоренца-Тимошенко39TB Ehh.2 R3( 1   )Без ограничения общности предполагаем далее, что возмущающим факторомявляется малое нормальное давление { f1  0; f 2  0; f z ( x, , t )   f n ( x, t ) cos n}.nУравнения возмущенного движения оболочки совпадают с уравнениямистатического равновесия, если к компонентам внешних сил присоединить силыинерции и возмущающие силы, записав их в виде 2u 2v2wq1   h 2 ; q2   h 2 ; q z  f z ( x,  , t )  h 2 .tttВ этом случае величины, характеризующие поведение оболочки, можнопредставить в виде u  u 0  u; v  v 0  v; ...Здесь величины с индексом «0» характеризуют основное состояниеоболочки, которое в случае осесимметричного нагружения оболочки можетзависеть только от продольной координаты «х»; величины без индекса –дополнительное, возникающее при наличии силовых возмущений.Ввидутого,чтовызванныемалымисиловымивозмущениямидополнительные напряжения и деформации оболочки малы, для описаниядвижения поверхности оболочки используем соотношения, полученные путёмпренебрежениямалымивысшихпорядковотносительнодополнительныхперемещений и напряжений.Добавочные удлинения координатной поверхности и сдвиг определяем поформуламE11  u   101 ;E22  k 2 w  v;1   w;  2   w  k 2 v.E12  u  v  10 2 ;(2.6)Выражения для добавочных изменений кривизн и кручения имеют видK11  1;K 22  2  k2101; K12  1  k2v.(2.7)40Соотношения,связывающиедополнительныеусилияиT11,T22 , Sмоменты M 11, M 22 , H с компонентами тангенциальной и изгибной деформации(2.1, 2.2), записываются в виде (2.3).Уравнениядвиженияповерхностицилиндрическойоболочкивокрестности исходного осесимметричного положения равновесия записываются ввиде uT11  S  h 2 ;t2 vS   T22  k 2 (Q22  H )  h 2 ;t2 w  Q 22  k 2T22  h 2  f zQ11t2(2.8)Здесь0  H  (T110  k 2 M 22Q11  M 11)1  (T11  k 2 M 22 )10 ;Q22  M 22  H   T220  2  S10(2.9)На торцах оболочки должны удовлетворяться граничные условия:T11  0илиu  0;Q11  H  0илиw  0;M 11  0или1  0;S  2 H / R2  0илиv  0.(2.10)Мы удовлетворяем требованиям периодичности по координате иразделяем переменные по х и  , представляя все величины, входящие вфизические соотношения (2.3), геометрические соотношения (2.6, 2.7), уравнениядвижения (2.8) и (2.9), в видеF ( x,  , t )  Fn ( x, t ) cos n ;F  {u, w,1 , E11, E22 , K11, K 22 , T11, T22 , M 11, M 22 , Q11};G ( x, , t )  Gn ( x, t ) sin n ;G  {v, 2 , E12 , K12 , S , H , Q22}.В результате каждое из перечисленных соотношений приводит кбесконечной системе линейных соотношений для функций F и G.

Различныегармоники в этой системе соотношений не связаны между собою. В результатеполучаем для каждой из n гармоник (n=0, 1, 2, …)41а) деформационные соотношения(n)E11 u n  101( n ) ;(n)E22 n vn  k 2 wn ;(n)E12 vn  n u n  10 2( n ) ; 1( n )   wn ;  2( n )  n wn  k 2 vn ,(n)(n)K11 1 ;(n)K 22 n  2( n )  k 2101( n ) ;(n)K12 k 2 vn  n 1( n ) ;(2.11)n  n / A2б) физические соотношения в виде (2.3);в) уравнения возмущенного движения поверхности цилиндрическойоболочки 2unT11( n )( n) n S  h 2 ;xt 2 vnS ( n )H ( n )( n)(n) n T22  k 2 (Q22 )  h 2 ;xxt(2.12)(n)2wQ11(n) n Q22 k 2T22( n )  h 2 n  f n ( x, t ).xtЗдесь(n)Q11(n)Q22(n)M 11(n)0 n H ( n )  (T110  k 2 M 22)1( n )  (T11( n )  k 2 M 22)10 ;xH ( n )(n) n M 22  T220  2( n )  S ( n )10 .x(2.13)На торцах оболочки должны удовлетворяться граничные условия:T11( n )  0илиu n  0;(n)Q11 n H (n)  0илиwn  0;(n)M 110или1( n )  0;S ( n )  2k 2 H ( n )  0 или(2.14)vn  0.Система уравнений (2.3, 2.11-2.14) сводится к системе восьми линейныхдифференциальных уравнений относительно неизвестных yi (i = 1, 2, …, 8)(n)( n)y1  S ( n )  2k 2 H ( n ) ; y2  M 11; y3  T11( n ) ; y4  Q11 n H (n) ;y5  vn ; y6  1( n ) ; y7  u n ; y8  wn ,42 2 vn;t 20(n)y 2  y 4  2n H ( n )  (T110  k 2 M 22) y6  ( y3  k 2 M 22)10 ;yi  n T22( n )  k 2 Q22( n )  h 2u n;t 22wy 4  k 2T22( n )  n Q22( n )  h 2 n  f n ( x, t );t(n)(n)y5  E12 n y7  10 2( n ) ; y6  K11;y3  2n k 2 H ( n )  n y1  h(n)y7  E11 10 y6 ;(2.15)y8   y6 ;причем(n) 2( n )  k 2 y5  n y8 ; E22 n y 5  k 2 y8 ;(n)K 22 n  2( n )  k 210 y6 ;(n)(n)K11 y 2 / D  K 22;(n)E12 ( y1  2k 2 D(1   ))[n (k 2 y7  y6 )  k 210 2( n ) ] / ;  (1   )(B / 2  2k 22 D);(n)(n)E11 y3 / B  E22;(n)(n)(n)M 22 D( K 22 K11);(n)(n)K12k 2( E12 n y7  10 2( n ) )  n y6 ;(n)(n)T22( n )  B ( E22 E11);(n)H ( n )  D(1   ) K12;(n)Q22( n )  [n M 22 T220  2( n )  10 ( y1  2k 2 H ( n ) )].Собственные формы unm ( x)  {unm , vnm , wnm} и частоты свободных колебанийоболочки nm (n=0, 1, 2,…; m=1 ,2, …) определяются с использованием уравнений(2.15), полагая в них величины с индексом «0» и f n ( x, t ) равными нулю.Уравнения (2.15) могут быть записаны в перемещениях 2u n;t 2 2 vn(n) P23 ) wn  h 2 ;t 2 wn(n) P33 ) wn  h 2  f n ( x, t ).t(n)(n)(n)( L11 P11( n ) )u n  ( L12 P12( n ) )vn  ( L13 P13( n ) ) wn  h( L(21n )  P21( n ) )u n  ( L(22n )  P22( n ) )vn  ( L(23n )( L(31n )  P31( n ) )u n  ( L(32n )  P32( n ) )vn  ( L(33n )(2.16)43Здесьдифференциальныеоператоры)L(nijиPij(n )определяютсясоотношениями  2 1  2 1  B L11  B 2 n ; L12  n B; L13 ;22xRxx 1   2D 22L22  Bn2(1) n 2 ;22 2x 2 x R 2nBD L23   n n 2  (2  ) 2 ; L21   L12 ;RRx L31   L13 ; L32  L23 ;L33   D(24B2 2n n4)  2 ;42xxRB(1   ) 10 k 22T220 ;2x2 00 1 1 2 2P33  k 2 D k2( Dn  B)  D 2  x x 2 xx P11  0;P22  k 20(T110  k 2 M 22)P12 (2.17)0M 222 k2 n 2T220 ;2x xxn k 2 (1   )B10 ;2B(1   ) 2 0 n 1  B 10 ;2x  x P21  P12 ; P31  P13 ;P13 1   10 B(1   ) P23  n B n 10  k 22 D   n k 2T220 ;2 x 2 xP32 n ( Dk 2210 B(1   ) 0  B )n 1 n k 2T220 .x2xИсследуемая оболочка признаётся устойчивой, если при всех числах nрешения уравнений (2.16) не возрастают со временем.

Если хотя бы при одномзначении n в решении уравнений (2.16) наблюдается рост дополнительныхперемещений, то она считается неустойчивой по отношению к вызвавшим этототклик возмущениям f n ( x, t ) .При наличии силовых возмущающих факторов видаMf n ( x, t )   f m (t ) wm( n ) ( x)m144решение уравнений возмущенного движения оболочки (2.16) ищется в видеMu ( n ) ( x, t )   qm( n ) (t )u m( n ) ( x),m1где в качестве координатных функций используются формы свободныхпреимущественно изгибных колебаний незагруженной оболочки u m( n ) ( x) ,соответствующие собственным частотам nm .Для функций форм свободных колебаний оболочки u m( n ) ( x) справедливоравенствоL u( n)( n)m2  hnmum( n) .Применение(2.18)методаБубноваприводитксистемеобыкновенныхдифференциальных уравнений (ОДУ) с постоянными коэффициентамиd 2 qi( n ) M ( n ) ( n )  aim qm (t )  f i (t ) / hdt 2m1(i = 1, 2, …, M)(2.19)Здесьaii  ni2  {( P12vni , u ni )  ( P13wni , u ni )  ( P21u ni , vni )  ( P22vni , vni )  ( P23wni , vni )  ( P31u ni , wni )  ( P32vni , wni )  ( P33wni , wni )}Ani ;aij  {( P12vnj , u ni )  ( P13wnj , u ni )  ( P21u nj , vni )  ( P22vnj , vni )  ( P23wnj , vni ) ( P31u nj , wni )  ( P32vnj , wni )  ( P33wnj , wni )}Ani ;ll00(i  j )(2.20)(u, v)   uvdx; u ni   (u ni2  vni2  wni2 )dx; Ani1  h u niСистема уравнений (2.19) имеет несимметричную матрицуaij , чтоуказывает на несамосопряженный характер рассматриваемой неконсервативнойзадачи.

Это означает, что у оболочки помимо дивергентной (бифуркационной)возможна и колебательная неустойчивость [7].45Следовательно, если на протяжении некоторого интервала времени наоболочку действуют малые силовые возмущения определенного вида, то привыполнении необходимых условий они способны вызвать колебательнуюнеустойчивость оболочки. Это может привести к явлению «скачка», т.е. квнезапной смене равновесного состояния и исчерпания несущей способностиоболочки.Для выявления этих необходимых условий обратимся к анализу особенностейспектра собственных частот оболочек, существующих при квазистатическихнагрузках.2.2 Прогнозирование устойчивости к силовым возмущениям сжатых восевом направлении изотропных цилиндрических оболочек2.2.1 Анализ особенностей спектра собственных частот цилиндрическойоболочки, возникающих при квазистатическом осевом сжатииРассмотрим замкнутую круговую изотропную цилиндрическую оболочку,находящуюся в равновесном состоянии в условиях сжатия усилиями T110  kTB .0Здесь Т 11– усилия сжатия, равномерно распределенные вдоль дуговых кромокцилиндрической оболочки, k – параметр осевого сжатия, TB – верхняякритическая нагрузка, определяемая по формуле Лоренца-ТимошенкоhEh2.TВ  0,605R3(1   2 ) REhФормула(2.21)былаполучена(2.21)врамкахконцепцииЭйлеравпредположении, что исходное равновесное состояние замкнутой круговойупругой цилиндрической оболочки идеальной начальной формы являетсябезмоментным.