Электричество и Магнетизм (Лекции (в электронном виде)), страница 7

С другой стороны, в соответствии с (2.8),

где P_и – проекция вектора поляризации на нормаль к границе диэлектрика. Сравнение (2.12) и (2.13) дает

Таким образом, поверхностная плотность связанных зарядов на границе диэлектрика с другой средой (с другим веществом) равна проекции вектора поляризации диэлектрика на нормаль к выбранной поверхности.

2.4. Теорема Остроградского–Гаусса для электростатического поля в диэлектриках

Электрическое поле в диэлектрической среде создается как свободными, так и связанными зарядами. Вектор напряженности характеризует результирующее поле. Согласно принципу суперпозиции (1.9), напряженность поля в веществе равна геометрической сумме напряженностей полей свободных и связанных зарядов:

.

Теорема Остроградского–Гаусса (1.26) может быть применена для расчета электростатического поля в диэлектрической среде, если в правой части равенства рассматривать алгебраическую сумму всех свободных и связанных зарядов, охватываемых гауссовой поверхностью:

Использование полученного соотношения для расчета напряженности поля, создаваемого заданной системой свободных зарядов в диэлектрической среде, осложняется тем, что заранее не известно распределение связанных зарядов в поле. Соответственно, невозможно определить величину связанного заряда, попавшего внутрь гауссовой поверхности. Поскольку молекулы диэлектрика электрически нейтральны, то вклад в заряд внесут только те молекулы, диполи которых “перерезаются” гауссовой поверхностью. Чтобы определить их число, рассмотрим поляризованный диэлектрик, диполи которого ориентированы по направлению (рис.2.6).

На рисунке указан фрагмент гауссовой поверхности площадью dS, внешняя нормаль к нему и “перерезанный” молекулярный диполь с плечом . Ориентация диполей приводит к тому, что часть молекулярных зарядов перерезанных диполей выходит за пределы гауссовой поверхности, а часть зарядов входит внутрь нее. Покидают объем, ограниченный гауссовой поверхностью, положительные заряды, а входят в него отрицательные.

Выделим некоторый объем диэлектрика в виде косого цилиндра, образующая которого параллельна . Гауссова поверхность разбивает объем цилиндра на две части. На рис. 2.6 слева от dS, т.е. внутри гауссовой поверхности, располагается часть выделенного объема диэлектрика с образующей длиной . Общее число положительных зарядов, покинувших этот объем диэлектрика, равно , где п – концентрация молекул диэлектрика. Справа от элемента dS, т.е. вне гауссовой поверхности, располагается часть выделенного объема диэлектрика с образующей длиной . Общее число отрицательных зарядов, покинувших этот объем диэлектрика и вошедших внутрь гауссовой поверхности, равно . Поскольку отрицательный и положительный заряды молекулярных диполей равны по модулю ( ), то можно определить модули “вышедших” и “вошедших” зарядов: , . Однако, увеличение отрицательного связанного заряда, находящегося внутри гауссовой поверхности, на величину эквивалентно уменьшению положительного связанного заряда, находящегося внутри гауссовой поверхности на такую же величину. Таким образом, при поляризации диэлектрика число положительных связанных зарядов, находящихся вблизи участка гауссовой поверхности площадью dS, уменьшается на . Учтем, что , а . Тогда . В целом из объема, ограниченного гауссовой поверхностью, уходит электрический заряд

С учетом полученного соотношения преобразуем выражение (1.26) теоремы Остроградского–Гаусса следующим образом:

.

Введем еще одну физическую величину – вектор электрической индукции (часто его называют вектором электрического смещения):

где   = 1+  – относительная диэлектрическая проницаемость.

Теперь (2.15) запишем в виде

Поток вектора электрической индукции определяется только свободными зарядами, поэтому в таком виде теорему Остроградского–Гаусса удобно применять в диэлектрических средах: поток вектора электрического смещения через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных зарядов, охваченных этой поверхностью.

При расчете напряженности электростатического поля в диэлектрической среде необходимо сначала определить модуль и направление вектора электрического смещения (как это было сделано в п. 1.7 для вектора ). Затем, пользуясь соотношением (2.16), необходимо определять величину . Рассмотрим пример 1, приведенный в п. 1.7, и определим напряженность электростатического поля во всех точках пространства, если электрический заряд равномерно распределен по объему диэлектрического шара радиусом R, относительная диэлектрическая проницаемость которого равна . Повторяя рассуждения п.1.7, получаем

Так как , то

Графики полученных зависимостей приведены на рис. 2.7 и 2.8. Отметим, что зависимость имеет разрыв на поверхности шара (при ), так как на ней находится связанный положительный заряд.

Рассмотрим физический смысл относительной диэлектрической проницаемости . Пусть в вакууме (при отсутствии диэлектрика) совокупность свободных зарядов создает электрическое поле, характеризующееся вектором . В диэлектрике те же свободные заряды создадут поле, для которого . В соответствии с (2.15), . Поэтому

Поскольку , из этого соотношения следует, что относительная диэлектрическая проницаемость показывает, во сколько раз напряженность электростатического поля в вакууме больше, чем напряженность поля в диэлектрике. Таким образом, диэлектрик обладает способностью ослаблять электрическое поле.

2.5. Условия на границе диэлектрических сред

Найдем соотношения между значениями напряженности и электрического смещения в двух граничащих диэлектрических средах. Для этого рассмотрим произвольную точку А на границе раздела двух сред 1 и 2 (рис. 2.9).

Проведем в точке А единичные векторы, направленные по касательной к поверхности раздела сред ( ) и по нормали к ней ( ). Построим вблизи точки А замкнутый контур L в виде прямоугольника с размерами , стороны которого попарно параллельны этим векторам. Из условия потенциальности электростатического поля следует, что циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль контура L равна нулю: .

Устремим высоту прямоугольного контура к нулю. Тогда длины боковых сторон контура и значения на этих сторонах также стремятся к нулю. При этом верхняя и нижняя стороны контура приближаются к поверхности раздела сред. При обходе контура против часовой стрелки получаем

Поэтому

т.е. составляющая вектора напряженности поля, касательная к поверхности раздела двух сред, не изменяется при переходе через эту поверхность.

С учетом (2.16) запишем

Для определения связи нормальных к поверхности раздела сред проекций вектора напряженности и вектора индукции поля выберем вокруг точки А участок поверхности раздела сред площадью dS (рис. 2.10).

Построим прямой цилиндр с образующими длиной , параллельными нормали к поверхности раздела. Согласно теореме Остроградского–Гаусса

где – свободный заряд внутри замкнутой поверхности, т.е. в объеме цилиндра. Устремим высоту цилиндра к нулю. В таком случае поток вектора индукции через боковую поверхность цилиндра обратится в нуль. Если на поверхности раздела сред нет свободных поверхностных зарядов, то

С другой стороны,

Поэтому

Это означает, что при переходе через границу раздела двух сред, на которой нет поверхностных свободных зарядов, нормальная составляющая электрического смещения не изменяется.

С учетом (2.16) запишем

Объединяя условия (2.17) – (2.20), можно показать, каким образом преломляются силовые линии электростатического поля при переходе их одного диэлектрика в другой. Для случая это изображено на рис. 2.11 и 2.12.

Видно, что при увеличении относительной диэлектрической проницаемости среды силовые линии поля отклоняются в сторону поверхности раздела сред.

Вектор напряженности поля не изменяется при переходе из одной среды в другую, если поверхность раздела сред касается силовых линий поля. Если поверхность раздела сред совпадает с эквипотенциальной поверхностью поля, то векторы и перпендикулярны такой поверхности и при переходе через нее не изменяется вектор электрического смещения.

3. ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ.
ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Проводниками называют вещества, содержащие свободные носители заряда, т.е. частицы, которые могут свободно перемещаться по объему проводника под действием сколь угодно малого электрического поля. К данному типу веществ, прежде всего, относят металлы, в которых свободными носителями заряда являются электроны проводимости. В полупроводниках п-типа такими частицами выступают свободные электроны, в полупроводниках p-типа – так называемые «дырки». В электролитах проводимость обеспечивается и положительными, и отрицательными ионами. В ионизированном газе (плазме) свободные носители заряда – это электроны и положительно заряженные ионы. При рассмотрении особенностей поведения проводников в электростатическом поле мы ограничимся рассмотрением металлов.

3.1. Проводники в электростатическом поле

В отсутствии внешнего электростатического поля свободные электроны хаотично располагаются в проводнике; при этом электрические поля электронов проводимости и положительных ионов металла взаимно компенсируются. Если проводник внесен во внешнее электростатическое поле напряженностью (рис. 3.1), то под действием этого поля электроны проводимости приходят в движение и при этом возникает внутреннее поле с напряженностью . Перераспределение зарядов происходит до тех пор , пока напряженность результирующего поля в проводнике не станет равной нулю.