Диссертация (Устойчивость равновесных состояний оболочечных элементов конструкций к силовым возмущениям), страница 9

Характервозмущенного движения в окрестности особых значений параметра нагрузки k i*определяется в основном двумя модами колебаний с одинаковым числом волн вокружном направлении, соответствующими критически близким частотамнапряженно-деформированной оболочки.Рис.2.6.Максимальныеамплитудынепосредственновозбуждаемой формы колебаний (А1)и «дополнительновозбуждаемой» формы колебаний (А3) при осевом сжатииРешение уравнений возмущенного движения в окрестности особых значенийпараметра нагрузки k i* допустимо искать в видеu ( n ) ( x, t )  qm( n) (t )um( n) ( x).(2.28)mi , jУравнения возмущенного движения оболочки тогда записываются в видеd 2 qi( n) aii qi( n)  aij q (jn)  f i (t ) / h;2dtd 2 q (jn)dt2 a ji qi( n)  a jj q (jn)  f j (t ) / h.(2.29)54Рассмотрение однородной системы уравнений, соответствующей системе(2.29), и представление искомых координатных функций в виде qm( n) (t )  Fm eitприводит к характеристическому уравнению 4  (aii  a jj ) 2  aii a jj  aij a ji  0.(2.30)Корни уравнения (2.30) равны Приaii  a jj2описании(aii  a jj ) 24исходного aij a ji(2.31)невозмущенногоравновесногосостоянияоболочки до настоящего времени в ряде работ принимается допущение о том, чтосостояние оболочки является напряженным, но недеформированным [2, 13, 14].Такое допущение соответствует исходному безмоментному состоянию оболочки.В действительности ограничения, накладываемые на радиальные перемещенияторцов оболочки, приводят к тому, что образующая оболочки искривляется, такчто в реальных оболочках с торцевыми шпангоутами напряженное состояниеявляется моментным и деформированным (Рис.2.7).Рис.

2.7. Типичная картина распределения перемещений w0  w / h подлине цилиндрической оболочки. В области 2, отмеченной двойнымилиниями, искривление образующей отрицательно и возникают окружные0сжимающие усилия Т 22. 0  T110 / TB ;z  L4 1   2 / Rh [44].Если в ходе решения задачи пренебречь искривлением образующейоболочки, положив в соотношениях (2.17) величину 10 тождественно равной55нулю, то в результате матрица коэффициентов aij в уравнениях возмущенногодвижения оболочки перестаёт быть матрицей общего вида и становитсясимметрической. При этом выражение под внутренним радикалом в (2.31)остаётся положительным вплоть до появления первого нулевого корня.Следовательно, при таком предположении можно обнаружить только статическийтип неустойчивости и соответствующую критическую нагрузку. При дальнейшемрассмотрении считаем, что величина 10 отлична от нуля и равновесноенапряженно-деформированноесостояниеоболочкинелинейнозависитотпараметра нагрузки.Пусть при некотором значении параметра нагрузки k  kij(n ) имеет месторавенство парциальных частот pni  pnj .

Вид общего решения системы уравнений(2.29) в области значений, лежащей в окрестности каждого из параметров k  kij(n ) ,зависит от значения произведения недиагональных элементов aij a ji .Матрицыaijобщего вида могут быть представлены в виде суммсимметричной и кососимметричной матриц, что является свидетельствомприсутствия в возмущенном движении, описываемых уравнениями (2.19), (2.29),внутренних циркуляционных (неконсервативных позиционных) сил.

Проходяпериодически через одни и те же положения, эти силы производят работу,приводящую к изменению энергии системы [129].Наличие циркуляционных сил является необходимым условием того, чтобывыражение под внутренним радикалом (2.31) могло при выполнении условияaij a ji  0 принимать отрицательные значения в пределах некоторых интерваловвеличин параметра сжатия k . Расчетами установлено, что такие интервалысуществуют при величинах усилий сжатия, больших, чем T110  0.67TB .Так, применительно к оболочкам, характеризуемым коэффициентомПуассона, равным 0,3 и безразмерными параметрами R / h  250, l / R  1,3 , в56диапазоне значений параметра k от 0,72 до 0,77 при числе волн n=3, и значенияхпараметров i=2 и j=8 соответственно, корни уравнения (2.30) являютсякомплексными и записываются в следующем виде1    i ;2    i ;3    i ;4    i .Эволюция величин *3, 2 , *3,8 , обусловленная ростом параметра сжатия k ,показана на Рис.2.8.

Параметр * связан с величинами модулей корней соотношением    2   2  *E.R (1   2 )2Рис. 2.8. Эволюция величин *3, 2 , *3,8 , обусловленная ростом параметра k( 1 –  3, 2 ; 2 –  3,8 )*Комплекснымзначениямкорней*соответствуетколебательныйтипнеустойчивости оболочки, при котором колебания в окрестности равновесногосостояния характеризуются одной частотой  и амплитудами, возрастающимисо временем по закону exp( t ). При равенстве парциальных частот p32  p38 врассматриваемом примере максимальная величина  в (2.31) была найдена призначении параметра k , равном 0,75.

