Электричество и Магнетизм (Лекции (в электронном виде)), страница 5

.

1.8. Теорема Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме.
Уравнения Пуассона и Лапласа

Прямая задача электростатики – определение потенциала и напряженности поля по заданному распределению зарядов – может быть решена различными методами. В принципиальном смысле все они равноценны, однако требуют различного объема вычислительной работы. Целесообразно выбрать тот метод, который приводит к искомому результату наиболее простым путем.

Использование принципа суперпозиции электрических полей. Этот метод предполагает прямое использование закона Кулона. Напряженность поля в точке вычисляется как сумма напряженностей, создаваемых всеми элементами dl, ds и dV линейных, поверхностных и объемных зарядов. Трудность заключается в том, что приходится суммировать векторы, что значительно усложняет вычисления. Определение потенциала этим методом предполагает суммирование потенциалов точечных зарядов. Это возможно только в тех случаях, когда заряды распределены в конечной области пространства и потенциал в бесконечности можно принять равным нулю. И в том и в другом случае точные решения могут быть получены только для систем зарядов, обладающих каким-либо типом симметрии.

Использование теоремы Остроградского-Гаусса. При наличии симметрии в некоторых случаях наиболее эффективным методом определения напряженности поля является применение теоремы Остроградского-Гаусса. Однако для определения напряженности поля, создаваемого произвольной системой зарядов, этот метод неприменим.

Использование уравнений Пуассона и Лапласа. Для практических расчетов электрических полей, как правило, используется сведение задачи к решению дифференциальных уравнений для потенциала. Чтобы получить эти уравнения, представим сначала теорему Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме. Попытаемся связать напряженность поля в некоторой точке пространства с объемной плотностью заряда в этой же точке.

Допустим, что электрический заряд произвольным образом распределен в пространстве и зависимость объемной плотности заряда  от координат известна. Охватим некоторую точку A замкнутой поверхностью, ограничивающей бесконечно малый объем dV, в пределах которого объемную плотность заряда можно считать постоянной, (рис. 1.27) и подсчитаем поток вектора напряженности через эту поверхность.

Представим вектор в виде: . Ограниченный поверхностью объем имеет вид кубика с размерами ребер dx, dy, dz.

Поток вектора через левую грань кубика может быть записан в следующей форме:

где E_y(y) – значение проекции вектора смещения на левой грани кубика, т.е. в точке с координатой у ; dS₁ – площадь левой грани кубика, причем dS₁ = dx dz.

Аналогично, поток вектора напряженности через правую грань кубика –

где dS₂ – площадь правой грани кубика, причем dS₂ = dx dz. Значение проекции вектора напряженности на правой грани кубика, т.е. в точке с координатой y + dy, можно представить так:

Суммарный поток вектора напряженности через грани кубика, перпендикулярные оси OY составит

Аналогично можно получить потоки вектора смещения через грани кубика, перпендикулярные оси OZ:

а также через грани, перпендикулярные оси OX:

Тогда полный поток через всю замкнутую поверхность получаем, сложив выражения (1.33) – (1.35):

Электрический заряд, заключенный в объеме dV и охваченный замкнутой поверхностью, равен произведению объемной плотности заряда и объема кубика:

Согласно теореме Остроградского-Гаусса получаем

Левая часть полученного соотношения в векторной алгебре называется дивергенцией вектора :

Дивергенция вектора характеризует его “расходимость” и по определению численно равна пределу отношения потока вектора через поверхность, ограничивающую некоторый объем ΔV, к объему при его стремлении к нулю.

Таким образом, дивергенция вектора напряженности электростатического поля равна объемной плотности заряда, деленной на ₀.

Это выражение представляет собой теорему Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме. Физический смысл (1.39) заключается в том, что источниками электростатического поля являются электрические заряды. С помощью этого уравнения легко решить обратную задачу электростатики – определить объемную плотность заряда, если известна зависимость от координат напряженности поля. Однако решить прямую задачу нельзя, поскольку одно уравнение не позволяет определить три проекции вектора напряженности. Следовательно, необходимо вывести аналогичное уравнение для скалярной характеристики поля – потенциала.

Используя дифференциальную связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля, выражение (1.38) можно записать в виде

тогда (1.39) можно переписать так

.

Левая часть полученного равенства представляет собой операцию суммирования вторых частных производных скалярной функции по координатам. В математике это выражение называют оператором Лапласа и обозначают ²  Δ (не путайте символ оператора с обозначением приращения некоторой величины!). Таким образом, мы получаем

Э то дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных, называемое уравнением Пуассона, позволяет по заданному распределению зарядов получить распределение потенциала электростатического поля, созданного ими. Если объемных зарядов нет (вакуум), то уравнение (1.40) принимает вид

и называется уравнением Лапласа.

Уравнения Пуассона и Лапласа решают при заданных краевых условиях, то есть при заданном потенциале на границе области, в которой определяется поле. По найденной зависимости потенциала от координат определяют напряженность поля.

2. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКАХ

Введение

Диэлектриками называют вещества, которые при обычных условиях практически не проводят электрический ток. В диэлектриках нет свободных носителей зарядов – заряженных частиц, которые под действием электрического поля могли бы прийти в упорядоченное движение и образовать электрический ток проводимости. К диэлектрикам относятся все газы (если они не подверглись ионизации), некоторые жидкости и твердые тела. Удельное электрическое сопротивление диэлектриков  Ом м, тогда как у металлов  Ом м. Особенности поведения таких веществ в электростатических полях объясняются, прежде всего, их молекулярным строением. Электрически заряженные элементарные частицы, входящие в состав молекул диэлектриков, достаточно прочно связаны друг с другом внутриатомными силами. Электрические заряды, входящие в состав атомов и молекул, а также заряды ионов в кристаллических диэлектриках с ионной решеткой, называются связанными зарядами. Заряды, не связанные с частицами вещества, называются свободными. Последние – это заряды частиц, способных перемещаться под действием электрического поля (свободные электроны в металлах и полупроводниках, ионы в электролитах и газах, электроны и ионы в плазме), положительные заряды ионов кристаллической решетки металлов, избыточные заряды, сообщенные проводящему телу. Рассмотрение поведения диэлектриков в электростатических полях мы начнем с изучения характеристик связанных зарядов.

2.1  Диполь в электростатическом поле. Поляризация диэлектриков. Типы диэлектриков

Все молекулы диэлектрика электрически нейтральны: суммарный заряд электронов и атомных ядер в составе молекул равен нулю. Но молекула обладает электрическими свойствами: ее можно рассматривать как электрический диполь с дипольным моментом , где q –положительный заряд всех атомных ядер молекулы, а – вектор, проведенный из “центра тяжести” электронного облака в молекуле в “центр тяжести” положительных зарядов атомных ядер (рис. 2.1).

Рассмотрим поведение молекулярного диполя в однородном электрическом поле. На заряды диполя в поле будет действовать пара сил:

, ,

причем

Возникшая пара сил, действуя совместно на заряды диполя, будет создавать вращающий момент

  ;

направление вектора указано на рис. 2.1. Итак, момент сил, действующих на диполь в однородном поле равен

Действие момента сил будет приводить к повороту диполя таким образом, чтобы направления векторов дипольного момента и напряженности электрического поля совпали. Этот же результат можно получить из энергетических представлений. Суммарная потенциальная энергия зарядов диполя определяется как

Учитывая связь напряженности поля и разности потенциалов (1.18) для однородного поля можно получить