Диссертация (Устойчивость равновесных состояний оболочечных элементов конструкций к силовым возмущениям), страница 5

С тех пор это понятие постоянно развивалось и углублялось. Рядвыдающихся механиков и математиков, таких как Эйлер, Лагранж, Лаплас,Пуассон, Максвелл, Раус, Пуанкаре, Жуковский, Ляпунов, разрабатываяаналитическую механику, стремились дать более четкое, требуемое дляприменения математических методов, определение понятия устойчивости [98].Оно имеет фундаментальное значение и, согласно В.В.

Болотину [8], в любоеопределение этого понятия должны войти, как минимум, следующие элементы.Во-первых, это указание на невозмущенное состояние равновесия илидвижения системы, устойчивость которой исследуется. Это значит, что нельзяговорить просто об «устойчивости системы», а только лишь об устойчивостификсированного состояние равновесия или движения этой системы.Во-вторых, должен быть определен класс возмущающих воздействий,которые вызывают отклонения от невозмущенного состояния системы. Это важнопотому, что механическая система может быть неустойчива к одному классувозмущений и в тоже время устойчива к остальным.

Если рассматриваемоесостояние системы может быть неустойчивым к определенному классувозмущений и одновременно устойчивым ко всем остальным, то такое еесостояние можно характеризовать как условно или относительно устойчивое.Понятие условной или относительной устойчивости наряду со случаямиабсолютной устойчивости и неустойчивости использовал Лагранж, формулируятеорию малых колебаний как общую теорию решения задачи об устойчивостиположения равновесия [86]. Оно используется также в работе Ляпунова «Общаязадача об устойчивости движения» [95], где он пишет: «Во второй главе я касаюсь25вопроса о периодических решениях нелинейных ДУ. Рассмотрение его приводитк некоторым заключениям об условной устойчивости для тех наиболееинтересных случаев, когда ДУ имеют каноническую форму».В-третьих, необходимо указание на интервал времени, в течение которогоизучается возмущенное движение системы.Рассматриваемое состояние равновесия или движения механическойсистемы принято называть невозмущенным состоянием.

Под возмущеннымисостояниями системы понимают те из них, которые получаются после начальногомоментавремениизневозмущенногосостояниявследствиемалыхдополнительных нагрузок длительного характера, не учтенные в расчете, илинекоторых начальных возмущений. Начальные возмущения состоят в общемслучае из комбинации начальных статических возмущений и мгновенныхначальных импульсов, осуществляемых в начальный момент времени ивызывающихнекоторыеизмененияначальныхзначенийкоординатикомпонентов скорости [106].Исторически сложились и развиваются две элементарные концепции тогосвойства, которое именуется термином устойчивость [98].Первая элементарная концепция отождествляет понятие устойчивостиневозмущенного состояния со свойством возмущенных состояний возвращаться кисходному состоянию.

В строительной механике на протяжении длительногопериода времени потеря устойчивости равновесия отождествлялась именно с этойконцепцией. Она сыграла решающую роль в деле выработки так называемойтеории «статической устойчивости», основы которой были заложены в трудахЭйлера. Согласно методу Эйлера форма равновесия называется устойчивой, еслималые возмущающие воздействия вызывают малые отклонения системы отрассматриваемойформыравновесия,причем,уменьшаявозмущающиевоздействия, можно сделать эти отклонения сколь угодно малыми.

Формаравновесия называется неустойчивой, если даже сколь угодно малые возмущениявызывают конечные отклонения системы от рассматриваемой формы равновесия.26Фундаментальные задачи устойчивости упругих стержней, пластин иоболочек, а также наиболее важные для инженера задачи устойчивостиравновесных состояний консервативных систем, были решены на основесоображений статики, в силу чего в строительной механике на протяжениидлительного периода времени потеря устойчивости равновесия отождествляласьименно с этой концепцией. В результате, как отмечает Арнольд, «согласно курсамстроительной механики будущий инженер-строитель приучается мыслитьисключительно в категориях эйлеровой постановки задачи устойчивостиравновесия» [5].Следует особо отметить, что при применении статического метода Эйлера,т.е. рассматривая лишь совокупность форм равновесия, близких к начальнойформе, полностью исключаются из анализа возможные формы движения отисходного состояния к новым формам равновесия.

Формальное применениестатического критерия к неконсервативным системам без последующего анализазакономерности такого применения, чревато получением ошибочных выводов[106].В законности применения статического критерия к неконсервативнойсистеме можно убедиться только после того, когда будет получено также решениеи с помощью динамического критерия и оба решения совпадут. Таким образом,метод Эйлера ограничен уже в силу того, что его применение невозможно прирешении задач устойчивости равновесия механических систем при наличиинеконсервативных сил и динамических нагрузок.

Применение динамическогокритерия устойчивости становится в этих случаях единственно возможным [7].Вторая элементарная концепция отождествляет понятие устойчивостиневозмущенного состояния со свойством пребывания движения возмущенныхсостояний в окрестности невозмущенного состояния. Этот вопрос является длятехники в ряде случаев более важным, чем наличие тенденции к возврату обратнок невозмущенному состоянию. Почти исключительно вся «физическая механика»заинтересована именно во втором элементарном понимании устойчивости.27Обе эти концепции разрабатываются до настоящего времени, причемтеория упругой устойчивости тонкостенных элементов конструкций продолжаетразвиваться в основном в рамках первой элементарной концепции понятияустойчивости.Благодаря трудам А.М. Ляпунова теория устойчивости движения сталастрогойматематическойдисциплиной.Вотличиеотопределений,предлагавшимися его предшественниками, определение Ляпунова обладаетматематической строгостью.

Оно оказалось настолько удачным, что былопринято как основное всеми учеными.Особенности определения устойчивости по Ляпунову состоят в следующем[3]. Во-первых, предполагается, что возмущения налагаются только на начальныеусловия. Возмущенное движение происходит под действием тех же сил, что иневозмущенноебесконечнодвижение.большомпредполагаютсямалыми.Во-вторых,промежуткеустойчивостьвремени.ФизическиэторассматриваетсяВ-третьих,означает,чтонавозмущениярассматриваетсяустойчивость по отношению к мгновенно действующим возмущениям.После А.М. Ляпунова теория устойчивости движения развивалась поразличным направлениям. В частности, усилия многих ученых были направленына определение условий устойчивости при больших и постоянно действующихвозмущениях, а также на конечном промежутке времени и при случайных силах[42, 96, 130].Реальная механическая система находится обычно под постояннымвоздействием небольших возмущающих сил, учесть которые при составленииуравнений движения практически невозможно.

«Эти последние, сколь бы малыони не были, влияют на движение системы в особенности, если движениенеустойчиво» отмечал Н.Г. Четаев [130]. Он впервые поставил вопрос о влияниина устойчивость системы силовых возмущений, действующих не мгновенно, какэто у Ляпунова, а на протяжении некоторого интервала времени.Прианализеустойчивостивработеиспользуетсяопределениеустойчивости, сформулированное Н.Г.

Четаевым на случай действия на систему28малыхиявнозависящихотвременисиловыхвозмущенийR(t,y)продолжительного характера, когда наряду с нелинейными уравнениямидвижения невозмущенной системыy=(y1, …, yn)dy/dt=Y(t,y)рассматриваются уравненияdy/dt=Y(t,y)+R(t,y),гдеR(t,y)–класс(1.1)некоторыхнеизвестныхфункций,характеризующийвозмущающие факторы [34, 96]. Относительно этих функций можно сказатьтолько то, что они достаточно малы и удовлетворяют некоторым общимусловиям, обуславливающих существование решений уравнений возмущенногодвижения в окрестности рассматриваемого невозмущенного движения.

Еслиотклик исследуемой системы на присутствие силовых возмущений не растет современем, то она признаётся устойчивой. При возрастающем во времени откликесистема считается неустойчивой.Если невозмущенное движение или равновесное состояние механическойсистемы неустойчиво хотя бы к одному классу функций R(t,y) и устойчиво клюбым другим, то оно признается относительно устойчивым. В этом смыслевсякая механическая система является относительно устойчивой, так каксуществуют силовые возмущения, которые способны вызвать явление резонанса,т.е.

ее колебательную неустойчивость.Вданнойработепредставленырезультатырасчетно-теоретическихисследований по определению условий, необходимых для возникновенияколебательной неустойчивости у нагруженных консервативной системой силоболочечных элементов конструкций. При выполнении необходимых условийвозникновения колебательной неустойчивости существует вероятность «скачка»оболочек к новым равновесным состояниям и исчерпания ими несущейспособности.Последующеесопоставлениеполученныхрезультатовсэкспериментальными данными по статической устойчивости оболочек позволилосформулировать рекомендации по расчетно-теоретической оценке значений29максимально допустимых значений эксплуатационной нагрузки Pэ на основеисходной проектной документации.1.2 Необходимые условия неустойчивости неконсервативныхмеханических системИсследование устойчивости не представляет обычно серьезных трудностейв тех случаях, когда дифференциальные уравнения возмущенного движенияудается проинтегрировать в замкнутой форме.