Наибольшая из парциальных частот системы(2.32) при этом равнялась 2185 Гц.Результаты численного интегрирования системы уравнений8d 2 qi( n ) aim( n) qm( n) (t )  f i (t ) / h2dtm1(i = 1, 2, …, 8)(2.32)57по времени на интервале t  (0, 0,035) с шагом 0,00001 секунды при числе волн вокружном направлении n=3 и учете восьми первых гармоник для различныхзначений параметра k показаны на Рис. 2.9 – 2.14.Зависимости координатной функции q2  q2 (t ) для случаев, когда приинтегрировании в уравнениях (2.32) функция f 2 (t )  а t была единственнойотличной от нуля и величина параметра сжатия в одном случае принадлежалаинтервалу относительной неустойчивости ( k  0,75 ), а в другом лежала вне его( k  0,6 ), показаны на Рис.

2.9 и 2.10 соответственно.Рис. 2.9. Результаты интегрирования системы уравнений (2.32)для функции q2  q2 (t ) при k  0,75 и f 2 (t )  а tРис. 2.10. Результаты интегрирования системы уравнений (2.32)для функции q2  q2 (t ) при k  0,6 и f 2 (t )  а t58На Рис. 2.11 – 2.14 зависимости координатных функций q2 , q4 , q6 , q8 отвремени t показаны для случая, когда единственная отличная от нуля функциябыла задана как f 2 (t )  а sin( pt ) .

Очевидно, что экспоненциальный рост функцииq2  q2 (t ) сопровождается с небольшим запаздыванием аналогичным ростомкоординатных функций q4 , q6 , q8 , что может привести к явлению «скачка», т.е. квнезапнойсменеравновесногосостояния.Этоозначает,чтоисходноеравновесное состояние является неустойчивым к силовым возмущениям видаMf ( x, , t )  cos(3 )  f m (t ) wm(3) ( x) .m1Рис. 2.11. Зависимости функции q2  q2 (t ) по результатам интегрированиясистемы уравнений (2.32) при k  0,75 и f 2 (t )  а sin( pt )Рис.

2.12. Зависимости функции q4  q4 (t ) по результатам интегрированиясистемы уравнений (2.32) при k  0,75 и f 2 (t )  а sin( pt )59Рис. 2.13. Зависимости функции q6  q6 (t ) по результатам интегрированиясистемы уравнений (2.32) при k  0,75 и f 2 (t )  а sin( pt )Рис. 2.14. Зависимости функции q8  q8 (t ) по результатам интегрированиясистемы уравнений (2.32) при k  0,75 и f 2 (t )  а sin( pt )60Если при равенстве парциальных частот pni  pnj выполняется условиеaij a ji  0 ,тохарактеристическоеуравнение(2.30)имеетлиборавныедействительные корни 1  2 , 3  4 (случай aij  0 , a ji  0 ), либо при aij a ji  0приблизительно равные действительные корни 1  2 , 3  4 .Рассмотрим первый случай, когда выполняется условие aij  0 , a ji  0 .При симметричных граничных условиях для величин, соответствующихравновесному невозмущенному состоянию цилиндрической оболочки длины l,выполняются условияw0 ( x)  w0 (l  x);T220 ( x)  T220 (l  x);10 ( x)  10 (l  x);d10 ( x) / dx  d10 (l  x) / dx.В этом случае все величины Фi ,i 1 равны нулю.

В самом деле,hl2BlФi ,i 1   10 sin  i x cos  i 1 xdx 0l/2l0l/200 1 sin  i x cos  i 1 xdx   1 sin  i x cos  i1 xdx.Производя во втором интеграле замену переменной x  l  z , получаемll/201 ( x ) sin i x cos  i 1 xdx    10 ( z ) sin(i   i z ) cos((i  1)   i 1 z )dz l/20l/2  00i 1sin1 ( z )(1)i 1l/2 i z cos  i 1 z (1) dz    10 sin  i z cos  i 1 zdz.0В результате заключаем, что все величины Фi ,i 1 равны нулю присимметричных граничных условиях на торцах цилиндрической оболочки.Полученный результат справедлив для всех остальных величин, представленных всоотношениях (2.23), т.е.

для величин Ti ,i1 , H i ,i1 , Gi ,i1 , и, следовательно, величиныai ,i 1 в этом случае также равны нулю. Вообще, условие aij  0 выполняется дляцилиндрической оболочки всегда, когда граничные условия на ее торцахсимметричны, а сумма индексов (i+j) есть величина нечетная.61ХарактеристическаяA  Eматрицасистемыуравнений(2.29)элементарными преобразованиями приводится к нормальной диагональной формеaii  2aija jia jj  2Ее100aij a ji  ( aii  2 )(a jj  2 )единственный.инвариантныймножительравенE2 ( )  aij a ji  ( aii  2 )(a jj  2 ) .

Он может быть разложен на множителиE2 ( )  (  1 )...(  4 ) , где1 , 2 , 3 , 4 –корни характеристическогоуравнения (2.30).В рассматриваемом случае характеристическое уравнение системы ОДУ(2.29) имеет два двукратных вещественных корня 1, 2   pii ;которымсоответствуютнепростыеэлементарныеделители3, 4   pii ,(1, 2   ) 2и(3, 4   ) 2 . Общий интеграл системы (2.29) в этом случае содержит слагаемые свременными множителями t вне знака гармонических функций – вековые члены.В этом случае общему решению рассматриваемой системы уравнений принулевых начальных условиях и отличной от нуля хотя бы одной из функцийf i ( n ) (t ) или f j( n ) (t ) соответствуют колебания, амплитуды которых возрастают современем.