Электричество и Магнетизм (Лекции (в электронном виде)), страница 9

В случае если заряженные проводники располагаются таким образом, что электрическое поле существует только в пространстве между ними, то они образуют конденсатор. Сами проводники при этом называются обкладками конденсатора. Примеры расположения двух обкладок, образующих конденсаторы, приведены на рис. 3.7 а, б, в.

Это, соответственно, плоский, цилиндрический и сферический конденсаторы. Плоский конденсатор создается системой двух бесконечно больших параллельных пластин площадью S, находящимися на малом расстоянии d друг от друга ( ). Цилиндрический конденсатор образован двумя бесконечно длинными коаксиальными цилиндрами ( ), а сферический – двумя концентрическими сферами. Если обкладки каждой из этих систем зарядить разноименными одинаковыми по модулю зарядами, то электрическое поле образуется только в пространстве между ними. Модуль заряда любой из обкладок называется зарядом конденсатора .

Электроемкостью конденсатора называется физическая величина, равная отношению заряда конденсатора к разности потенциалов между его обкладками:

Так же, как и емкость проводника, электроемкость конденсатора не зависит ни от величины заряда конденсатора, ни от разности потенциалов между его обкладками, а зависит только от размера и формы конденсатора, а также от диэлектрических свойств среды между обкладками конденсатора. Электроемкость конденсатора не зависит от наличия вблизи него других проводящих или диэлектрических тел и электрических полей.

Поскольку электроемкость величина положительная, под зарядом конденсатора понимается взятый по модулю заряд одной из обкладок, а разность потенциалов между обкладками берется также по модулю и обозначается символом U. Обычно выражение электроемкости конденсатора записывается так:

Термин “емкость” возник еще в середине XVIII в., когда отсутствовало понятие электрических зарядов, а электрические явления описывались поведением “электрической жидкости”, которая “переливалась” из одного проводника в другой по проводам. Таким образом, емкость конденсатора определяла “количество электрической жидкости”, которое он может в себя вместить. Поэтому первый конденсатор получил название “лейденская банка” (по названию города Лейден, в котором он был сконструирован).

В качестве примера выведем формулу электроемкости плоского конденсатора, изображенного на рис. 3.7, а. Определим напряженность электростатического поля, создаваемого зарядом +Q одной из пластин площадью S. Силовые линии такого поля изображены на рис. 3. 8.

Если рассмотреть точки пространства, расположенные настолько близко к пластине, что расстояние от них до пластины существенно меньше, чем до ее границ (из этих точек пластина будет представляться как бесконечно большая плоскость), то искривлением силовых линий у границ пластины можно пренебречь (рис. 3.9).

Таким образом, бесконечно большая заряженная плоскость создает однородное поле. Исходя из симметричности системы, модуль напряженности поля во всех точках, равноудаленных от пластины, должен быть одинаковым, а направление вектора зависит только от положения исследуемой точки пространства (слева или справа от пластины).

Определим напряженность поля в некоторой точке с координатой x, отсчитываемой вдоль оси OX, направленной перпендикулярно пластине. Для этого в качестве гауссовой поверхности выберем поверхность цилиндра, ось которого перпендикулярна плоскости, а основание имеет площадь S₁ (рис. 3.10).

Модуль напряженности поля одинаков во всех точках оснований цилиндра, исходя из симметрии системы. Угол между и внешней нормалью к поверхности во всех точках боковой поверхности цилиндра равен /2 во всех точках левого и правого оснований гауссова цилиндра равен 0.

Определим поток напряженности поля через выбранную поверхность.

где – площадь левого основания гауссова цилиндра; – площадь правого основания гауссова цилиндра; – площадь боковой поверхности гауссова цилиндра. Получаем

Таким образом,

Определим алгебраическую сумму зарядов, охваченных поверхностью гауссова цилиндра. В данном случае электрический заряд, попавший внутрь него – это заряд “вырезанной” цилиндром части пластины. Его можно найти, умножив площадь основания цилиндра на поверхностную плотность заряда пластины:

Приравняем (3.9) и (3.10) с учетом коэффициента :

Полученное соотношение определяет модуль напряженности однородного поля бесконечно большой заряженной пластины.

Если две разноименно заряженные пластины расположить на малом расстоянии друг от друга так, чтобы выполнялось условие однородности поля каждой из них (рис. 3.11),

то напряженность поля можно будет определить по принципу суперпозиции с учетом (3.11):

E = 0 при d < x < 0.

В этом случае разность потенциалов между обкладками конденсатора можно определить так:

.

Емкость плоского конденсатора, по определению (3.8), составит

Следует учесть, что если пространство между обкладками любого конденсатора заполнить диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью  , то при том же значении заряда обкладок напряженность поля между обкладками уменьшится в  раз. Поэтому в  раз уменьшится разность потенциалов между ними, а, следовательно, в  раз увеличится емкость конденсатора.

Запишем формулу электроемкость плоского конденсатора, заполненного диэлектриком:

Аналогично можно вывести формулу электроемкости сферического конденсатора:

.

Если конденсатор заполнен диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью  , то

Подчеркнем еще раз, что электроемкость конденсатора зависит от его размера, формы обкладок и относительной диэлектрической проницаемости диэлектрика между его обкладками.

3.3. Энергия электростатического поля.Объемная плотность энергии

Рассмотрим процесс зарядки проводника. Чтобы его заряд достиг величины Q, будем сообщать проводнику заряд порциями dq, перенося их из бесконечно удаленной точки 1 на поверхность проводника в точку 2 (рис. 3.12).

Для передачи проводнику новой порции заряда dq внешние силы должны совершить работу против сил электрического поля :

Потенциал бесконечно удаленной точки примем равным нулю – ₁ = 0. Потенциал точки 2 равен потенциалу проводника . Поэтому

Если проводнику передан заряд q, то его потенциал . Полная работа внешних сил по зарядке проводника зарядом Q будет равна

Согласно закону сохранения энергии, приращение электрической энергии проводника равно работе внешних сил:

Рассмотрим теперь процесс зарядки конденсатора электроемкостью С от источника ЭДС. Источник в процессе зарядки переносит заряды с одной пластины на другую, причем сторонние силы источника совершают работу по увеличению энергии конденсатора:

где Q – заряд конденсатора после зарядки. Тогда энергия электрического поля, созданного конденсатором, определится как

Учитывая, что Q =C |₁ – ₂|, а

энергию электрического поля можно представить двумя способами:

и .

Сопоставление двух соотношений позволяет задать вопрос: что является носителем электрической энергии? Заряды (первая формула) или поле (вторая формула)? Оба записанных равенства прекрасно согласуются с результатами экспериментов, т.е. расчет энергии поля можно одинаково правильно вести по обеим формулам. Однако такое наблюдается только в электростатике, т.е. когда осуществляется расчет энергии поля неподвижных зарядов.

При рассмотрении теории электромагнитного поля в дальнейшем (гл. 8) мы увидим, что электрическое поле может создаваться не только неподвижными зарядами. Электростатическое поле – это частный случай электромагнитного поля, существующего в пространстве в виде электромагнитной волны. Его энергия распределена в пространстве с определенной плотностью. Введем понятие объемной плотности энергии поля следующим образом.

Преобразуем последнее равенство (3.15) для случая плоского конденсатора, подставив выражение для электроемкости и воспользовавшись связью разности потенциалов и напряженности однородного поля: